적분은 작은 양을 모아 전체를 구하는 방법이다
미분은 한 점에서의 순간적인 변화율을 묻는다. 위치 함수 s(t)를 미분하면 속도 v(t)가 나오고, 비용 함수 C(x)를 미분하면 한 단위를 더 만들 때 드는 한계비용이 나온다. 반대로 적분은 변화율이나 밀도처럼 '작은 조각에 대한 정보'가 주어졌을 때 그것을 모아 전체량을 구하는 방법이다.
예를 들어 자동차의 속도가 시간에 따라 v(t)라고 하자. 아주 짧은 시간 Δt 동안 속도가 거의 일정하다면 그동안의 위치 변화는 대략 v(t)Δt이다. 전체 시간을 잘게 나누고, 각 구간에서의 작은 위치 변화들을 더하면 전체 변위에 가까워진다. 만약 v(t)가 항상 0 이상인 속력이라면 이 값은 이동거리로도 볼 수 있고, 속도가 음수가 되는 구간이 있다면 실제 총 이동거리는 나중에 보듯이 |v(t)|를 적분해야 한다.
이 생각이 적분의 핵심이다.
작은 변화량을 만든다. 그것을 전부 더한다. 조각을 점점 더 작게 만든다. 그 극한을 전체량으로 본다.
따라서 적분은 단순히 미분의 반대 계산이 아니다. 넓이, 변위와 이동거리, 질량, 총비용, 누적 확률처럼 '쌓이는 양'을 계산하는 언어다.
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리만합과 정적분의 정의
먼저 닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)를 생각하자. 이 구간을 n개의 작은 구간으로 나눈다. 각 작은 구간의 폭을 Δx라고 하면, 구간을 똑같이 나눌 때
Δx = (b-a)/n
이다. 각 작은 구간에서 대표점 x_i를 하나 고르고, 직사각형의 높이를 f(x_i)로 잡는다. 그러면 작은 직사각형의 넓이는
f(x_i*)Δx
이고, 모든 직사각형의 넓이를 더하면
Σ_{i=1}^n f(x_i*)Δx
가 된다. 이것을 리만합이라고 한다. 리만합은 곡선 아래의 넓이를 직사각형 넓이의 합으로 근사한 것이다.
이제 구간을 점점 더 잘게 나누어 Δx가 0에 가까워지게 한다. 이때 리만합이 어떤 값으로 가까워지고, 대표점을 어떻게 잡아도 같은 값이 나온다면 그 값을 정적분이라고 부른다. 더 일반적으로는 작은 구간들의 가장 큰 폭이 0에 가까워질 때 같은 극한값을 가지는지를 본다고 생각하면 된다.
기호로는 다음처럼 쓴다.
∫_a^b f(x) dx
여기서 a는 아래끝, b는 위끝이다. f(x)는 더해지는 양의 밀도나 높이이고, dx는 x방향의 아주 작은 폭을 나타낸다. 엄밀히 말해 dx를 독립적인 작은 수처럼 다루면 안 되지만, 직관적으로는 '아주 작은 x의 변화량'이라고 이해하면 좋다.
함수 f(x)가 0 이상이면 정적분은 곡선 y=f(x), x축, 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 넓이와 같다. 하지만 f(x)가 x축 아래에 있으면 그 부분은 음의 넓이로 계산된다. 그래서 정적분은 항상 보통 의미의 넓이가 아니라 부호가 있는 넓이다. 실제 기하학적 넓이를 구할 때 함수가 x축 아래로 내려간다면, 그 구간에서는 부호를 바꾸거나 |f(x)|를 적분해야 한다.
예를 들어 ∫_0^1 x^2 dx를 리만합으로 생각해 보자. [0,1]을 n등분하고 오른쪽 끝점을 대표점으로 잡으면 Δx=1/n, x_i=i/n이므로
Σ_{i=1}^n (i/n)^2(1/n) = (1/n^3)Σ_{i=1}^n i^2
이다. Σ_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6을 이용하면 이 값은
n(n+1)(2n+1)/(6n^3)
이고, n을 무한히 크게 보내면 1/3에 가까워진다. 따라서
∫_0^1 x^2 dx = 1/3
이다. 이 계산은 적분이 넓이 공식을 외우는 일이 아니라, 작은 직사각형들의 합에서 출발한다는 사실을 보여 준다.
부정적분과 정적분은 다르다
적분을 배울 때 가장 헷갈리는 부분은 부정적분과 정적분의 차이다.
정적분은 구간이 정해져 있다. ∫_a^b f(x) dx처럼 아래끝과 위끝이 있고, 계산 결과는 하나의 수다. 예를 들어 ∫_1^3 2x dx는 어떤 숫자다.
반면 부정적분은 구간이 없다. ∫ f(x) dx처럼 쓰며, f(x)를 도함수로 가지는 모든 함수를 찾는 문제다. 즉 부정적분은 역미분이다.
F'(x)=f(x)일 때 F(x)를 f(x)의 원시함수 또는 역도함수라고 한다. 이때
∫ f(x) dx = F(x)+C
라고 쓴다. 여기서 C는 적분상수다.
왜 C가 필요한가? 상수는 미분하면 0이 되기 때문이다. 예를 들어
(x^2)' = 2x
이고,
(x^2+5)' = 2x, (x^2-100)' = 2x
이다. 따라서 2x의 원시함수는 x^2 하나만이 아니라 x^2+C 전체다.
정리하면 다음과 같다.
부정적분 ∫ f(x) dx는 원시함수들의 모임이다.
정적분 ∫_a^b f(x) dx는 하나의 수다.
부정적분에는 적분상수 C가 붙는다.
정적분에는 적분상수 C가 최종 결과에 남지 않는다.
예를 들어
∫ 2x dx = x^2+C
이지만,
∫_1^3 2x dx = 3^2-1^2 = 8
이다.
미적분학의 기본정리
정적분은 리만합으로 정의되고, 부정적분은 역미분으로 정의된다. 처음에는 이 둘이 서로 다른 개념처럼 보인다. 그런데 놀랍게도 두 개념은 하나의 정리로 연결된다. 이것이 미적분학의 기본정리다.
먼저 누적함수를 생각하자.
A(x)=∫_a^x f(t) dt
이 함수는 a부터 x까지 f(t)를 누적한 값이다. 여기서 t는 적분을 위한 임시 변수다. 위끝 x가 변하면 누적된 양도 변하므로 A는 x의 함수가 된다.
f가 연속이면
A'(x)=f(x)
가 성립한다. 즉 누적량의 변화율은 바로 그 순간의 밀도 또는 높이와 같다.
직관은 간단하다. x를 아주 조금 h만큼 늘리면 새로 추가되는 누적량은 대략 f(x)h이다. 따라서
A(x+h)-A(x) ≈ f(x)h
이고, 양변을 h로 나누면 평균변화율은 f(x)에 가까워진다. h를 0에 가깝게 보내면 A'(x)=f(x)가 된다.
이제 F'(x)=f(x)인 원시함수 F를 하나 알고 있다고 하자. 그러면 미적분학의 기본정리에 의해
∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)
이다.
이 공식은 적분 계산을 강력하게 만든다. 리만합의 극한을 매번 직접 계산하지 않고도, 원시함수를 찾으면 정적분을 계산할 수 있기 때문이다.
예를 들어
∫_0^2 3x^2 dx
를 계산하자. 3x^2의 원시함수는 x^3이다. 따라서
∫_0^2 3x^2 dx = 2^3-0^3 = 8
이다. 만약 3x^2가 시간 t에서의 속도라면, 0초부터 2초까지의 변위가 8이라는 뜻이다.
기본 적분 공식은 미분 공식의 반대다
부정적분을 계산할 때는 미분 공식을 거꾸로 사용한다. 가장 기본적인 공식은 거듭제곱 함수의 적분이다.
n≠-1일 때
∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1)+C
이다. 이유는 x^{n+1}/(n+1)을 미분하면 x^n이 되기 때문이다.
여기서 n=-1인 경우는 따로 다루어야 한다. x^{-1}=1/x이고, ln|x|를 미분하면 1/x가 되므로
∫ 1/x dx = ln|x|+C
이다.
또 적분은 합과 상수배에 대해 자연스럽게 분배된다. 즉
∫ (af(x)+bg(x)) dx = a∫ f(x) dx + b∫ g(x) dx
처럼 계산할 수 있다. 여기서 a, b는 상수다.
예를 들어
∫ x^4 dx = x^5/5+C
이고,
∫ (3x^2-4x+1) dx = x^3-2x^2+x+C
이다. 각 항을 따로 적분한 뒤 마지막에 적분상수 C를 하나 붙이면 된다.
자주 쓰는 공식도 몇 가지 기억해 두면 좋다.
∫ e^x dx = e^x+C
∫ cos x dx = sin x+C
∫ sin x dx = -cos x+C
이 공식들도 모두 미분해서 확인할 수 있다. 예를 들어 -cos x를 미분하면 sin x가 된다.
다만 모든 적분이 공식 하나로 바로 풀리지는 않는다. 함수가 합성되어 있거나 곱으로 묶여 있으면 적절한 변형이 필요하다. 대표적인 방법이 치환적분과 부분적분이다.
치환적분: 합성함수를 되돌리는 방법
치환적분은 합성함수의 미분법을 거꾸로 사용하는 방법이다.
합성함수 f(g(x))를 미분하면 바깥 함수의 미분과 안쪽 함수의 미분이 함께 나온다. 즉
d/dx F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)
이다. 여기서 F'=f라면
∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x))+C
가 된다.
이때 u=g(x)로 놓으면 du=g'(x)dx라고 생각할 수 있다. 그러면 복잡한 x식의 적분이 u에 대한 더 단순한 적분으로 바뀐다.
예를 들어
∫ 2x e^{x^2} dx
를 보자. x^2의 미분이 2x이므로 u=x^2로 놓으면 du=2x dx이다. 따라서
∫ 2x e^{x^2} dx = ∫ e^u du = e^u+C = e^{x^2}+C
이다.
정적분에서도 치환적분을 쓸 수 있다. 이때는 구간도 함께 바꾸어야 한다. 예를 들어
∫_0^1 2x e^{x^2} dx
에서 u=x^2이면 x=0일 때 u=0, x=1일 때 u=1이다. 따라서
∫_0^1 2x e^{x^2} dx = ∫_0^1 e^u du = e-1
이다.
치환적분을 떠올릴 기준은 간단하다. 식 안에 어떤 덩어리 g(x)가 있고, 그 미분 g'(x)가 함께 보이거나 상수배 정도로 숨어 있으면 치환을 시도한다.
부분적분: 곱의 미분법을 되돌리는 방법
부분적분은 곱의 미분법을 거꾸로 사용하는 방법이다. 곱의 미분법은
(uv)' = u'v+uv'
이다. 양변을 정리하면
uv' = (uv)'-u'v
이고, 적분하면
∫ u v' dx = uv - ∫ u'v dx
를 얻는다. 보통 v' dx를 dv라고 써서
∫ u dv = uv - ∫ v du
라고 표현한다.
부분적분은 두 함수의 곱을 적분할 때 유용하다. 특히 한 함수는 미분하면 단순해지고, 다른 함수는 적분하기 쉬울 때 사용한다.
예를 들어
∫ x e^x dx
를 계산하자. x는 미분하면 1로 단순해지고, e^x는 적분해도 e^x 그대로다. 따라서 u=x, dv=e^x dx로 놓는다. 그러면 du=dx, v=e^x이므로
∫ x e^x dx = x e^x - ∫ e^x dx = x e^x-e^x+C
이다.
정적분에서도 마찬가지로
∫_a^b u v' dx = [uv]_a^b - ∫_a^b u'v dx
를 사용한다. 여기서 [uv]_a^b는 uv에 b를 넣은 값에서 a를 넣은 값을 뺀다는 뜻이다.
부분적분을 쓸지 치환적분을 쓸지 헷갈릴 수 있다. 안쪽 함수와 그 미분이 함께 보이면 치환적분을 먼저 생각한다. 두 함수의 곱이고, 한쪽을 미분하면 단순해지는 구조라면 부분적분을 생각한다.
적분식을 세우는 법
적분 문제에서 가장 중요한 단계는 계산보다 식을 세우는 일이다. 적분식은 다음 질문에서 출발한다.
무엇을 아주 작은 조각으로 나눌 것인가?
각 조각의 양은 대략 무엇인가?
그 조각들을 어떤 범위에서 더할 것인가?
넓이
곡선 y=f(x)가 x축 위에 있으면 [a,b]에서의 넓이는
∫_a^b f(x) dx
이다. 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 사이의 넓이는 위에 있는 함수에서 아래에 있는 함수를 뺀 뒤 적분한다.
∫_a^b (위쪽 함수 - 아래쪽 함수) dx
예를 들어 y=2x와 y=x^2 사이의 넓이를 0≤x≤2에서 구하자. 이 구간에서는 2x가 x^2보다 위에 있다. 따라서 넓이는
∫_0^2 (2x-x^2) dx = [x^2-x^3/3]_0^2 = 4/3
이다. 만약 중간에 위아래가 바뀐다면 교점을 기준으로 구간을 나누어 적분해야 한다.
이동거리와 변위
속도 v(t)를 적분하면 변위가 나온다.
변위 = ∫_a^b v(t) dt
여기서 변위는 방향을 포함한다. 속도가 음수인 구간은 반대 방향으로 이동한 것으로 계산된다.
반면 실제로 움직인 총 이동거리는 속도의 절댓값을 적분해야 한다.
총 이동거리 = ∫_a^b |v(t)| dt
따라서 속도가 중간에 부호를 바꾸면, 부호가 바뀌는 시점을 기준으로 구간을 나누어 계산하는 것이 안전하다. 예를 들어 어떤 구간에서는 앞으로 가고, 다른 구간에서는 뒤로 갔다면 변위는 서로 상쇄될 수 있지만, 총 이동거리는 상쇄되지 않는다.
총량
밀도나 비율이 주어졌을 때 전체량은 적분으로 구한다. 길이 방향의 선밀도 λ(x)가 주어지면 막대의 질량은
∫_a^b λ(x) dx
이다. 시간 t에서 물이 들어오는 비율이 r(t)라면 전체 유입량은
∫_a^b r(t) dt
이다. 한계비용 C'(x)가 주어졌을 때 생산량이 a에서 b로 늘어날 때의 비용 증가는
∫_a^b C'(x) dx
이다.
이때 단위를 확인하면 적분식이 맞는지 판단하는 데 도움이 된다. 예를 들어 속도의 단위가 m/s이고 dt의 단위가 s이면, 곱 v(t)dt의 단위는 m가 된다. 작은 거리 또는 작은 변위들을 더했으니 결과가 길이 단위로 나오는 것이다. 마찬가지로 밀도의 단위가 kg/m이고 dx의 단위가 m이면, λ(x)dx의 단위는 kg가 되어 질량을 나타낸다.
적분을 이해하는 핵심
적분은 세 가지 얼굴을 가진다.
첫째, 정적분은 리만합의 극한이다. 작은 직사각형 또는 작은 조각의 합으로 전체량을 정의한다.
둘째, 부정적분은 역미분이다. 어떤 함수를 미분했을 때 주어진 함수가 되는 원시함수를 찾는다.
셋째, 미적분학의 기본정리는 이 둘을 연결한다. 누적량을 미분하면 원래의 밀도가 나오고, 원시함수를 알면 정적분을 계산할 수 있다.
따라서 적분을 공부할 때는 공식 암기에서 멈추면 안 된다. 이 적분이 무엇을 누적하는지, 작은 조각 하나가 어떤 의미인지, 구간의 끝점이 왜 그렇게 정해지는지를 함께 보아야 한다. 그러면 적분은 넓이 공식이 아니라 변화와 전체량을 연결하는 수학의 언어가 된다.
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