[수학을 알기 쉽게 설명하기] 0.9999... 는 왜 1과 같은가?

[아래는 Claude ai 3 오퍼스로 생성한 글입니다.]

어느 화창한 날, 위니더 푸와 친구들은 숲속 공터에 모여 수학 문제를 가지고 토론을 하고 있었어요.

"얘들아, 0.9999...는 1과 같대."

꿀머금은 목소리로 말하는 건 다름 아닌 똑똑한 부엉이 올빼미 교수님이었죠.

"엥? 말이 안 돼요. 0.9999...는 1보다 아주 조금 작은 거 아닌가요?"

티거가 의아한 표정을 지으며 물었어요.

"맞아, 9 뒤에 0이 있잖아. 그럼 1보다는 작은 거지!"

피글렛도 동의했죠.

"흠... 그럼 1에서 0.9999...를 빼 보자."

올빼미 교수님이 제안했어요.

"1 - 0.9999... 는 뭘까?"

친구들이 머리를 맞대고 계산을 해 보았어요.

"0.0000...1?"

"아니야, 그건 말이 안 돼. 왜냐면..."

"무한히 0이 반복되는데, 1이 어디서 나와?"

한참을 고민하던 포오가 번뜩이는 눈빛으로 말했어요.

"1에서 0.9999...를 빼면 0이 되는 거예요! 그 사이에는 아무것도 없어요!"

"맞아요! 0.9999...와 1 사이에는 어떤 수도 존재할 수 없어요."

이어서 올빼미 교수님이 설명했죠.

"왜냐면 0.9999...는 무한히 계속되기 때문이에요. 아무리 작은 수라도 더하면 1을 넘어버리고 말아요."

"그럼 0.9999...는 결국 1과 같다는 말이네요?"

티거가 놀라워하며 물었어요.

"그렇죠. 수학적으로 엄밀하게 증명할 수도 있답니다."

올빼미 교수님이 자신 있게 말했어요.

"하나의 수에는 여러 가지 표현 방식이 있을 수 있어요. 0.9999...는 1을 무한소수로 표현한 것 중 하나인 거죠."

"와, 정말 신기해요!"

"수학은 참 놀라운 것 같아요!"

깨달음을 얻은 친구들이 감탄했죠.

이렇게 위니더 푸와 친구들은 0.9999...가 1과 같다는 사실을 알게 되었답니다. 겉으로는 다르게 보이지만 실은 같은 것, 수학은 우리에게 그런 통찰을 주는 것 같아요. 여러분도 수학의 신비로운 세계에 빠져 보는 건 어떨까요?

- 0.999...가 1과 같다는 것을 대수학적으로도 증명할 수 있어요.

x = 0.999...라고 해 봅시다. (9는 무한히 반복된다는 뜻이에요)

10x = 9.999...

10x - x = 9.999... - 0.999...

9x = 9

양변을 9로 나누면,

9x/9 = 9/9

분모와 분자가 같은 분수는 (0을 제외하고) 항상 1이 되죠.

즉, x = 1

이로써 0.999...는 1과 같다는 것이 증명되었답니다!