무한급수와 함수의 전개

무한히 더한다는 말의 정확한 뜻

유한한 합은 어렵지 않다. 예를 들어

[ 1+frac12+frac14+frac18 ]

은 네 개의 수를 더하면 된다. 문제는 항이 끝없이 이어질 때다.

[ 1+frac12+frac14+frac18+cdots ]

이 식을 보고 "무한히 더한다"고 말하지만, 실제로 무한히 많은 덧셈을 한 번에 수행할 수는 없다. 대학 수학에서는 이 말을 부분합의 극한으로 정의한다.

수열 (a_1,a_2,a_3,dots)가 있을 때 무한급수는

[ sum_{n=1}^{infty} a_n=a_1+a_2+a_3+cdots ]

처럼 쓴다. 이때 (N)번째 부분합을

[ s_N=sum_{n=1}^{N}a_n ]

으로 둔다. 만약 부분합 수열 ((s_N))이 어떤 실수 (S)로 수렴하면, 급수 (sum a_n)은 수렴한다고 하고 그 합을 (S)라고 한다.

[ sum_{n=1}^{infty}a_n=S ]

반대로 부분합이 하나의 실수로 가까워지지 않으면 급수는 발산한다.

여기서 중요한 점은 급수의 수렴이 항 (a_n) 자체의 수렴이 아니라, 항들을 차례로 더한 부분합 (s_N)의 수렴이라는 것이다. 물론 급수 (sum a_n)이 수렴하려면 반드시

[ lim_{ntoinfty}a_n=0 ]

이어야 한다. 왜냐하면 부분합이 어떤 값으로 안정되려면, 뒤로 갈수록 새로 더하는 항은 점점 작아져야 하기 때문이다. 하지만 이것은 충분조건이 아니다. 항이 0으로 간다고 해서 급수가 항상 수렴하는 것은 아니다. 대표적인 예가 조화급수다.

AI 생성 이미지

기본 급수: 등비급수, 조화급수, p-급수

가장 먼저 익혀야 할 급수는 등비급수다.

[ sum_{n=0}^{infty} ar^n=a+ar+ar^2+cdots ]

여기서 (a)는 첫 항, (r)은 공비다. 등비급수는 (|r|<1)일 때 수렴하고,

[ sum_{n=0}^{infty} ar^n=frac{a}{1-r} ]

이다. 예를 들어

[ 1+frac12+frac14+frac18+cdots ]

은 (a=1, r=frac12)인 등비급수이므로

[ frac{1}{1-frac12}=2 ]

로 수렴한다. 직관적으로는 계속 더하지만, 더해지는 양이 너무 빠르게 작아져서 전체 합이 2에 가까워진다.

다음은 조화급수다.

[ sum_{n=1}^{infty}frac1n=1+frac12+frac13+frac14+cdots ]

각 항 (1/n)은 0으로 간다. 그러나 이 급수는 발산한다. 항이 작아지는 속도가 수렴하기에는 충분히 빠르지 않기 때문이다. 이 예는 "일반항이 0으로 간다"는 사실만으로는 급수의 수렴을 결론낼 수 없다는 점을 잘 보여 준다.

조화급수를 확장한 것이 p-급수다.

[ sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^p} ]

이 급수는 다음 기준을 따른다.

[ p>1 text{이면 수렴}, qquad ple 1 text{이면 발산} ]

예를 들어

[ sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2} ]

은 수렴하지만,

[ sum_{n=1}^{infty}frac{1}{sqrt n} ]

은 (p=frac12le 1)이므로 발산한다.

이 세 가지 급수는 이후 판정법의 기준점 역할을 한다. 복잡한 급수를 보면 "등비급수처럼 빠르게 줄어드는가?", "조화급수처럼 느리게 줄어드는가?", "어떤 p-급수와 비슷한가?"를 먼저 생각해야 한다.

수렴 판정법을 고르는 방법

급수 문제의 핵심은 대부분 "합을 정확히 구하라"가 아니라 "수렴하는지 발산하는지 판단하라"이다. 모든 급수의 합을 직접 계산할 수는 없기 때문이다.

먼저 가장 기본적인 확인은 다음이다.

[ lim_{ntoinfty}a_nne 0 ]

이면 (sum a_n)은 무조건 발산한다. 이를 항의 극한 판정이라고 부른다. 예를 들어

[ sum_{n=1}^{infty}frac{n}{n+1} ]

에서는 일반항이 1로 수렴하므로 급수는 발산한다.

다만 (a_nto 0)이면 그 사실만으로 수렴을 말할 수 없고, 그다음 판정법이 필요하다.

비교판정법

항이 음이 아닌 급수에서는 이미 알고 있는 급수와 비교할 수 있다. 만약 (0le a_nle b_n)이고 (sum b_n)이 수렴하면 (sum a_n)도 수렴한다. 큰 급수도 수렴하므로 그보다 작은 급수도 수렴한다는 뜻이다.

반대로 (0le b_nle a_n)이고 (sum b_n)이 발산하면 (sum a_n)도 발산한다. 작은 급수도 이미 한없이 커지므로 그보다 큰 급수 역시 발산한다. 실제 문제에서는 이런 부등식이 모든 (n)에서 성립하지 않더라도, 충분히 큰 (n)부터 성립하면 수렴성 판단에는 문제가 없다.

예를 들어

[ sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2+1} ]

을 보자. 모든 (n)에 대해

[ 0<frac{1}{n^2+1}<frac{1}{n^2} ]

이고 (sum 1/n^2)은 수렴한다. 따라서 주어진 급수도 수렴한다.

비슷한 꼴의 급수끼리는 극한비교판정법이 편하다. 양의 항 급수 (sum a_n), (sum b_n)에 대해

[ lim_{ntoinfty}frac{a_n}{b_n}=c ]

이고 (0<c<infty)이면 두 급수는 함께 수렴하거나 함께 발산한다. 즉 큰 (n)에서 같은 정도의 크기라면 수렴성도 같다는 말이다.

비율판정법

항에 팩토리얼 (n!), 지수 (2^n), 거듭제곱이 섞여 있으면 비율판정법을 먼저 떠올리면 좋다.

[ L=lim_{ntoinfty}left|frac{a_{n+1}}{a_n}right| ]

이라고 하자.

[ L<1 text{이면 절대수렴},qquad L>1 text{이면 발산} ]

이다. (L=1)이면 이 판정법만으로는 알 수 없다. 여기서 절대수렴이란 (sum |a_n|)이 수렴한다는 뜻이며, 절대수렴하면 원래 급수 (sum a_n)도 수렴한다.

예를 들어

[ sum_{n=1}^{infty}frac{n!}{3^n} ]

에서는

[ left|frac{a_{n+1}}{a_n}right| =frac{(n+1)!}{3^{n+1}}cdotfrac{3^n}{n!} =frac{n+1}{3} ]

이고 이는 무한대로 커진다. 따라서 급수는 발산한다.

반대로

[ sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!} ]

같은 급수에서는 비율판정법이 매우 강력하다. 뒤에서 보겠지만 이 급수는 모든 실수 (x)에서 수렴하며 (e^x)와 연결된다.

근판정법

일반항 전체가 (n)제곱 꼴이면 근판정법이 유용하다.

[ L=lim_{ntoinfty}sqrt[n]{|a_n|} ]

이라고 할 때,

[ L<1 text{이면 절대수렴},qquad L>1 text{이면 발산} ]

이고 (L=1)이면 판단할 수 없다.

예를 들어

[ sum_{n=1}^{infty}left(frac{2n+1}{3n+5}right)^n ]

에서는 근을 취하면

[ sqrt[n]{left|a_nright|}=frac{2n+1}{3n+5}to frac23 ]

이다. (2/3<1)이므로 급수는 수렴한다.

판정법을 고르는 감각은 다음처럼 정리할 수 있다. 분수식이 p-급수와 닮았으면 비교판정법, 팩토리얼이나 지수형 항이 있으면 비율판정법, 전체가 ((cdots)^n) 꼴이면 근판정법을 먼저 생각한다.

거듭제곱급수와 수렴반경

이제 급수의 관점을 함수로 확장해 보자. 다음과 같은 꼴의 급수를 거듭제곱급수라고 한다.

[ sum_{n=0}^{infty} c_n(x-a)^n ]

여기서 (a)는 중심, (c_n)은 계수다. 이 급수는 (x)의 값에 따라 수렴하기도 하고 발산하기도 한다.

거듭제곱급수에는 중요한 구조가 있다. 어떤 (Rge 0) 또는 (R=infty)가 존재하여,

[ |x-a|<R ]

에서는 수렴하고,

[ |x-a|>R ]

에서는 발산한다. 이 (R)을 수렴반경이라고 한다. 중심 (a)에서 반지름 (R)만큼 떨어진 구간 안에서는 수렴한다는 뜻이다.

수렴반경은 보통 비율판정법이나 근판정법으로 구한다.

예를 들어

[ sum_{n=1}^{infty}frac{(x-2)^n}{n} ]

을 보자. 일반항을

[ a_n=frac{(x-2)^n}{n} ]

이라고 하면,

[ left|frac{a_{n+1}}{a_n}right| =|x-2|cdotfrac{n}{n+1}to |x-2| ]

이다. 비율판정법에 의해 (|x-2|<1)이면 수렴하고 (|x-2|>1)이면 발산한다. 따라서 수렴반경은 (R=1)이다.

하지만 끝점은 따로 확인해야 한다. (|x-2|<1)은

[ 1<x<3 ]

을 뜻한다. 이제 (x=1), (x=3)을 각각 대입한다.

(x=3)이면

[ sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n} ]

이 되어 발산한다. (x=1)이면

[ sum_{n=1}^{infty}frac{(-1)^n}{n} ]

이 된다. 이 급수는 부호가 번갈아 바뀌고 항의 크기 (1/n)이 0으로 감소하므로 수렴한다. 따라서 전체 수렴구간은

[ [1,3) ]

이다.

거듭제곱급수 문제에서는 항상 세 단계를 따르면 된다. 먼저 비율판정법이나 근판정법으로 (|x-a|<R)을 구한다. 그다음 열린구간을 얻는다. 마지막으로 양 끝점을 직접 대입해 수렴 여부를 따로 판단한다.

테일러급수와 맥클로린급수

미분을 배울 때, 우리는 복잡한 함수를 한 점 근처에서 직선이나 다항식으로 근사할 수 있다고 보았다. 테일러급수는 이 생각을 끝까지 밀고 간 것이다.

함수 (f)가 (x=a) 근처에서 충분히 여러 번 미분 가능하다고 하자. 그러면 다음과 같은 급수를 생각할 수 있다.

[ f(a)+f'(a)(x-a)+frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+cdots ]

이를 (f)의 (a)에서의 테일러급수라고 한다.

[ sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n ]

특히 (a=0)에서 전개한 테일러급수를 맥클로린급수라고 한다.

[ sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n ]

대표적인 맥클로린급수는 다음과 같다.

[ e^x=sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!} =1+x+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+cdots ]

[ sin x=sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} =x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-cdots ]

[ cos x=sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{x^{2n}}{(2n)!} =1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-cdots ]

또 등비급수에서 바로 얻는 전개도 있다.

[ frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+cdots qquad (|x|<1) ]

이 공식은 단순해 보이지만 매우 중요하다. 복잡한 함수를 다항식의 무한합으로 바꾸는 출발점이 되기 때문이다.

주의할 점도 있다. 어떤 함수의 테일러급수를 만들 수 있다고 해서, 그 급수가 항상 원래 함수와 같은 것은 아니다. 급수가 수렴하는지, 그리고 그 합이 실제로 (f(x))인지 확인해야 한다. 입문 단계에서는 대표적인 함수들의 전개를 알고, 필요한 범위에서 근사에 활용하는 데 집중하면 충분하다.

함수 근사로서의 급수

급수 전개의 가장 큰 장점은 어려운 함수를 다항식처럼 다룰 수 있게 해 준다는 것이다. 다항식은 계산하기 쉽고, 미분과 적분도 간단하다.

예를 들어 (e^x)를 (x=0) 근처에서 근사하면

[ e^xapprox 1+x+frac{x^2}{2} ]

라고 쓸 수 있다. 따라서

[ e^{0.1}approx 1+0.1+frac{0.1^2}{2}=1.105 ]

이다. 실제 값과 매우 가깝다. 더 정확한 값을 원하면 항을 더 추가하면 된다.

[ e^{0.1}approx 1+0.1+frac{0.1^2}{2}+frac{0.1^3}{6} ]

처럼 말이다.

(sin x)도 마찬가지다. (x)가 0에 가까울 때는

[ sin xapprox x ]

이고, 조금 더 정밀하게는

[ sin xapprox x-frac{x^3}{6} ]

이다. 물리학과 공학에서 작은 각도 근사 (sin xapprox x)가 자주 쓰이는 이유가 여기에 있다. 단, 이때 (x)는 도 단위가 아니라 라디안 단위여야 한다.

적분에도 급수가 유용하다. 예를 들어 (e^{-x^2})의 부정적분은 초등함수로 간단히 표현되지 않는다. 하지만

[ e^{-x^2}=1-x^2+frac{x^4}{2!}-frac{x^6}{3!}+cdots ]

로 전개하면 항별로 적분하여 근삿값을 구할 수 있다.

[ int e^{-x^2},dx = x-frac{x^3}{3}+frac{x^5}{5cdot 2!}-frac{x^7}{7cdot 3!}+cdots +C ]

이처럼 급수는 "정확한 닫힌 형태"가 없을 때도 계산을 가능하게 한다.

이 장의 핵심 정리

무한급수는 끝없이 많은 항을 더하는 기호가 아니라, 부분합 수열의 극한으로 정의되는 대상이다. 급수가 수렴하려면 일반항이 0으로 가야 하지만, 그것만으로는 충분하지 않다.

등비급수, 조화급수, p-급수는 가장 기본적인 기준 급수다. 복잡한 급수는 비교판정법, 비율판정법, 근판정법 등을 이용해 수렴성을 판단한다. 어떤 판정법을 쓸지는 일반항의 모양을 보고 고른다.

거듭제곱급수는 변수 (x)를 포함한 급수이며, 수렴반경과 수렴구간을 가진다. 구간 내부에서는 안정적으로 수렴하지만, 끝점은 반드시 따로 확인해야 한다.

테일러급수와 맥클로린급수는 함수를 다항식의 무한합으로 표현하는 방법이다. 이를 통해 복잡한 함수를 근사하고, 미분과 적분을 더 쉽게 다룰 수 있다. 급수는 단순한 계산 기술이 아니라, 함수를 새로운 언어로 바라보게 하는 도구다.