중적분과 벡터해석

한 변수 적분에서 공간의 적분으로

한 변수 적분은 직선 위에서 작은 조각을 더하는 방법이었다. 예를 들어 속력을 시간에 대해 적분하면 이동거리가 되고, 방향을 가진 속도를 시간에 대해 적분하면 변위가 된다. 또 선 위의 밀도를 길이에 대해 적분하면 질량이 된다. 다변수 적분도 같은 생각에서 출발한다. 다만 조각이 선분이 아니라 작은 직사각형, 작은 상자, 또는 곡면 위의 작은 조각으로 바뀐다.

두 변수 함수 f(x, y)가 어떤 평면 영역 D 위에 정의되어 있다고 하자. 이 함수가 높이를 나타낸다면, D 위에 놓인 입체의 부피는 작은 바닥 조각의 넓이와 높이를 곱해 모두 더한 값으로 생각할 수 있다.

[ iint_D f(x,y),dA ]

여기서 dA는 아주 작은 면적 조각을 뜻한다. 마찬가지로 세 변수 함수 f(x,y,z)를 공간 영역 E 위에서 적분하면

[ iiint_E f(x,y,z),dV ]

가 된다. dV는 아주 작은 부피 조각이다. 이 값은 공간 속 밀도, 전하량, 열에너지처럼 위치마다 달라지는 양을 전체 영역에 대해 누적한 결과로 해석할 수 있다.

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이중적분과 삼중적분은 반복적분으로 계산한다

중적분의 정의는 작은 조각들의 합의 극한이지만, 실제 계산에서는 대부분 반복적분으로 바꾼다. 반복적분이란 여러 변수 중 하나를 먼저 적분하고, 그 결과를 다시 다른 변수에 대해 적분하는 방식이다.

예를 들어 직사각형 영역

[ R=[a,b]times[c,d] ]

위에서 함수 f(x,y)를 적분하면 다음처럼 계산할 수 있다.

[ iint_R f(x,y),dA =int_a^bint_c^d f(x,y),dy,dx. ]

안쪽 적분 int_c^d f(x,y),dy에서는 x를 상수처럼 고정하고 y에 대해서만 적분한다. 그런 다음 바깥쪽 적분에서 x를 움직이며 그 값을 모두 더한다. 적분 기호의 순서만 보면 복잡해 보이지만, 실제 의미는 "한 방향으로 먼저 쌓고, 그 쌓인 값을 다른 방향으로 다시 더한다"는 것이다.

직사각형이 아닌 영역에서는 적분 구간이 변수에 따라 달라진다. 예를 들어

[ D={(x,y): ale xle b, g_1(x)le yle g_2(x)} ]

라면

[ iint_D f(x,y),dA =int_a^bint_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y),dy,dx. ]

이 식은 먼저 세로 방향으로 작은 조각을 쌓고, 그 세로 조각들을 x 방향으로 더한다는 뜻이다. 반대로 영역을

[ D={(x,y): cle yle d, h_1(y)le xle h_2(y)} ]

처럼 표현할 수 있다면 적분 순서를 바꾸어

[ int_c^dint_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y),dx,dy ]

로 계산할 수 있다. 적분 순서를 바꾸면 계산이 훨씬 쉬워지는 경우가 많다. 중적분 문제에서는 함수를 보기 전에 먼저 영역을 그려 보는 습관이 중요하다. 영역을 어떻게 자르느냐에 따라 적분식이 간단해질 수도 있고, 불필요하게 복잡해질 수도 있기 때문이다.

삼중적분도 같은 원리다. 공간 영역 E를 적절히 표현한 뒤, 한 변수씩 차례로 적분한다. 예를 들어 어떤 영역이

[ E={(x,y,z): ale xle b, g_1(x)le yle g_2(x), k_1(x,y)le zle k_2(x,y)} ]

처럼 표현된다면

[ iiint_E f(x,y,z),dV =int_a^bint_{g_1(x)}^{g_2(x)}int_{k_1(x,y)}^{k_2(x,y)} f(x,y,z),dz,dy,dx ]

처럼 계산할 수 있다. 적분 순서는 영역의 모양과 함수의 형태에 따라 선택한다.

좌표계는 영역의 모양에 맞춰 고른다

좌표계 선택은 계산을 단순하게 만드는 핵심 기술이다. 같은 영역도 어떤 좌표를 쓰느냐에 따라 적분식의 복잡도가 크게 달라진다.

직교좌표는 x, y, z를 그대로 쓰는 가장 기본적인 좌표계다. 직사각형, 직육면체, 평면으로 잘 잘리는 영역에서는 직교좌표가 자연스럽다.

원이나 부채꼴처럼 중심과 거리가 중요한 평면 영역에서는 극좌표가 편하다.

[ x=rcostheta,qquad y=rsintheta ]

원판 x^2+y^2le a^2는 직교좌표로 쓰면 -sqrt{a^2-x^2}le yle sqrt{a^2-x^2}처럼 구간이 다소 복잡하지만, 극좌표로는 단순히

[ 0le rle a,qquad 0le thetale 2pi ]

가 된다.

원통좌표는 극좌표에 높이 z를 붙인 것이다.

[ x=rcostheta,qquad y=rsintheta,qquad z=z ]

원기둥, 원뿔, 축을 중심으로 회전한 입체를 다룰 때 유용하다.

구면좌표는 원점으로부터의 거리와 두 각도로 공간의 점을 나타낸다. 여기서는 rho를 원점으로부터의 거리, phi를 양의 z축과 이루는 각, theta를 xy평면에서의 회전각으로 잡는다.

[ x=rhosinphicostheta, quad y=rhosinphisintheta, quad z=rhocosphi. ]

구, 반구, 원점으로부터의 거리가 중요한 문제에서는 구면좌표가 강력하다. 예를 들어 구 x^2+y^2+z^2le a^2는 구면좌표로

[ 0le rhole a ]

라는 단순한 조건을 갖는다. 물론 전체 구를 나타내려면 보통 각도 범위까지 함께

[ 0le phile pi,qquad 0le thetale 2pi ]

로 잡는다.

기준은 간단하다. 영역에 원이 보이면 극좌표나 원통좌표를 의심하고, 구가 보이면 구면좌표를 의심한다. 함수에 x^2+y^2가 자주 나오면 극좌표나 원통좌표가 좋고, x^2+y^2+z^2가 나오면 구면좌표가 좋다.

야코비안은 조각의 크기 변화를 보정한다

좌표를 바꾸면 적분식의 변수만 바뀌는 것이 아니다. 작은 면적이나 부피 조각의 크기도 함께 바뀐다. 이 보정 계수가 야코비안이다.

극좌표에서 작은 조각은 dr dtheta가 아니라 대략 r,dr,dtheta의 넓이를 가진다. 반지름이 클수록 같은 각도 변화가 더 긴 호를 만들기 때문이다. 따라서

[ dA=r,dr,dtheta ]

이고,

[ iint_D f(x,y),dA =iint_{D'} f(rcostheta,rsintheta),r,dr,dtheta ]

가 된다. 여기서 D'는 원래 영역 D를 극좌표의 rtheta평면에서 다시 표현한 영역이다.

일반적으로

[ x=x(u,v),qquad y=y(u,v) ]

처럼 변수를 바꾸면

[ dA=left|frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}right|du,dv ]

이다. 여기서

[ frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} =begin{vmatrix} frac{partial x}{partial u} & frac{partial x}{partial v}\ frac{partial y}{partial u} & frac{partial y}{partial v} end{vmatrix} ]

를 야코비안 행렬식이라고 한다. 절댓값을 붙이는 이유는 면적과 부피가 음수가 될 수 없기 때문이다.

대표적인 부피 요소는 꼭 기억해 둘 만하다.

[ text{원통좌표: } dV=r,dr,dtheta,dz ]

[ text{구면좌표: } dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta ]

이 계수들은 단순한 공식이 아니라 좌표 변환으로 인해 작은 조각이 얼마나 늘어나거나 줄어드는지를 나타낸다. 좌표변환 문제에서 가장 흔한 실수는 함수와 영역은 새 좌표로 바꾸면서 dA나 dV의 보정 계수를 빠뜨리는 것이다.

벡터장은 공간의 흐름을 나타낸다

벡터장은 공간의 각 점에 벡터를 하나씩 붙인 것이다. 바람의 속도장, 유체의 흐름, 전기장, 중력장처럼 위치마다 방향과 크기를 가진 현상을 표현할 때 사용한다.

평면의 벡터장은 보통

[ mathbf F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) ]

처럼 쓰고, 공간의 벡터장은

[ mathbf F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) ]

처럼 쓴다.

벡터장의 중요한 성질 중 하나는 발산이다. 발산은 한 점 주변에서 벡터장이 바깥으로 퍼져 나가는지, 안쪽으로 모여드는지를 나타낸다.

[ nablacdot mathbf F =frac{partial P}{partial x} +frac{partial Q}{partial y} +frac{partial R}{partial z}. ]

발산이 양수이면 그 점 근처에서 흐름이 새어 나오는 원천처럼 행동하고, 음수이면 빨려 들어가는 흡수점처럼 행동한다. 발산이 0이면 국소적으로 들어오는 양과 나가는 양이 균형을 이룬다고 볼 수 있다.

또 다른 중요한 성질은 회전이다. 회전은 벡터장이 한 점 근처에서 얼마나 빙글 도는 경향을 가지는지 나타낸다.

[ nablatimes mathbf F =left(frac{partial R}{partial y}-frac{partial Q}{partial z},
frac{partial P}{partial z}-frac{partial R}{partial x},
frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right) ]

로 계산한다. 공간에서 회전은 하나의 벡터이며, 그 방향은 회전축을 나타내고 크기는 회전의 강도를 나타낸다. 물 위에 작은 물레방아를 띄웠을 때 그 물레방아가 돌아간다면, 그 지점의 회전이 0이 아니라고 생각할 수 있다.

선적분은 곡선을 따라 더하는 적분이다

선적분은 곡선 위를 따라가며 값을 누적하는 적분이다. 곡선 C가 있을 때 스칼라 함수 f에 대한 선적분

[ int_C f,ds ]

는 곡선 위의 밀도 f를 길이에 따라 더한 값이다. 예를 들어 가느다란 철사가 곡선 모양이고 위치마다 밀도가 다르다면, 전체 질량을 구할 때 이런 적분을 쓴다.

벡터장에 대한 선적분은 조금 다르게 해석된다.

[ int_C mathbf Fcdot dmathbf r ]

이는 벡터장이 곡선을 따라 얼마나 일을 하는지를 나타낸다. dmathbf r은 곡선을 따라 움직이는 아주 작은 변위 벡터다. 벡터장과 이동 방향이 같으면 양의 기여를 하고, 반대 방향이면 음의 기여를 한다. 힘이 물체를 이동시킬 때 한 일의 양이 대표적인 예다.

폐곡선에 대한 선적분

[ oint_C mathbf Fcdot dmathbf r ]

은 순환을 나타낸다. 벡터장이 닫힌 경로를 따라 얼마나 회전하는 흐름을 만드는지 측정한다. 이때 경로를 어느 방향으로 도는지도 값에 영향을 준다. 같은 폐곡선이라도 반대 방향으로 돌면 선적분의 부호가 바뀐다.

면적분은 곡면을 통과하는 양을 측정한다

면적분은 곡면 위에서 값을 더하는 적분이다. 스칼라 함수에 대한 면적분

[ iint_S f,dS ]

는 곡면 위의 밀도를 면적에 따라 누적한 값이다. 곡면 형태의 얇은 막의 질량을 구할 때 사용할 수 있다.

벡터장에 대한 면적분은 보통 플럭스, 즉 통과량으로 해석한다.

[ iint_S mathbf Fcdot mathbf n,dS ]

여기서 mathbf n은 곡면의 단위법선벡터다. 벡터장이 곡면을 뚫고 나가는 방향이면 양수, 들어오는 방향이면 음수로 계산된다. 유체가 어떤 막을 얼마나 통과하는지, 전기장이 닫힌 표면을 통해 얼마나 빠져나가는지 설명할 때 쓰인다.

면적분에서는 방향 선택이 중요하다. 열린 곡면에서는 법선 방향을 하나 정해야 하고, 닫힌 곡면에서는 보통 바깥쪽 법선을 양의 방향으로 잡는다. 방향을 반대로 잡으면 플럭스의 부호도 반대로 바뀐다.

세 정리는 경계와 내부를 연결한다

벡터해석의 큰 정리들은 모두 비슷한 메시지를 가진다. 경계에서 측정한 값과 내부에서 측정한 값이 서로 연결된다는 것이다.

먼저 그린 정리는 평면 영역 D와 그 경계 곡선 partial D를 연결한다. 경계는 보통 영역을 왼쪽에 두고 도는 양의 방향, 즉 반시계 방향으로 잡는다.

[ oint_{partial D} P,dx+Q,dy =iint_Dleft(frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}right)dA. ]

왼쪽은 경계를 따라 도는 순환이고, 오른쪽은 영역 내부의 회전을 모두 더한 값이다. 즉 경계에서 관찰되는 전체 회전 효과는 내부 곳곳의 작은 회전들을 합친 것과 같다.

스토크스 정리는 그린 정리를 공간의 곡면으로 확장한 형태다.

[ oint_{partial S}mathbf Fcdot dmathbf r =iint_S (nablatimesmathbf F)cdotmathbf n,dS. ]

왼쪽은 곡면의 경계 곡선을 따라 도는 순환이고, 오른쪽은 곡면을 통과하는 회전의 총합이다. 여기서도 방향이 중요하다. 곡면의 법선 방향을 정하면 오른손 법칙에 따라 경계 곡선의 양의 방향이 정해진다. 적절한 매끄러움 조건이 만족되고 방향이 일관되게 잡혀 있다면, 같은 경계 곡선을 가진 곡면들에 대해 회전의 총효과는 같은 경계의 순환으로 나타난다.

발산 정리는 닫힌 곡면과 그 내부 공간을 연결한다.

[ iint_{partial E}mathbf Fcdotmathbf n,dS =iiint_E nablacdotmathbf F,dV. ]

왼쪽은 닫힌 표면을 통해 바깥으로 빠져나가는 총 흐름이고, 오른쪽은 내부에서 발생하는 발산을 모두 더한 값이다. 닫힌 곡면에서는 mathbf n을 보통 바깥쪽 단위법선벡터로 잡는다. 내부에 원천이 많으면 표면 밖으로 나가는 양이 커지고, 흡수되는 곳이 많으면 작아진다.

이 세 정리는 따로 외울 공식이 아니다. 모두 "작은 조각에서의 변화가 모이면 경계에서 관찰되는 전체 효과가 된다"는 하나의 관점을 공유한다.

계산보다 먼저 보아야 할 것

중적분과 벡터해석 문제를 풀 때는 공식을 바로 적용하기보다 다음 순서를 따르는 것이 좋다.

첫째, 적분하려는 대상이 무엇인지 확인한다. 면적, 부피, 질량, 일, 순환, 플럭스 중 무엇을 구하는지에 따라 적분 형태가 달라진다.

둘째, 영역의 모양을 본다. 직사각형인지, 원판인지, 구인지, 곡면인지에 따라 좌표계를 선택한다.

셋째, 변수변환을 했다면 야코비안을 반드시 포함한다. 좌표만 바꾸고 면적·부피 요소를 바꾸지 않으면 값이 틀어진다.

넷째, 벡터장 문제에서는 발산과 회전 중 무엇이 필요한지 구분한다. 밖으로 새어 나가는 양은 발산과 관련되고, 빙글 도는 성질은 회전과 관련된다.

다섯째, 방향을 확인한다. 선적분에서는 곡선을 도는 방향이 중요하고, 면적분에서는 법선 방향이 중요하다. 특히 그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리를 쓸 때는 경계의 방향과 법선 방향이 서로 맞아야 한다.

마지막으로, 경계와 내부 중 어느 쪽 계산이 쉬운지 비교한다. 선적분이 복잡하면 그린 정리나 스토크스 정리로 면적분을 계산할 수 있고, 닫힌 곡면의 플럭스가 복잡하면 발산 정리로 삼중적분을 계산할 수 있다.

중적분과 벡터해석은 다변수 미적분의 계산 기술을 넘어, 공간 속의 양과 흐름을 읽는 언어다. 작은 조각을 더해 전체를 만들고, 내부의 변화가 경계의 현상으로 나타난다는 관점을 익히면 이후 미분방정식, 물리학, 공학, 확률론에서도 같은 구조를 반복해서 만나게 된다.