텐서와 텐서 모조품, 그리고 구별 방법

텐서란 무엇인가?

텐서는 공간 위에서 정의되는 수학적 대상입니다. 공간의 좌표계를 바꿔서 바라볼 때, 값은 달라질 수 있지만 본질적인 의미는 그대로 유지됩니다. 즉, 좌표 변화가 있어도 본질이 불변인 객체입니다.

물리적 현상을 측정하고 다른 사람이 다른 좌표계로 계산을 다시 해도, 정해진 변환 규칙만 따르면 동일한 현상을 이해할 수 있습니다. 이렇게 변환 규칙을 따르는 게 텐서의 가장 핵심적인 특징입니다.

외형만 보면 텐서처럼 보여도, 실제 좌표변환을 적용해 보면 일관성이 없는 객체가 있습니다. 즉, 좌표마다 의미가 달라지는 대상은 진짜 텐서가 아닙니다. 이런 것들을 '모조품'이라고 부르죠.

"텐서는 텐서처럼 변환하는 객체다"라는 말은 사실 큰 도움이 되지 않습니다. 정의가 순환적이고 초보자에겐 혼란스럽기 때문입니다. 텐서 변환이 무엇인지 모른다면, 텐서가 뭔지 알기 어렵습니다.

텐서 후보를 좌표계에서 표현한 뒤, 변환 공식에 따라 다른 좌표계로 옮깁니다. 두 방법으로 계산한 결과가 일치하면 진짜 텐서입니다. 그렇지 않으면 텐서 모조품입니다.

이차원 평면에서 거리 측정 메트릭을 직교 좌표계와 원통 좌표계로 각각 표현할 수 있습니다. 다음은 변환 후 새로운 좌표에서의 메트릭입니다.

dx^2 + dy^2  → dr^2 + r^2 dθ^2

변환 규칙을 적용한 결과, 두 좌표계에서의 메트릭은 의미가 변하지 않으니 이는 확실한 텐서입니다.

좌표와 무관하게, 그 공간 자체의 변하지 않는 성질을 '내재적(intrinsic)' 특성이라고 합니다. 메트릭처럼 공간의 근본적인 구조를 설명하는 대상이 그 대표적 예입니다.