챕터: 논리와 증명 - 합리성을 통한 미스터리 해법

엘리스는 이상한 나라에서 있었던 경험으로 미스터리한 상황에 놓이는 것이 더 이상 낯설지 않았다. 그러나 이번엔 엘리스가 여러 사건의 미스터리를 풀기 위해 논리를 어떻게 사용할 수 있는지 배우는 여정이 기다리고 있었다. 이상한 나라에서의 새로운 모험은 그곳이 단지 환상적인 숲과 동물들로 가득찬 장소가 아니라, 복잡하고도 논리적인 개념들의 실험실임을 일깨워주었다.

첫 걸음: 명제와 논리 연산

체스판 위에서의 대화를 기억할 것이다. 명제 기사와 함께한 여정에서 엘리스는 명제가 참 또는 거짓으로 표현할 수 있는 문장임을 배웠다. "하얀 토끼는 시간에 집착한다"는 명제이며 참이고, "체셔 고양이는 투명하다" 또한 명제로 참이었다.

엘리스는 논리합(OR), 논리곱(AND), 배타적 논리합(XOR)의 사용법도 익혔다. 이제 엘리스는 더 나아가 그러한 연산들이 어떻게 증명과 추론의 기초가 될 수 있는지 탐험했다.

증명의 세계로

엘리스는 증명을 마치 새로운 미로를 탐험하는 것과 같이 여겼다. 그 미로에서는 작은 실마리를 하나하나 풀어 궁극적인 진실에 다다르는 것처럼 논리를 구성하고 새로운 사실을 발견해야 했다. 체셔 고양이는 엘리스에게 말했지, "증명은 미로를 문제로 본다면 거기에 달려 있는 정답의 표지판을 사람들에게 보이는 과정이지."

아서 기사는 엘리스를 도와 증명의 주요 방법 중 하나인 귀납법에 대해 가르쳤다. "귀납법은 하얀 토끼의 특정 행동 패턴들을 관찰하고, 그것이 일반적으로 적용되는 규칙이라고 추측하는 거란다."

엘리스는 아서와 함께 다음 증명을 시도했다: "모든 양의 정수는 소수의 곱으로 표현될 수 있다."

1. 엘리스는 소수의 정의를 먼저 이해했다. 즉, 소수는 1과 자기 자신으로만 나누어지는 양수이다.

2. 새로운 양의 정수 숫자를 생각해낼 때마다, 2나 3과 같은 낮은 소수로 나누어지는지 시험해 보고 나누어 떨어지지 않으면 순차 가운데 다음 소수를 시험했다.

3. 결국 엘리스는 각각의 정수가 특정 소수의 여러 배로 표현 가능한 점을 스스로 확인하고 규칙을 발견했다.

다시 묻기

엘리스는 빠르게 새로운 사실을 하나 배웠다. 논리적 증명에서 올바른 가정을 하고, 결론을 더욱 철저히 검증하지 않으면, 실수의 위험이 있다는 것이다.

체셔 왕이 나타나서 엘리스에게 말했다. "논리의 세계에서도 경우에 따라 올바른 선택을 하지 못할 수도 있지. 너는 가정을 시험하며 더욱 정밀히 탐구해야 하는 일이 있을 것이다. 2=1 같은 잘못된 증명도 항상 존재하고 실수를 질의로 간파할 필요가 있단다."

마무리하며...

엘리스는 논리와 증명을 통해 문제를 해결하는 과정에서, 단순히 정답만 중요해하는 것이 아니라, 올바른 과정을 거쳐 증명하는 것 역시 지극히 중요하다는 것을 배웠다. 그녀는 논리적인 추론이 자신의 일상적인 선택은 물론이고 논란의 여지가 있는 이해 복잡성 문제들을 풀어가는 데에 큰 의미가 있음을 깨닫게 되었다.

엘리스와 이산수학의 모험은 그녀를 이유있는 선택과 올바른 판단을 위한 도구를 가르치고 있었다.