미분과 변화율

변화율이라는 질문

미분은 "얼마나 빠르게 변하는가?"를 다루는 방법이다. 자동차의 위치가 시간에 따라 변할 때 속도를 알고 싶고, 물체의 온도가 시간에 따라 변할 때 식는 속도를 알고 싶다. 그래프에서는 함수값이 얼마나 가파르게 올라가거나 내려가는지를 알고 싶다.

먼저 두 점 사이의 변화를 보자. 함수 $y=f(x)$에서 $x$가 $a$에서 $b$로 변할 때 함수값은 $f(a)$에서 $f(b)$로 변한다. 이때 평균변화율은

$$frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

이다. 이는 그래프 위의 두 점 $(a, f(a))$, $(b, f(b))$를 잇는 직선의 기울기와 같다. 이런 직선을 할선이라고 한다.

예를 들어 $f(x)=x^2$에서 $x=1$부터 $x=3$까지의 평균변화율은

$$frac{f(3)-f(1)}{3-1}=frac{9-1}{2}=4$$

이다. 즉 이 구간 전체로 보면 $x$가 1 증가할 때 $f(x)$는 평균적으로 4씩 증가한다.

하지만 이것은 구간 전체를 한꺼번에 본 평균이다. $x=1$ 바로 근처에서의 변화율은 이 값과 다를 수 있다. 미분은 바로 이 "한 점에서의 변화율"을 극한으로 정의한다.

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평균변화율에서 순간변화율로

한 점 $a$에서의 변화율을 알고 싶다면, $a$에서 아주 가까운 점 $a+h$를 잡는다. 그러면 두 점 $a$, $a+h$ 사이의 평균변화율은

$$frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

이다. 여기서 $h$는 $x$의 변화량이다. $h$가 작아질수록 두 점은 가까워지고, 할선은 한 점에서 그래프에 닿는 접선에 가까워진다.

따라서 $h$를 0으로 보내는 극한을 생각한다.

$$f'(a)=lim_{hto 0}frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

이 극한이 존재할 때, 함수 $f$는 $a$에서 미분가능하다고 한다. 그리고 그 극한값 $f'(a)$를 $a$에서의 미분계수라고 한다. 말하자면 미분계수는 "그 점에서의 순간변화율"이다.

예를 들어 $f(x)=x^2$의 $x=1$에서의 미분계수를 구해 보자.

$$frac{f(1+h)-f(1)}{h}=frac{(1+h)^2-1}{h}$$

분자를 정리하면

$$frac{(1+2h+h^2)-1}{h}=frac{2h+h^2}{h}=2+h$$

이므로

$$lim_{hto 0}(2+h)=2$$

이다. 따라서 $f'(1)=2$이다. $x=1$ 근처에서 $x^2$의 순간변화율은 2라고 말할 수 있다.

여기서 중요한 점은 $h=0$을 직접 대입하는 것이 아니라는 사실이다. $h=0$이면 분모가 0이 되어 식 자체가 의미 없어진다. 미분은 "0이 아닌 변화량"을 점점 0에 가깝게 보내는 극한 과정이다.

도함수와 접선의 의미

한 점 $a$마다 미분계수 $f'(a)$를 구할 수 있다면, $x$를 입력받아 $f'(x)$를 내놓는 새로운 함수를 만들 수 있다. 이 함수를 도함수라고 한다.

원래 함수 $f(x)$가 위치나 양을 나타낸다면, 도함수 $f'(x)$는 그 변화율을 나타낸다. 예를 들어 위치 함수 $s(t)$의 도함수 $s'(t)$는 순간속도이다. 그래프 관점에서는 $f'(x)$가 $x$에서의 접선의 기울기이다.

함수 $y=f(x)$가 $x=a$에서 미분가능하면, 그 점에서의 접선 방정식은

$$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$

이다. 이는 점 $(a, f(a))$를 지나고 기울기가 $f'(a)$인 직선이다.

예를 들어 $f(x)=x^2$에서 $x=1$에서의 접선을 구해 보자. 앞에서 $f'(1)=2$였고, $f(1)=1$이다. 따라서 접선은

$$y=1+2(x-1)=2x-1$$

이다.

이 접선은 단순한 그림의 보조선이 아니다. 함수가 한 점 근처에서 거의 직선처럼 보인다는 사실을 표현한다. 즉 $x$가 $a$에 아주 가까울 때

$$f(x) approx f(a)+f'(a)(x-a)$$

로 생각할 수 있다. 이것을 국소적 선형 근사라고 한다. 미분은 복잡한 곡선을 아주 작은 범위에서 직선으로 이해하게 해 주는 도구다.

기본 미분법

도함수를 매번 정의로만 계산하면 번거롭다. 그래서 자주 쓰이는 계산 법칙을 정리해 둔다. 단, 이 법칙들은 해당 함수들이 그 점에서 미분가능하다는 조건 아래에서 사용한다.

먼저 상수함수의 도함수는 0이다.

$$(c)'=0$$

상수는 변하지 않으므로 변화율이 0이다. 거듭제곱 함수는 다음과 같이 미분된다.

$$(x^n)'=n x^{n-1}$$

여기서 $n$이 양의 정수라면 이 공식은 모든 실수 $x$에서 자연스럽게 사용할 수 있다. 더 일반적인 거듭제곱, 예를 들어 $x^{1/2}$이나 $x^{-1}$처럼 정의역에 제한이 있는 경우에는 함수가 정의되고 미분가능한 구간 안에서 사용해야 한다.

예를 들어 $(x^5)'=5x^4$이고, $(x^2)'=2x$이다.

합과 상수배는 자연스럽게 처리된다.

$$(f+g)'=f'+g'$$

$$(cf)'=c f'$$

예를 들어 $f(x)=3x^4-2x+7$이면

$$f'(x)=12x^3-2$$

이다. 상수항 7은 미분하면 0이 된다.

곱의 미분법은 다음과 같다.

$$(fg)'=f'g+fg'$$

곱 전체의 변화는 "첫 번째가 변한 효과"와 "두 번째가 변한 효과"가 함께 나타난다. 예를 들어

$$f(x)=x^2sin x$$

이면

$$f'(x)=2xsin x+x^2cos x$$

이다.

몫의 미분법은 분모가 0이 아닌 곳에서 쓴다.

$$left(frac{f}{g}right)'=frac{f'g-fg'}{g^2}$$

예를 들어 $f(x)=dfrac{x}{x+1}$이면

$$f'(x)=frac{(1)(x+1)-x(1)}{(x+1)^2}=frac{1}{(x+1)^2}$$

이다. 단, 원래 함수는 $x=-1$에서 정의되지 않으므로 그 점에서는 미분을 말할 수 없다.

합성함수의 미분법

합성함수는 함수 안에 함수가 들어간 형태다. 예를 들어

$$y=(3x^2+1)^5$$

은 바깥 함수 $u^5$와 안쪽 함수 $u=3x^2+1$의 합성이다.

합성함수의 미분법은 연쇄법칙이라고 한다.

$$(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)$$

말로 풀면 "바깥을 미분하되 안쪽은 그대로 두고, 거기에 안쪽의 미분을 곱한다"는 뜻이다.

예를 들어 $y=(3x^2+1)^5$라면

$$y'=5(3x^2+1)^4cdot 6x=30x(3x^2+1)^4$$

이다.

연쇄법칙은 미분 계산에서 가장 자주 쓰이는 법칙 중 하나다. 삼각함수, 지수함수, 로그함수가 복잡한 식과 합성되어 있을 때도 같은 원리로 계산한다.

예를 들어

$$y=ln(1+x^2)$$

이면 바깥 함수는 $ln u$, 안쪽 함수는 $u=1+x^2$이다. 따라서

$$y'=frac{1}{1+x^2}cdot 2x=frac{2x}{1+x^2}$$

이다.

자주 쓰이는 함수들의 도함수

다음 도함수들은 기본 도구처럼 자주 사용된다.

여기서 삼각함수의 미분 공식은 각도를 라디안으로 측정할 때 성립한다. 도 단위를 쓰면 공식에 추가 상수가 붙는다. 미적분에서 삼각함수를 다룰 때 기본 단위가 라디안인 이유가 여기에 있다.

몇 가지 예를 보자.

첫째,

$$y=e^{3x}$$

이면 연쇄법칙에 의해

$$y'=3e^{3x}$$

이다.

둘째,

$$y=sin(x^2)$$

이면

$$y'=cos(x^2)cdot 2x=2xcos(x^2)$$

이다.

셋째,

$$y=x^3ln x$$

이면 곱의 미분법을 사용하여

$$y'=3x^2ln x+x^3cdot frac{1}{x}=3x^2ln x+x^2$$

이다. 이 함수는 $ln x$ 때문에 $x>0$에서 다룬다.

미분가능성과 연속성

미분가능하다는 것은 함수가 그 점 근처에서 잘 정의된 접선 기울기를 가진다는 뜻이다. 이 성질은 연속성보다 강하다.

정리하면 다음과 같다.

함수 $f$가 $a$에서 미분가능하면, $f$는 $a$에서 연속이다.

왜 그럴까? $xne a$일 때

$$f(x)-f(a)=frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)$$

로 쓸 수 있다. $xto a$일 때 첫 번째 인수는 미분계수 $f'(a)$로 가까워지고, 두 번째 인수 $x-a$는 0으로 가까워진다. 따라서 전체는 0으로 가까워진다.

즉

$$lim_{xto a}(f(x)-f(a))=0$$

이고, 이는

$$lim_{xto a}f(x)=f(a)$$

을 뜻한다. 바로 연속의 조건이다.

하지만 그 역은 성립하지 않는다. 연속이라고 해서 반드시 미분가능한 것은 아니다.

대표적인 예는

$$f(x)=|x|$$

이다. 이 함수는 $x=0$에서 연속이다. 실제로 $x$가 0에 가까워지면 $|x|$도 0에 가까워진다. 하지만 $x=0$에서의 미분계수를 보면 문제가 생긴다.

오른쪽에서의 변화율은

$$lim_{hto 0^+}frac{|h|}{h}=lim_{hto 0^+}frac{h}{h}=1$$

이고, 왼쪽에서의 변화율은

$$lim_{hto 0^-}frac{|h|}{h}=lim_{hto 0^-}frac{-h}{h}=-1$$

이다. 좌우에서 기울기가 다르므로 하나의 접선 기울기를 정할 수 없다. 따라서 $|x|$는 0에서 연속이지만 미분가능하지 않다.

그래프를 보면 이유가 더 분명하다. $y=|x|$는 원점에서 뾰족하게 꺾인다. 끊어지지는 않았지만, 그 점에서 하나의 기울기를 갖는 직선을 정할 수 없다.

이 예는 중요한 구분을 보여 준다.

• 미분가능하면 연속이다.

• 연속이라고 해서 항상 미분가능한 것은 아니다.

• 꺾인 점, 뾰족한 점, 기울기가 유한한 하나의 값으로 정해지지 않는 점에서는 미분가능성을 따로 확인해야 한다.

미분을 읽는 방법

미분 계산을 할 때는 공식을 외우는 것보다 구조를 먼저 보는 습관이 중요하다.

1. 이 함수는 합인가, 곱인가, 몫인가?

2. 함수 안에 함수가 들어간 합성함수인가?

3. 로그나 분수처럼 정의역 제한이 있는가?

4. 미분하려는 점에서 함수가 실제로 정의되어 있는가?

5. 좌우 변화율이 같은가?

예를 들어 $x^2sin x$는 곱이므로 곱의 미분법을 쓴다. $sin(x^2)$는 합성이므로 연쇄법칙을 쓴다. $ln(x-1)$은 $x>1$에서만 정의되므로 그 밖에서는 미분을 말할 수 없다.

미분은 단순한 계산 기술이 아니다. 함수의 한 점 근처를 확대해서 보고, 그곳에서 함수가 어떤 방향과 속도로 변하는지 읽어 내는 방법이다. 평균변화율의 극한으로 순간변화율을 정의하고, 그 값을 접선의 기울기로 해석하는 순간, 곡선은 국소적으로 분석 가능한 대상이 된다. 이것이 미분이 대학 수학 전반에서 핵심 도구가 되는 이유다.