도함수는 '변화의 방향'을 읽는 도구다
지난 장에서 미분계수는 한 점에서의 순간변화율이고, 도함수는 각 점의 변화율을 모아 놓은 함수라고 했다. 이제 질문을 조금 바꾸어 보자.
함수값이 커지고 있는가, 작아지고 있는가? 어느 지점에서 가장 큰가, 가장 작은가? 그래프가 위로 휘는가, 아래로 휘는가? 어떤 조건에서 비용이 최소가 되거나 이익이 최대가 되는가?
이런 질문은 모두 도함수로 다룰 수 있다. 미분을 배우는 중요한 이유는 단순히 접선의 기울기를 계산하기 위해서가 아니다. 복잡한 현상 속에서 변화의 방향을 읽고, 가장 좋은 선택을 찾기 위해서다.
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일계도함수와 증가·감소
함수 f의 도함수 f'(x)는 x 근처에서 함수값이 어느 방향으로 변하는지를 알려 준다.
f'(x) > 0이면 x 근처에서 f는 증가하는 방향으로 움직인다.
f'(x) < 0이면 x 근처에서 f는 감소하는 방향으로 움직인다.
f'(x) = 0이면 그 순간 변화율은 0이다. 다만 이 점이 반드시 최대나 최소라는 뜻은 아니다.
그래프에서 생각하면 간단하다. 접선의 기울기가 양수이면 오른쪽으로 갈수록 그래프가 올라가는 방향이고, 기울기가 음수이면 내려가는 방향이다. 다만 한 점에서의 도함수 부호만 보고 넓은 구간 전체의 증가·감소를 단정해서는 안 된다. 어떤 구간에서 도함수의 부호가 계속 양수인지, 계속 음수인지를 확인해야 그 구간에서 증가 또는 감소한다고 말할 수 있다.
예를 들어
f(x) = x^3 - 3x^2 + 1
이라고 하자. 도함수는
f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)
이다. 증가와 감소가 바뀔 수 있는 지점은 f'(x) = 0이 되는 x = 0, x = 2이다. 이 점들을 기준으로 구간을 나누어 부호를 확인한다.
x < 0에서는 3x(x - 2) > 0이므로 증가한다.
0 < x < 2에서는 3x(x - 2) < 0이므로 감소한다.
x > 2에서는 3x(x - 2) > 0이므로 증가한다.
따라서 이 함수는 (-∞, 0)에서 증가하고, (0, 2)에서 감소하며, (2, ∞)에서 다시 증가한다.
여기서 중요한 점은 '도함수를 구한 뒤 끝'이 아니라는 것이다. 도함수의 부호를 해석해야 함수의 움직임을 알 수 있다.
극값과 임계점
어떤 점 주변에서 함수값이 가장 크면 그 점의 함수값을 국소최댓값이라고 한다. 반대로 주변에서 가장 작으면 국소최솟값이라고 한다. 둘을 합쳐 국소극값 또는 극값이라고 부른다. 여기서 "국소"라는 말은 전체 구간에서 가장 크거나 작다는 뜻이 아니라, 그 점 가까이에서만 비교한다는 뜻이다.
미분 가능한 함수가 구간의 내부점 x = a에서 국소최대나 국소최소를 가지면 f'(a) = 0이다. 이 사실은 직관적으로도 자연스럽다. 꼭대기나 바닥에서는 접선이 수평이 되는 경우가 많기 때문이다. 단, 끝점에서 최댓값이나 최솟값이 생길 때는 이 조건을 그대로 적용할 수 없다. 끝점에는 양쪽에서 접근하는 접선의 상황이 내부점과 다르기 때문이다.
하지만 f'(a) = 0이라고 해서 반드시 극값이 생기는 것은 아니다. 예를 들어 f(x) = x^3은 x = 0에서 f'(0) = 0이지만, 함수는 계속 증가한다. 따라서 x = 0은 최대도 최소도 아니다.
이 때문에 극값을 찾을 때는 다음 순서를 따른다.
f'(x)를 구한다.
f'(x) = 0이 되는 점과 f'(x)가 정의되지 않는 점을 찾는다. 이런 점을 임계점이라고 부른다. 이때 임계점은 원래 함수 f의 정의역 안에 있어야 한다.
임계점을 기준으로 구간을 나누어 f'(x)의 부호를 조사한다.
증가에서 감소로 바뀌면 국소최대, 감소에서 증가로 바뀌면 국소최소다.
앞의 예제 f(x) = x^3 - 3x^2 + 1을 다시 보자.
x = 0에서 f'의 부호는 +에서 -로 바뀐다. 따라서 x = 0에서 국소최대가 생긴다.
x = 2에서 f'의 부호는 -에서 +로 바뀐다. 따라서 x = 2에서 국소최소가 생긴다.
폐구간 [a, b]에서 전체 최댓값과 전체 최솟값을 찾을 때는 한 가지를 더 조심해야 한다. 함수가 [a, b]에서 연속이면 최댓값과 최솟값은 반드시 존재하지만, 그 값이 열린 구간 안의 임계점에서만 생긴다고 보장할 수는 없다. 끝점 x = a, x = b에서의 함수값도 함께 비교해야 전체 구간에서의 최댓값과 최솟값을 제대로 찾을 수 있다.
이계도함수와 그래프의 휘어짐
일계도함수 f'(x)가 함수의 증가와 감소를 알려 준다면, 이계도함수 f''(x)는 그래프가 어떻게 휘어지는지를 알려 준다.
f''(x)는 f'(x)의 변화율이다. 즉 기울기가 증가하는지 감소하는지를 말해 준다.
f''(x) > 0이면 접선의 기울기가 증가한다. 그래프는 아래에서 받쳐 올라가는 모양으로 휘며, 보통 볼록하다고 한다.
f''(x) < 0이면 접선의 기울기가 감소한다. 그래프는 위에서 눌린 모양으로 휘며, 보통 오목하다고 한다.
예를 들어 f(x) = x^2는 f''(x) = 2 > 0이다. 그래프는 위로 열린 포물선이다. 반대로 f(x) = -x^2는 f''(x) = -2 < 0이고, 아래로 열린 포물선이다.
그래프의 휘어지는 방향이 바뀌는 점을 변곡점이라고 한다. 단순히 f''(a) = 0이라고 해서 항상 변곡점은 아니다. 변곡점이 되려면 그 점을 지나며 오목성과 볼록성이 실제로 바뀌어야 한다.
예를 들어
f(x) = x^3
이면
f'(x) = 3x^2, f''(x) = 6x
이다. x < 0에서는 f''(x) < 0이고, x > 0에서는 f''(x) > 0이다. 따라서 x = 0에서 그래프의 휘어짐이 바뀌므로 변곡점이다.
이계도함수는 극값 판정에도 사용할 수 있다. 임계점 x = a에서 f'(a) = 0일 때,
f''(a) > 0이면 그래프가 위로 열린 모양이므로 국소최소다.
f''(a) < 0이면 그래프가 아래로 열린 모양이므로 국소최대다.
f''(a) = 0이면 이 방법만으로는 판단할 수 없다.
즉 이계도함수 판정법은 편리하지만 만능은 아니다. 판단이 애매하면 다시 일계도함수의 부호 변화를 확인하는 것이 안전하다.
롤의 정리와 평균값 정리
미분의 활용에서 중요한 정리 두 가지가 있다. 롤의 정리와 평균값 정리다. 이 정리들은 계산 기술이라기보다, 함수의 전체 변화와 어느 한 점에서의 순간 변화가 연결되어 있음을 보여 준다.
먼저 롤의 정리를 보자.
함수 f가 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분 가능하며, f(a) = f(b)라면, 어떤 c가 (a, b) 안에 존재하여 f'(c) = 0이다.
쉽게 말하면 출발 높이와 도착 높이가 같고 그래프가 끊어지지 않는다면, 중간 어딘가에는 접선이 수평인 지점이 있다는 뜻이다. 산을 올랐다가 다시 같은 높이로 내려오든, 내려갔다가 올라오든, 적어도 한 번은 기울기가 0이 되는 순간이 생긴다.
평균값 정리는 이를 더 일반화한다.
함수 f가 [a, b]에서 연속이고, (a, b)에서 미분 가능하면, 어떤 c가 (a, b) 안에 존재하여
f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)
를 만족한다.
오른쪽은 구간 [a, b]에서의 평균변화율이다. 평균값 정리는 어떤 순간의 순간변화율이 전체 평균변화율과 같아지는 지점이 적어도 하나 존재한다고 말한다.
예를 들어 자동차가 2시간 동안 120km를 이동했다면 평균 속도는 시속 60km이다. 위치가 시간에 따라 끊어지지 않고, 각 순간의 속도를 생각할 수 있을 만큼 매끄럽게 변한다면 어느 순간에는 정확히 시속 60km로 달린 때가 있어야 한다. 이것이 평균값 정리의 직관이다.
이 정리는 함수 분석에도 강력하다.
어떤 구간에서 항상 f'(x) > 0이면 f는 그 구간에서 증가한다.
어떤 구간에서 항상 f'(x) < 0이면 f는 그 구간에서 감소한다.
어떤 구간에서 항상 f'(x) = 0이면 f는 그 구간에서 상수함수다.
이런 결론은 단순한 그래프 관찰이 아니라 평균값 정리에 의해 정당화된다.
테일러 다항식: 복잡한 함수를 가까운 다항식으로 보기
미분은 근사에도 쓰인다. 지난 장에서 국소적 선형 근사를 보았다.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a)
이 식은 x가 a에 가까울 때 함수 f를 접선으로 대신 보는 방법이다. 테일러 다항식은 이 생각을 더 확장한다. 접선 하나만 쓰는 대신, 이계도함수와 삼계도함수까지 이용하여 더 잘 맞는 다항식을 만든다.
예를 들어 3차까지의 테일러 다항식은 다음과 같은 모양이다.
f(x) ≈ f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2 + f'''(a)(x - a)^3/6
여기서 각 항은 함수의 값, 기울기, 휘어짐, 그다음 변화까지 차례로 반영한다. 즉 테일러 다항식은 '한 점 근처에서 함수가 어떻게 생겼는지'를 미분계수들로 압축한 근사식이다. 더 높은 차수까지 사용하면 보통 더 많은 정보를 반영할 수 있지만, 실제로는 필요한 정확도에 맞추어 적당한 차수에서 멈춘다.
예를 들어 a = 0 근처에서 e^x는 다음처럼 근사할 수 있다.
e^x ≈ 1 + x + x^2/2
x가 0에 충분히 가까우면 이 다항식은 e^x의 값을 꽤 잘 따라간다. sin x도 0 근처에서는
sin x ≈ x - x^3/6
처럼 근사할 수 있다.
테일러 다항식의 핵심은 모든 함수를 무조건 다항식으로 바꾼다는 뜻이 아니다. 관심 있는 한 점 근처에서, 복잡한 함수를 다루기 쉬운 다항식으로 대신 보는 방법이다. 물리와 공학에서 작은 진동, 작은 오차, 작은 각도를 다룰 때 이 생각이 자주 쓰인다.
최적화 문제를 푸는 절차
최적화란 어떤 조건 아래에서 가장 큰 값이나 가장 작은 값을 찾는 문제다. 미분은 최적화 문제의 핵심 도구다. 다만 현실 문제는 처음부터 함수 형태로 주어지지 않는 경우가 많다. 그래서 식을 세우는 과정이 계산만큼 중요하다.
최적화 문제는 보통 다음 순서로 푼다.
무엇을 최대화하거나 최소화할지 정한다. 이것을 목적함수라고 한다.
문제에서 주어진 조건을 식으로 나타낸다. 이것을 제약조건이라고 한다.
변수를 하나로 줄여 목적함수를 한 변수 함수로 만든다.
변수의 가능한 범위, 즉 정의역을 확인한다.
도함수를 구하고 임계점과 끝점을 조사한다.
계산된 값이 실제 문제에서 무엇을 뜻하는지 해석한다.
간단한 예를 보자.
길이 100m의 울타리로 직사각형 모양의 밭을 만들려고 한다. 밭의 넓이를 최대로 하려면 가로와 세로를 어떻게 정해야 할까?
가로를 x, 세로를 y라고 하면 울타리 전체 길이는
2x + 2y = 100
이다. 따라서 x + y = 50이고, y = 50 - x이다.
넓이 A는
A = xy = x(50 - x) = 50x - x^2
이다. 가능한 범위는 0 < x < 50이다. 이제 미분하면
A'(x) = 50 - 2x
이다. A'(x) = 0이므로 x = 25이다. 그러면 y = 25이다. 이때 A(x)는 위로 볼록한 포물선이므로 x = 25에서 넓이가 최대가 된다. 즉 같은 둘레로 직사각형의 넓이를 최대로 하려면 정사각형을 만들어야 한다.
이 예제에서 중요한 것은 미분 계산 자체보다 문제를 함수로 바꾸는 과정이다. 현실의 문장을 수학의 언어로 바꾸어야 도함수를 사용할 수 있다.
경제에서는 이익을 최대화하는 생산량을 찾을 때 미분을 사용한다. 수익을 R(x), 비용을 C(x)라고 하면 이익은 P(x) = R(x) - C(x)이다. 이익이 최대가 되는 내부 지점에서는 보통 P'(x) = 0이므로 R'(x) = C'(x)가 된다. 즉 한 단위를 더 생산할 때 늘어나는 수익과 비용이 같아지는 지점이 최적 후보가 된다. 물론 실제 문제에서는 생산량의 범위, 정수 단위, 고정비 같은 조건도 함께 확인해야 한다.
물리에서는 위치의 도함수가 속도이고, 속도의 도함수가 가속도다. 물체가 가장 높이 올라가는 순간에는 높이 함수의 도함수, 즉 속도가 0이 된다. 공학에서는 재료 사용량을 줄이거나 강도를 높이는 설계 조건을 목적함수와 제약조건으로 바꾸어 최적값을 찾는다.
계산보다 중요한 해석
미분의 활용 문제에서 자주 하는 실수는 f'(x) = 0만 풀고 답을 끝내는 것이다. 그러나 최적화에서는 다음 질문을 반드시 확인해야 한다.
그 점이 정의역 안에 있는가?
최대를 묻는가, 최소를 묻는가?
끝점에서도 더 큰 값이나 작은 값이 나오지 않는가?
도함수가 0인 점이 정말 극값인가?
계산한 값이 원래 문제의 단위와 조건에 맞는가?
도함수는 후보를 찾아 주는 강력한 도구다. 하지만 최종 판단은 함수의 전체 구조와 문제의 조건을 함께 보아야 한다.
이번 장에서 배운 내용은 미분의 핵심 응용이다. 일계도함수는 증가와 감소를 알려 주고, 이계도함수는 휘어짐을 알려 준다. 평균값 정리는 평균 변화와 순간 변화를 연결하고, 테일러 다항식은 복잡한 함수를 가까운 다항식으로 근사한다. 최적화는 이 모든 생각을 현실 문제에 적용하는 과정이다.
미분은 곡선 위의 한 점을 보는 기술에서 출발하지만, 결국 변화하는 세계에서 방향과 최선의 선택을 찾는 언어가 된다.
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