물리학 초보 대학생, 3가지 공식으로 가속도 완벽 마스터

물리학 기초 다지기: 가속도, 등가속도 운동, 자유 낙하 완벽 이해 노하우

가속도 완벽 이해: 평균 가속도와 순간 가속도

가속도는 속도가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타내는 물리량입니다. 평균 가속도는 특정 시간 간격 동안의 속도 변화율을 의미하며, 순간 가속도는 아주 짧은 순간에서의 속도 변화율을 나타냅니다. 먼저 평균 가속도부터 자세히 알아보겠습니다.

평균 가속도는 물체의 속도 변화량(ΔV)을 시간 변화량(Δt)으로 나눈 값으로 정의됩니다. 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

a_avg = ΔV / Δt

여기서 a_avg는 평균 가속도, ΔV는 속도 변화량, Δt는 시간 변화량을 나타냅니다. 가속도의 단위는 속도의 단위를 시간으로 한 번 더 나눈 것이므로, 미터 매 초 제곱 (m/s²) 을 사용합니다. 평균 가속도를 좀 더 구체적으로 살펴볼까요?

평균 가속도 (a_avg)는 시간 간격 (Δt) 동안의 속도 변화 (ΔV)를 나타냅니다. Δt는 나중 시간 (T2)에서 처음 시간 (T1)을 뺀 값이고, ΔV는 나중 속도 (V2)에서 처음 속도 (V1)을 뺀 값입니다. 즉, 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

a_avg = (V2 - V1) / (T2 - T1)

순간 가속도는 평균 가속도의 개념에서 시간 간격을 매우 짧게 줄여 극한을 취한 값입니다. 순간 가속도 (a) 는 속도 (V)를 시간 (t)에 대해 미분한 값으로 정의됩니다. 수식으로는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

a = dV/dt

순간 가속도는 속도-시간 그래프 (v-t 그래프)에서 특정 순간의 기울기를 의미합니다. 이는 특정 시점에서의 속도 변화율을 정확하게 나타냅니다. 이처럼 평균 가속도와 순간 가속도는 가속도를 이해하는 데 중요한 개념입니다.

복습 문제 풀이: 가속도 개념 적용 훈련

예제 문제 3번을 통해 가속도 개념을 문제에 적용하는 연습을 해보겠습니다. 문제는 x축을 따라 움직이는 입자의 위치 x가 시간 t의 함수로 주어졌을 때, 속도, 가속도, 속도가 0이 되는 시간 등을 구하는 것입니다. 위치 함수는 다음과 같습니다.

x(t) = 4 - 27t + t³

입자의 속도 함수를 구하기 위해서는 위치 함수를 시간에 대해 미분해야 합니다. 위치 함수 x(t)를 t에 대해 미분하면 속도 함수 v(t)를 얻을 수 있습니다.

v(t) = dx/dt = -27 + 3t²

속도의 단위는 미터 매 초 (m/s) 입니다. 다음으로 가속도 함수를 구해볼까요? 가속도 함수는 속도 함수를 시간에 대해 미분하여 얻을 수 있습니다. 속도 함수 v(t)를 t에 대해 미분하면 가속도 함수 a(t)를 구할 수 있습니다.

a(t) = dv/dt = 6t

가속도의 단위는 미터 매 초 제곱 (m/s²) 입니다. 문제의 비번에서는 속도가 0일 때가 있는지 묻고 있습니다. 속도 함수 v(t) = -27 + 3t² 이 0이 되는 시간을 찾으면 됩니다.

-27 + 3t² = 0

위 식을 t에 대해 풀면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

t² = 9 t = ±3 초

따라서 속도가 0이 되는 시간은 +3초와 -3초 입니다. 하지만 일반적으로 시간은 0보다 크거나 같으므로, t = 3초 인 경우가 물리적으로 의미 있는 해가 됩니다. 문제의 마지막 부분에서는 시간이 0보다 크거나 같을 때 입자의 운동을 논하라고 했습니다.

시간이 0일 때의 위치, 속도, 가속도를 먼저 구해봅시다. 시간 t = 0 을 위치 함수, 속도 함수, 가속도 함수에 각각 대입하면 됩니다.

• 시간 t = 0일 때 위치: x(0) = 4m

• 시간 t = 0일 때 속도: v(0) = -27m/s

• 시간 t = 0일 때 가속도: a(0) = 0m/s²

시간 t = 3초 일 때의 위치와 속도도 구해볼까요? 시간 t = 3초 를 위치 함수와 속도 함수에 대입합니다.

• 시간 t = 3초일 때 위치: x(3) = 4 - 27(3) + (3)³ = -50m

• 시간 t = 3초일 때 속도: v(3) = -27 + 3(3)² = 0m/s

시간이 0부터 3초까지 변하는 동안 속도 함수 v(t) = -27 + 3t² 의 값을 살펴보면, 0부터 3초 구간에서 속도는 0보다 작은 음수 값을 가집니다. 3초 이후에는 속도가 0보다 큰 양수 값을 가지게 됩니다. 이러한 정보를 바탕으로 입자의 운동을 설명할 수 있습니다.

시간이 0초일 때, 입자는 x = 4m 위치에서 -x 방향으로 출발합니다. 속도는 -27m/s 이고, 가속도는 0입니다. 시간이 증가하면서 속력은 점차 감소하고, 시간이 3초가 되었을 때 입자는 x = -50m 위치에서 순간적으로 정지합니다. 그 이후부터는 +x 방향으로 운동을 시작합니다. 속도가 0이 되는 순간을 기준으로 운동 방향이 바뀌는 것을 알 수 있습니다.

등가속도 운동의 핵심: 가속도가 일정한 운동

등가속도 운동은 가속도의 크기와 방향이 시간이 지나도 변하지 않고 항상 일정한 운동을 말합니다. 가속도가 일정하므로, 미분과 적분 계산 시 가속도를 상수처럼 취급할 수 있다는 장점이 있습니다. 등가속도 운동을 기술하는 데 매우 유용한 세 가지 공식이 있습니다. 이 공식들은 속도와 가속도의 정의로부터 유도할 수 있습니다. 공식 유도 과정을 차근차근 살펴보겠습니다.

등가속도 운동 공식을 유도하기 전에, 먼저 그림을 통해 상황을 설정해 보겠습니다. 시간이 0일 때 물체의 초기 위치는 x₀, 초기 속도는 v₀ 입니다. 시간이 t만큼 흘렀을 때 물체의 나중 위치는 x, 나중 속도는 v 가 됩니다. 이 그림을 머릿속에 잘 기억해 두면 공식 유도 과정을 이해하는 데 도움이 될 것입니다.

첫 번째 등가속도 운동 공식은 시간 t에서의 속도 v 를 구하는 식입니다. 이 공식은 가속도의 정의로부터 유도됩니다. 가속도 a는 속도의 시간 미분으로 정의됩니다.

a = dv/dt

등가속도 운동에서는 가속도 a가 상수이므로, 위 미분 방정식을 간단하게 풀 수 있습니다. 위 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

dv = a dt

양변에 적분을 취하고, 시간 구간을 0부터 t까지, 속도 구간을 v₀부터 v까지 로 설정합니다.

∫*(v₀)^(v) dv = ∫*(0)^(t) a dt

좌변을 적분하면 v - v₀ 가 되고, 우변을 적분하면 at 가 됩니다. 따라서 다음과 같은 첫 번째 등가속도 운동 공식이 유도됩니다.

v = v₀ + at

두 번째 등가속도 운동 공식은 시간 t에서의 위치 x 를 구하는 식입니다. 이 공식은 속도의 정의로부터 유도됩니다. 속도 v는 위치의 시간 미분으로 정의됩니다.

v = dx/dt

등가속도 운동의 경우, 속도 v는 시간에 따라 변하므로 앞서 유도한 첫 번째 공식 v = v₀ + at 를 위 식에 대입합니다.

dx/dt = v₀ + at

위 식을 다음과 같이 변형합니다.

dx = (v₀ + at) dt

양변에 적분을 취하고, 시간 구간을 0부터 t까지, 위치 구간을 x₀부터 x까지 로 설정합니다.

∫*(x₀)^(x) dx = ∫*(0)^(t) (v₀ + at) dt

좌변을 적분하면 x - x₀ 가 되고, 우변을 적분하면 v₀t + (1/2)at² 이 됩니다. 따라서 다음과 같은 두 번째 등가속도 운동 공식이 유도됩니다.

x = x₀ + v₀t + (1/2)at²

세 번째 등가속도 운동 공식은 속도 v² 과 초기 속도 v₀², 가속도 a, 위치 변화 Δx = x - x₀ 사이의 관계를 나타내는 식입니다. 이 공식 역시 가속도의 정의로부터 유도할 수 있습니다. 가속도의 정의 a = dv/dt 에 dx/dx 를 곱해줍니다.

a = (dv/dt) * (dx/dx) = (dv/dx) * (dx/dt) = v (dv/dx)

위 식을 변형하면 다음과 같습니다.

a dx = v dv

양변에 적분을 취하고, 위치 구간을 x₀부터 x까지, 속도 구간을 v₀부터 v까지 로 설정합니다.

∫*(x₀)^(x) a dx = ∫*(v₀)^(v) v dv

좌변을 적분하면 a(x - x₀) 가 되고, 우변을 적분하면 (1/2)(v² - v₀²) 가 됩니다. 따라서 다음과 같은 세 번째 등가속도 운동 공식이 유도됩니다.

v² - v₀² = 2a(x - x₀)

등가속도 운동 공식 3가지를 모두 유도해 보았습니다. 이 공식들은 억지로 암기하기보다는 유도 과정을 이해하는 것이 중요합니다. 유도 과정을 두세 번 정도 연습장에 써보면 자연스럽게 암기가 될 것입니다. 물리 공부는 단순히 공식을 암기하는 것이 아니라, 공식이 어떻게 유도되었는지 그 과정을 정확히 이해하는 것이 핵심입니다. 공식의 유도 과정을 꼼꼼히 공부하는 습관을 들이면 물리 실력이 향상될 것입니다.

복습 문제 풀이: 등가속도 운동 공식 활용

예제 문제 4번을 통해 등가속도 운동 공식을 실제 문제에 적용해 보겠습니다. 문제는 자동차와 오토바이가 동시에 출발하여 자동차가 오토바이를 따라잡는 시간을 구하는 것입니다. 자동차(첨자 c)와 오토바이(첨자 m)의 초기 조건은 다음과 같습니다.

• 초기 위치: x_c₀ = 0, x_m₀ = 0 (원점에서 출발)

• 초기 속도: v_c₀ = 0, v_m₀ = 0 (정지 상태에서 출발)

오토바이는 시간 TM 동안 가속도 a_m = 8.4 m/s² 로 등가속도 운동을 하다가 최고 속도 v_m = 58.8 m/s 에 도달한 후 등속 운동을 합니다. 자동차는 가속도 a_c = 5.60 m/s² 로 등가속도 운동을 계속합니다. 자동차가 오토바이를 따라잡는 시간 t를 구해야 합니다.

자동차가 오토바이를 따라잡는다는 것은 시간 t에서 자동차의 위치 x_c 와 오토바이의 위치 x_m 이 같아지는 순간을 의미합니다. 따라서 x_c = x_m 방정식을 세우고 t에 대해 풀면 됩니다. 먼저 오토바이의 최고 속도 도달 시간 TM 을 구해봅시다. 등가속도 운동 공식 v = v₀ + at 를 이용하면 됩니다. 오토바이의 초기 속도 v_m₀ = 0 이므로, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

v_m = a_m * TM

TM 에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

TM = v_m / a_m = 58.8 m/s / 8.4 m/s² = 7초

따라서 오토바이는 7초 동안 등가속도 운동을 합니다. 이제 시간 t에서 오토바이의 위치 x_m 과 자동차의 위치 x_c 를 각각 구해봅시다. 오토바이의 운동은 0초부터 TM 까지는 등가속도 운동, TM 이후에는 등속 운동으로 나뉩니다. 따라서 오토바이의 위치는 시간 구간에 따라 다르게 계산해야 합니다.

시간 t가 TM 보다 작거나 같을 때 (t ≤ TM), 오토바이는 등가속도 운동을 하므로 위치는 다음과 같이 주어집니다. 등가속도 운동 공식 x = x₀ + v₀t + (1/2)at² 를 이용합니다. 초기 위치 x_m₀ = 0, 초기 속도 v_m₀ = 0 이므로, 다음과 같이 간단하게 표현됩니다.

x_m = (1/2) a_m t² (for t ≤ TM)

시간 t가 TM 보다 클 때 (t > TM), 오토바이는 TM 까지 등가속도 운동 후 등속 운동을 합니다. 따라서 위치는 TM 까지의 등가속도 운동으로 이동한 거리와 TM 이후 등속 운동으로 이동한 거리를 합하여 계산해야 합니다.

x_m = (1/2) a_m TM² + v_m (t - TM) (for t > TM)

자동차는 항상 등가속도 운동을 하므로, 시간 t에서의 위치는 다음과 같이 주어집니다. 역시 등가속도 운동 공식 x = x₀ + v₀t + (1/2)at² 를 이용합니다. 초기 위치 x_c₀ = 0, 초기 속도 v_c₀ = 0 이므로, 다음과 같이 간단하게 표현됩니다.

x_c = (1/2) a_c t²

자동차가 오토바이를 따라잡는 시간 t를 구하기 위해 x_m = x_c 방정식을 풀어야 합니다. 시간 t가 TM 보다 클 경우 (t > TM) 를 가정하고 방정식을 세워봅시다.

(1/2) a_m TM² + v_m (t - TM) = (1/2) a_c t²

위 식을 t에 대한 2차 방정식 형태로 정리하면 다음과 같습니다.

(1/2) (a_c - a_m) t² - v_m t + (1/2) a_m TM² = 0

2차 방정식의 근의 공식을 이용하여 t를 구할 수 있습니다. 근의 공식을 적용하여 계산하면 다음과 같은 두 개의 해를 얻습니다.

t = 16.3초, t = 4.7초

하지만 TM = 7초 이므로, t = 4.7초는 TM 보다 작은 값이므로 우리가 가정한 t > TM 조건에 맞지 않습니다. 따라서 물리적으로 유효한 해는 t = 16.3초 입니다. 따라서 자동차는 오토바이가 출발한 후 16.3초 뒤에 오토바이를 따라잡게 됩니다.

자유 낙하 운동: 중력 가속도 하에서의 운동

자유 낙하 운동은 지표면 근처에서 물체가 중력의 영향만을 받아 아래로 떨어지는 운동을 말합니다. 지표면 근처에서 물체는 항상 아래 방향으로 일정한 중력 가속도 (g) 를 받습니다. 이 중력 가속도를 자유 낙하 가속도라고 부릅니다. 중력 가속도의 방향은 항상 연직 아래 방향이며, 크기는 약 9.8 m/s² 입니다.

물체가 위로 올라가든 아래로 내려오든, 지표면 근처에서 운동하는 동안에는 항상 중력 가속도가 작용합니다. y축을 연직 위 방향으로 설정하면, 중력 가속도의 y축 성분 a_y 는 -g 가 됩니다. 즉, a_y = -9.8 m/s² 입니다.

앞서 배운 1차원 등가속도 운동 공식을 자유 낙하 운동에 적용할 수 있습니다. 등가속도 운동 공식을 y축 방향에 맞게 변형하면 됩니다. x를 y로, x₀를 y₀로, v₀를 v₀_y 로, a를 a_y = -g 로 바꾸어 대입하면 됩니다. 등가속도 운동 공식 3가지를 y축 방향 자유 낙하 운동에 맞게 변형하면 다음과 같습니다.

1. 위치-시간 공식: y = y₀ + v₀_y t - (1/2)gt²

2. 속도-시간 공식: v_y = v₀_y - gt

3. 속도-위치 공식: v_y² - v₀_y² = -2g(y - y₀)

이 세 가지 공식은 자유 낙하 운동 문제를 해결하는 데 매우 유용하게 사용됩니다. 자유 낙하 운동 공식을 잘 기억해두고, 다음 시간에는 이 공식을 활용하여 다양한 자유 낙하 운동 문제를 풀어보는 연습을 하겠습니다.

마치며

이번 강의에서는 가속도의 개념 (평균 가속도, 순간 가속도), 등가속도 운동, 그리고 자유 낙하 운동에 대해 자세히 알아보았습니다. 등가속도 운동 공식 3가지는 유도 과정을 통해 이해하고, 자유 낙하 운동은 등가속도 운동의 특별한 경우임을 이해하는 것이 중요합니다. 다음 시간에는 오늘 배운 내용을 바탕으로 다양한 문제 풀이를 통해 물리 개념을 더욱 확실하게 다져보도록 하겠습니다. 오늘도 수고하셨습니다!