수학 천재 페르마: 마지막 정리부터 현대 수학까지

피에르 드 페르마는 '수학의 천재'로 불리며, 오늘날까지도 수많은 사람들이 그의 업적을 연구하고 있습니다. 17세기 프랑스의 평범한 법률가였던 그는 '아마추어 수학자'라는 별명답게 틈틈이 수학 문제를 풀며 다양한 정리를 남겼습니다. 페르마의 생애와 그의 대표 업적들, 그리고 현대 수학에 미친 영향까지 한눈에 알아봅니다.

페르마의 삶과 시대적 배경

피에르 드 페르마(Pierre de Fermat, 1601~1665)는 프랑스 남부에서 태어났습니다. 본업은 법률가로, 평생을 지방 법원 판사로 지냈죠. 하지만 그의 진짜 취미는 수학 연구였습니다. 페르마는 '서재가 곧 연구실'인 진정한 아마추어 수학자로, 동시대 수학자들과 편지로 아이디어를 주고받았습니다. 17세기 프랑스는 르네상스와 과학혁명의 중심지였고, 그 덕분에 페르마는 자유롭게 자신의 수학적 영감을 펼칠 수 있었습니다.

페르마의 마지막 정리: 350년을 괴롭힌 문제

아마도 페르마의 이름을 가장 널리 알린 업적은 '페르마의 마지막 정리'일 것입니다. 이 정리는 다음과 같이 표현됩니다:

n이 3 이상인 정수일 때, xⁿ + yⁿ = zⁿ 을 만족하는 자연수 x, y, z는 존재하지 않는다.

페르마는 이 정리를 책 귀퉁이에 적어두었지만, 증명은 남기지 않았습니다. 그가 쓴 짧은 메모 한 줄이 무려 350년간 수학자들의 도전정신을 불태웠습니다. '수학의 왕자' 가우스도 이 정리에 손을 대봤지만 결국 미궁에 빠지고 말았습니다.

하지만 1994년, 영국의 수학자 앤드루 와일스가 드디어 이 문제를 해결했습니다. 와일스는 '타니야마-시무라 추론'이라는 방정식과 페르마의 마지막 정리 사이의 연결고리를 찾아내 엄청난 아이디어로 증명을 완성했죠. 그에게는 수학계의 노벨상이라 불리는 아벨상이 수여되었습니다. 이로써 페르마의 '마지막 장난'은 결국 아름다운 증명으로 마무리되었습니다.

페르마 포인트와 기하학적 업적

페르마는 수학의 다양한 분야에 뛰어들었습니다. 그 중에서도 기하학에서 '페르마 포인트'를 고안했습니다. 삼각형의 내부에서 세 꼭짓점까지 거리의 합이 가장 작은 점을 찾는 문제인데, 페르마가 문제를 내면 이탈리아의 토리첼리가 해법을 발표하는 방식으로 수학적 발전이 이루어졌습니다.

이러한 개념은 이후 '기하 중앙값(geometric median)'과 '스타이너 트리 문제'로 확장되어, 복잡한 네트워크의 최적화와 같은 실제 분야에도 이용되고 있습니다. 페르마 포인트를 찾는 방법 자체도 기하학적으로 아름드리며, 중·고등학교 경시 대회 문제로도 자주 등장하죠.

페르마의 원리와 수학적 사고

물리학에도 페르마의 이름을 딴 '페르마의 원리'가 있습니다. 빛이 두 점 사이를 이동할 때 항상 가장 짧은 경로, 즉 최소 시간이 걸리는 길을 따라간다는 원리입니다. 이는 이후 빛의 굴절(스넬의 법칙)이나 광학, 물리의 수많은 법칙에 응용됐죠.

페르마는 소수론에서도 '페르마 소수' 등 다양한 개념을 남겼습니다. 자연수의 성질을 파악하고자 한 그의 집요한 문제 접근법은 수학자들에게 창의적 사고와 탐구정신을 심어주었습니다.

현대 수학과 페르마 업적의 의미

페르마의 업적은 단순히 아름다운 정리를 남기는 데 그치지 않습니다. '페르마의 마지막 정리' 증명의 과정에서 등장한 새로운 이론들은 현대 수학의 주춧돌이 되었죠. 앤드루 와일스의 증명은 타원곡선, 모듈 형태 등 수학의 여러 분야를 연결하면서, 수학의 경계를 허무는 '협업의 예술'이란 찬사를 받았습니다.

페르마의 문제들은 지금도 활발하게 연구되고 있으며, 경쟁과 협업, 도전과 집념의 상징이 되었습니다. 그의 이름을 딴 정리, 점, 원리들은 학교 교육, 수학올림피아드, 산업 네트워크 문제 등 거의 모든 곳에 숨어 있습니다.

마무리: 페르마로부터 배울 수 있는 것

페르마는 법원 판사의 신분이면서도 자신의 열정을 포기하지 않은 진정한 '취미의 천재'였습니다. 그리고 그의 호기심과 탐구심은 수백 년 뒤에도 여전히 빛나고 있습니다. 수학 초보자든, 몇 해 공부한 중급자든 페르마의 문제를 따라가다 보면 수학 본연의 재미와 도전정신을 배울 수 있습니다.

책 귀퉁이에 적힌 한 줄에서 출발해, 세계를 뒤흔든 수학적 모험! 오늘, 페르마의 흔적을 따라가며 새로운 통찰을 얻어보는 건 어떨까요?

참고문헌

[1] 피에르 드 페르마 - 위키백과, 우리 모두의 백과사전 - 위키백과

[2] 페르마 포인트(스타이너(슈타이너) 포인트) : 네이버 블로그 - 네이버 블로그

[3] 2016 아벨상 수상자 앤드루 와일스 페르마의 마지막 정리를 증명하다! : 동아사이언스 - 동아사이언스