수열과 극한의 첫걸음

수열은 '순서가 있는 함수'다

수열은 숫자를 차례대로 늘어놓은 것이다. 예를 들어

[ 1, frac12, frac13, frac14, cdots ]

은 각 자연수 (n)에 대해 (a_n=frac1n)으로 정해지는 수열이다. 여기서 (a_n)은 "(n)번째 항"을 뜻한다.

고등학교에서는 수열을 주로 규칙 찾기나 합 계산의 대상으로 보았다. 대학 수학에서는 수열을 조금 더 구조적으로 본다. 수열은 자연수 집합 (mathbb N)에서 실수 집합 (mathbb R)로 가는 함수다.

[ a:mathbb N to mathbb R, qquad n mapsto a_n ]

즉 수열은 정의역이 자연수인 함수다. 다만 보통 함수처럼 연속적인 그래프를 그리지 않고, (n=1,2,3,ldots)에 해당하는 점들만 찍는다.

수열을 이해하는 데에는 두 가지 그림이 도움이 된다.

첫째, 좌표평면에 점 ((n,a_n))을 찍어 본다. 그러면 항이 커지는지, 작아지는지, 흔들리는지 볼 수 있다. 둘째, 수직선 위에 (a_1,a_2,a_3,ldots)의 위치를 표시해 본다. 그러면 항들이 어느 한 점으로 가까워지는지 볼 수 있다.

수열의 극한은 두 번째 관점에서 특히 잘 보인다. 항들이 계속 진행될수록 어떤 수 (L) 가까이에 모여든다면, 우리는 그 수열이 (L)로 수렴한다고 말한다.

AI 생성 이미지

수렴과 발산의 직관

수열 ((a_n))이 어떤 실수 (L)에 한없이 가까워질 때

[ lim_{ntoinfty} a_n=L ]

이라고 쓴다. 읽을 때는 "(n)이 무한히 커질 때 (a_n)의 극한은 (L)이다"라고 읽는다.

예를 들어 (a_n=frac1n)이면 항은

[ 1, frac12, frac13, frac14,ldots ]

이다. 값은 계속 작아지지만 음수가 되지는 않는다. 수직선 위에서 보면 항들이 점점 0 가까이 다가간다. 그래서

[ lim_{ntoinfty}frac1n=0 ]

이다.

반대로 (a_n=(-1)^n)은

[ -1, 1, -1, 1,ldots ]

처럼 두 값 사이를 계속 오간다. 어느 한 실수에 가까워지지 않는다. 이 수열은 수렴하지 않는다. 이런 경우를 발산한다고 한다.

또 (a_n=n)은

[ 1,2,3,4,ldots ]

처럼 계속 커진다. 이 수열도 실수 하나에 가까워지지 않으므로 발산한다. 다만 앞의 ((-1)^n)과는 발산 방식이 다르다. ((-1)^n)은 진동해서 발산하고, (n)은 무한히 커져서 발산한다.

따라서 "발산한다"는 말은 단순히 "값이 커진다"는 뜻이 아니다. 수렴하지 않는 모든 경우를 포함한다.

수렴을 거리로 말하기

앞 장에서 절댓값을 거리로 해석했다. 이 관점은 극한에서 핵심이다.

[ |a_n-L| ]

은 (n)번째 항 (a_n)과 목표값 (L) 사이의 거리다. 수열 ((a_n))이 (L)로 수렴한다는 말은 이 거리가 0에 가까워진다는 뜻이다.

예를 들어 (a_n=frac1n)과 (L=0)에 대해

[ |a_n-L|=left|frac1n-0right|=frac1n ]

이다. (n)이 커질수록 이 거리는 작아진다.

여기서 중요한 점은 "가까워진다"가 감각적인 말에 머물러서는 안 된다는 것이다. 대학 수학은 이 말을 정밀하게 바꾼다. 그 방식이 입실론-엔 논법이다.

입실론-엔 논법의 생각

수열 ((a_n))이 (L)로 수렴한다는 것은 다음 뜻이다.

원하는 만큼 작은 오차 범위 (varepsilon>0)를 정해도, 충분히 뒤의 항부터는 모두 (L)에서 (varepsilon)보다 가까운 곳에 들어간다.

이를 수식으로 쓰면 다음과 같다.

[ forall varepsilon>0, exists Ninmathbb N text{ such that } nge N Rightarrow |a_n-L|<varepsilon. ]

기호가 많지만 문장으로 풀면 어렵지 않다.

• (varepsilon)은 허용 오차다.

• (N)은 "이 지점 이후부터 보면 된다"는 기준 번호다.

• (nge N)인 모든 항은 목표값 (L)에서 (varepsilon)보다 가까워야 한다.

예를 들어 (frac1nto0)임을 보이자. 주어진 (varepsilon>0)에 대해 (frac1n<varepsilon)가 되게 만들면 된다. 이는 (n>frac1varepsilon)이면 성립한다. 따라서 (N)을 (frac1varepsilon)보다 큰 자연수로 잡으면, (nge N)일 때

[ left|frac1n-0right|=frac1nle frac1N<varepsilon ]

가 된다. 그러므로 (frac1n)은 0으로 수렴한다.

이 정의에서 가장 중요한 것은 순서다. 먼저 (varepsilon)이 주어지고, 그다음에 그 (varepsilon)에 맞는 (N)을 찾는다. 오차를 아무리 작게 요구해도 결국 어느 지점 뒤에서는 그 요구를 만족해야 한다.

극한 계산의 기본 법칙

수열의 극한을 매번 입실론-엔으로 증명할 필요는 없다. 기본 성질을 알고 있으면 많은 극한은 계산으로 구할 수 있다.

(a_nto A), (b_nto B)이고 (c)가 상수이면 다음이 성립한다.

[ lim(a_n+b_n)=A+B ]

[ lim(ca_n)=cA ]

[ lim(a_nb_n)=AB ]

또 (Bne0)이고 충분히 큰 (n)에 대해 (b_nne0)이면

[ limfrac{a_n}{b_n}=frac AB ]

이다.

예를 들어

[ a_n=frac{3n^2+1}{n^2-2n} ]

의 극한을 구해 보자. 분자와 분모를 (n^2)로 나누면

[ frac{3n^2+1}{n^2-2n} =frac{3+frac1{n^2}}{1-frac2n}. ]

여기서 (frac1{n^2}to0), (frac2nto0)이므로

[ lim_{ntoinfty}frac{3n^2+1}{n^2-2n}=frac{3+0}{1-0}=3. ]

이런 계산에서는 가장 큰 차수로 나누는 전략이 자주 쓰인다. 무한히 커지는 항을 그대로 다루기보다, 전체 크기를 지배하는 항으로 나누어 안정적인 형태로 바꾸는 것이다.

다른 예로

[ sqrt{n^2+n}-n ]

을 보자. 단순히 (infty-infty)처럼 생각하면 안 된다. 이 표현은 변형해야 한다. 켤레식을 곱하면

[ sqrt{n^2+n}-n =frac{(n^2+n)-n^2}{sqrt{n^2+n}+n} =frac{n}{sqrt{n^2+n}+n}. ]

자연수 (n)은 양수이므로 분자와 분모를 (n)으로 나누면

[ frac{n}{sqrt{n^2+n}+n} =frac{1}{sqrt{1+frac1n}+1}. ]

따라서 극한은

[ frac{1}{sqrt{1+0}+1}=frac12 ]

이다. 겉보기에는 둘 다 무한히 커지는 양의 차이지만, 실제 차이는 (frac12)에 가까워진다.

끼워넣기 원리

어떤 수열의 극한을 직접 계산하기 어려울 때는 양쪽에서 눌러서 구할 수 있다. 이를 끼워넣기 원리 또는 샌드위치 정리라고 부른다.

만약 충분히 큰 (n)에 대해

[ b_nle a_nle c_n ]

이고

[ lim b_n=lim c_n=L ]

이면

[ lim a_n=L ]

이다.

직관은 단순하다. (a_n)이 항상 (b_n)과 (c_n) 사이에 끼어 있는데, 양쪽 수열이 모두 같은 값 (L)로 다가가면 가운데 수열도 (L)로 갈 수밖에 없다.

예를 들어

[ a_n=frac{(-1)^n}{n} ]

을 보자. ((-1)^n) 때문에 부호는 계속 바뀐다. 하지만 크기는 (frac1n)을 넘지 않는다.

[ -frac1nle frac{(-1)^n}{n}le frac1n ]

이고 양쪽 (-frac1n), (frac1n)은 모두 0으로 수렴한다. 따라서

[ lim_{ntoinfty}frac{(-1)^n}{n}=0 ]

이다. 이 예는 진동이 있어도 진동의 폭이 0으로 줄어들면 수렴할 수 있음을 보여 준다.

단조수열과 유계수열

수열 ((a_n))이 모든 (n)에 대해

[ a_nle a_{n+1} ]

이면 증가수열이라고 한다. 반대로

[ a_nge a_{n+1} ]

이면 감소수열이라고 한다. 증가수열과 감소수열을 합쳐 단조수열이라고 부른다.

또 어떤 수 (M)이 있어서 모든 (n)에 대해 (a_nle M)이면 위로 유계라고 한다. 어떤 수 (m)이 있어서 모든 (n)에 대해 (mle a_n)이면 아래로 유계라고 한다. 둘 다 만족하면 유계수열이다.

중요한 정리는 다음이다.

단조수열이 유계이면 수렴한다.

조금 더 구체적으로 말하면, 증가수열이 위로 유계이면 수렴하고, 감소수열이 아래로 유계이면 수렴한다.

예를 들어

[ a_n=1-frac1n ]

은

[ 0, frac12, frac23, frac34,ldots ]

처럼 증가한다. 동시에 모든 항은 1보다 작다. 따라서 이 수열은 증가하면서 위로 막혀 있다. 실제로 극한은 1이다.

이 정리는 실수의 중요한 성질과 연결된다. 앞 장에서 상한을 배웠다. 증가수열이 위로 유계이면 항들의 집합은 상한을 가진다. 그 상한이 바로 수열이 다가가는 값이 된다. 엄밀한 증명은 상한의 정의와 입실론-엔 논법을 결합해 진행된다.

이 정리의 의미는 크다. 어떤 수열의 극한값을 정확히 계산하지 못해도, 단조성과 유계성을 보이면 "수렴한다"는 사실은 알 수 있다. 해석학에서는 이런 방식이 자주 쓰인다.

무한대와 무한소에 대한 오해

극한을 배울 때 가장 흔한 실수는 무한대를 하나의 평범한 수처럼 다루는 것이다.

예를 들어 (frac1nto0)을 보고 "(n=infty)를 대입하면 (frac1infty=0)"이라고 말하고 싶을 수 있다. 하지만 표준적인 실수 체계에서 (infty)는 실수가 아니다. (ntoinfty)는 (n)이 끝없이 커지는 과정이지, (n)이 어떤 수 (infty)에 도달한다는 뜻이 아니다.

마찬가지로 무한소도 조심해야 한다. (frac1n)은 점점 0에 가까워지지만, 어떤 자연수 (n)에 대해서도 (frac1n=0)은 아니다. "0에 가까워진다"와 "0이다"는 다르다.

또 (infty-infty), (0cdotinfty), (frac00), (fracinftyinfty) 같은 표현은 그 자체로 값을 말해 주지 않는다. 이런 형태를 부정형이라고 부른다. 부정형에서는 식을 변형하거나 다른 정리를 사용해야 한다.

앞에서 본

[ sqrt{n^2+n}-n ]

은 겉으로는 (infty-infty)처럼 보이지만, 실제 극한은 (frac12)였다. 따라서 극한 계산에서는 기호의 인상보다 식의 구조를 보아야 한다.

극한은 이후 수학의 출발점이다

수열의 극한은 미적분으로 가는 첫 문이다. 함수의 극한, 연속, 미분, 적분은 모두 "가까워짐"을 어떻게 정확히 다루는가에서 출발한다.

수열의 극한에서 배워야 할 핵심은 세 가지다.

첫째, 수렴은 항들이 어떤 값에 가까워지는 현상이다. 그래프에서는 점들의 흐름으로, 수직선에서는 한 점 주변으로 모이는 모습으로 이해할 수 있다.

둘째, 수렴은 절댓값을 이용해 거리로 표현된다. (|a_n-L|)이 작아진다는 말이 극한의 중심이다.

셋째, 입실론-엔 논법은 "한없이 가까워진다"는 말을 엄밀한 문장으로 바꾼다. 임의의 오차 (varepsilon)에 대해 충분히 큰 번호 (N)을 찾는 것이 핵심이다.

처음에는 이 정의가 복잡해 보일 수 있다. 그러나 대학 수학에서 엄밀함은 계산을 방해하기 위한 장치가 아니다. 모호한 직관을 안전하게 사용할 수 있게 해 주는 언어다. 수열의 극한을 이해하면, 다음 장에서 함수의 극한과 연속성을 훨씬 자연스럽게 받아들일 수 있다.