적분은 작은 조각을 모아 전체를 읽는 방법
지난 장에서 미분은 한 점에서의 순간 변화율을 읽는 도구라고 했다. 예를 들어 자동차의 속도계가 가리키는 값은 그 순간 자동차가 얼마나 빠르게 움직이는지를 말해 준다. 그런데 우리가 알고 싶은 것이 '총 몇 m를 이동했는가'라면 순간순간의 속도만으로는 부족하다. 각 순간의 속도를 시간에 따라 모아야 한다.
이때 필요한 생각이 적분이다. 적분은 잘게 나눈 작은 변화량이나 작은 조각을 모두 더해 전체량을 구하는 방법이다. 미분이 전체 함수에서 순간 변화율을 뽑아내는 과정이라면, 적분은 순간 변화율을 다시 쌓아 전체 변화량을 찾는 과정이다.
가장 기본적인 이미지는 넓이다. 함수 y=f(x)의 그래프가 x축 위에 있고, x=a부터 x=b까지의 영역을 생각해 보자. 이 곡선 아래 넓이를 바로 구하기 어렵다면 구간을 여러 조각으로 나누고, 각 조각을 직사각형으로 근사할 수 있다.
예를 들어 y=x^2의 그래프 아래에서 0부터 2까지의 넓이를 생각하자. 구간 [0, 2]를 4등분하면 각 조각의 폭은
Δx=(2-0)/4=0.5
이다. 오른쪽 끝값을 높이로 잡으면 직사각형 높이는 각각
0.5^2, 1^2, 1.5^2, 2^2
이다. 따라서 근사 넓이는
0.5(0.25+1+2.25+4)=0.5×7.5=3.75
이다. 반대로 왼쪽 끝값을 높이로 잡으면
0.5(0^2+0.5^2+1^2+1.5^2)=0.5(0+0.25+1+2.25)=1.75
가 된다. 실제 넓이는 이 두 값 사이에 있다. 구간을 4등분이 아니라 100등분, 1000등분처럼 더 잘게 나누면 직사각형의 위쪽 경계가 곡선에 더 가까워진다. 이렇게 근사값이 한 값에 가까워질 때 그 값을 정적분으로 나타낸다.
정적분은 다음과 같이 쓴다.
∫_a^b f(x) dx
여기서 a와 b는 적분 구간의 시작과 끝, f(x)는 각 지점에서의 높이, dx는 아주 작은 폭을 뜻하는 기호로 이해하면 된다. 따라서 정적분은 작은 폭 × 높이를 모두 더한 값이라는 뜻을 가진다.
AI 생성 이미지
정적분과 부호 있는 넓이
정적분을 항상 실제 넓이와 같다고 말하면 위험하다. 그래프가 x축 위에 있으면 정적분은 넓이와 같다. 그러나 그래프가 x축 아래에 있으면 정적분값은 음수가 된다. 그래서 정적분은 더 정확히 말하면 부호 있는 넓이다.
예를 들어 y=x^2-1의 그래프는 x=-1과 x=1에서 x축과 만난다. 구간 [-2, 2]에서 실제 넓이를 구하려면 그래프가 x축 위에 있는 구간과 아래에 있는 구간을 나누어야 한다.
먼저 원시함수, 즉 미분했을 때 x^2-1이 되는 함수를
F(x)=x^3/3-x
라고 하자. 그러면 F'(x)=x^2-1이다.
구간 [-2, -1]에서는 그래프가 x축 위에 있으므로 넓이는
∫_-2^-1 (x^2-1) dx=F(-1)-F(-2)
이다.
F(-1)=-1/3+1=2/3
F(-2)=-8/3+2=-2/3
따라서 넓이는
2/3-(-2/3)=4/3
이다.
구간 [-1, 1]에서는 그래프가 x축 아래에 있다. 정적분값은
F(1)-F(-1)=(1/3-1)-2/3=-2/3-2/3=-4/3
이지만, 실제 넓이는 음수가 될 수 없으므로 4/3이다.
구간 [1, 2]에서는 다시 x축 위에 있으므로 넓이는 4/3이다. 따라서 전체 넓이는
4/3+4/3+4/3=4
이다. 이 예에서 중요한 점은 계산보다 구간을 나누는 판단이다. 그래프가 x축을 기준으로 위아래를 오가면, 정적분값을 그대로 넓이라고 보지 말고 부호를 확인해야 한다. 정적분은 양의 부분과 음의 부분이 서로 상쇄될 수 있지만, 실제 넓이는 각 부분의 넓이를 모두 양수로 더한다.
부정적분은 미분을 거꾸로 하는 과정이다
정적분이 구간에서 누적된 값을 구한다면, 부정적분은 어떤 함수를 미분해서 주어진 함수가 되는 원래 함수를 찾는 과정이다.
예를 들어 어떤 함수의 도함수가 2x라고 하자. x^2을 미분하면 2x이므로 원래 함수는 x^2일 수 있다. 그런데 x^2+3을 미분해도 2x이고, x^2-10을 미분해도 2x이다. 상수는 미분하면 0이 되기 때문이다.
그래서 부정적분은 다음과 같이 쓴다.
∫ 2x dx=x^2+C
여기서 C는 적분상수이다. 미분 과정에서 사라진 상수항을 표시하기 위한 기호다. 부정적분에서 C를 빼먹으면, 가능한 원시함수 전체가 아니라 그중 하나만 적은 셈이 된다.
기본 적분 공식은 미분 공식을 거꾸로 읽으면 이해할 수 있다.
∫ x^n dx = x^(n+1)/(n+1)+C 단, n≠-1
∫ k dx = kx+C
∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dx
∫ {f(x)+g(x)} dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sin x dx = -cos x + C
첫 번째 공식에서 n=-1일 때를 제외하는 이유는 분모 n+1이 0이 되기 때문이다. 이 경우에는 나중에 로그함수와 연결해 따로 다루게 된다. 또 삼각함수 적분에서 x는 라디안 단위로 생각해야 한다. 앞 장에서 라디안이 미적분과 잘 맞는 단위라고 언급한 이유가 여기에 있다.
예를 들어
∫(3x^2-4x+5) dx
를 계산해 보자. 항별로 적분하면 된다.
∫3x^2 dx = 3·x^3/3=x^3
∫(-4x) dx = -4·x^2/2=-2x^2
∫5 dx = 5x
따라서
∫(3x^2-4x+5) dx=x^3-2x^2+5x+C
이다. 검산은 미분으로 한다.
(x^3-2x^2+5x+C)'=3x^2-4x+5
이렇게 원래 함수가 나오면 적분이 맞다.
미적분의 기본정리: 변화율을 쌓으면 전체 변화가 된다
정적분과 부정적분은 처음에는 다른 개념처럼 보인다. 하나는 넓이를 구하고, 다른 하나는 미분을 거꾸로 한다. 그런데 두 개념은 미적분의 기본정리로 연결된다.
함수 F(x)의 도함수가 f(x), 즉 F'(x)=f(x)라고 하자. 그러면
∫_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)
이다.
이 식은 단순한 계산 공식이 아니다. f(x)가 F(x)의 변화율이라면, f(x)를 a부터 b까지 누적한 값은 F가 a에서 b까지 실제로 얼마나 변했는지와 같다는 뜻이다.
왜 이런 일이 일어날까? 작은 구간에서 생각해 보자. x가 아주 조금 Δx만큼 변할 때 F의 변화량은 대략
F'(x)Δx
이다. 그런데 F'(x)=f(x)이므로 작은 변화량은
f(x)Δx
로 볼 수 있다. 이것을 구간 전체에서 모두 더하면 F의 작은 변화량들이 쌓인다. 처음 값 F(a)에서 시작해 마지막 값 F(b)에 도착하므로 전체 변화량은 F(b)-F(a)가 된다. 적분은 이 과정을 정확하게 만든 것이다.
앞에서 직사각형으로 근사했던 ∫_0^2 x^2 dx를 이제 기본정리로 계산해 보자. x^2의 원시함수는 x^3/3이다. 따라서
∫_0^2 x^2 dx = [x^3/3]_0^2 = 2^3/3-0^3/3 = 8/3
이다. 직사각형 4개로 근사했을 때의 값 1.75와 3.75 사이에 실제 넓이 8/3이 들어간다.
또 하나의 중요한 형태가 있다. 함수
A(x)=∫_a^x f(t) dt
를 생각하자. 여기서 A(x)는 a부터 x까지 쌓인 누적량이다. 그러면
A'(x)=f(x)
이다. 누적량을 미분하면 그 순간의 변화율이 나온다. 반대로 변화율을 적분하면 누적량이 나온다. 이것이 미분과 적분이 한 쌍을 이루는 이유다. 이때 적분식 안에서 t를 쓰는 것은 위쪽 끝 x와 구분하기 위한 것이다. t 자체에 특별한 의미가 있는 것은 아니며, 누적하는 동안 움직이는 변수를 나타낸다.
대표 유형 1: 곡선 아래 넓이 구하기
곡선 y=x^2+1과 x축, 그리고 x=0, x=2로 둘러싸인 넓이를 구해 보자. 그래프가 구간 [0, 2]에서 항상 x축 위에 있으므로 정적분값이 그대로 넓이다.
∫_0^2 (x^2+1) dx
원시함수는
x^3/3+x
이다. 따라서
∫_0^2 (x^2+1) dx = [x^3/3+x]_0^2
= (8/3+2)-(0+0)
=8/3+6/3=14/3
이다.
계산 전에 그래프가 x축 위에 있는지 확인했고, 그다음 적분식을 세웠다. 실제 문제에서도 이 순서가 중요하다.
대표 유형 2: 두 곡선 사이의 넓이
두 그래프 y=2x와 y=x^2로 둘러싸인 넓이를 구해 보자. 먼저 교점을 찾아야 한다.
2x=x^2
x^2-2x=0
x(x-2)=0
따라서 x=0, x=2에서 만난다. 다음으로 구간 [0, 2]에서 두 함수 중 어느 것이 위에 있는지 확인한다. x=1을 넣으면 2x=2, x^2=1이므로 y=2x가 위에 있다.
두 곡선 사이의 넓이는 위 함수에서 아래 함수를 뺀 값을 적분한다.
∫_0^2 (2x-x^2) dx
= [x^2-x^3/3]_0^2
= (4-8/3)-0
=12/3-8/3=4/3
이다. 두 곡선 사이 넓이 문제에서는 '교점 찾기 → 위아래 판단 → 위 함수 - 아래 함수 적분'의 순서로 접근하면 안정적이다. 만약 중간에 위아래가 바뀐다면, 그 지점에서 구간을 나누어 각각 계산해야 한다.
대표 유형 3: 속도와 이동 거리
속도는 위치의 변화율이다. 따라서 속도를 시간에 대해 적분하면 위치의 변화량, 즉 변위가 나온다.
어떤 물체의 속도가 v(t)=3t^2+2 m/s이고, 0초부터 4초까지 움직였다고 하자. 이때 변위는
∫_0^4 (3t^2+2) dt
이다. 원시함수는
t^3+2t
이므로
∫_0^4 (3t^2+2) dt = [t^3+2t]_0^4
= (64+8)-0=72
이다. 물체는 처음 위치에서 72m만큼 떨어진 곳에 도착했다. 이 예에서는 속도가 항상 양수이므로 변위와 이동 거리가 같다.
하지만 속도가 음수가 될 수 있는 경우에는 변위와 이동 거리를 구분해야 한다. 예를 들어 v(t)=t-2를 0초부터 4초까지 보자.
변위는
∫_0^4 (t-2) dt = [t^2/2-2t]_0^4
= (16/2-8)-0=0
이다. 출발점으로 돌아왔다는 뜻이다.
그러나 실제 이동 거리는 0이 아니다. 속도 v(t)=t-2는 t=2에서 부호가 바뀐다. 0≤t≤2에서는 음수, 2≤t≤4에서는 양수다. 이동 거리는 속도의 절댓값을 적분해야 하므로
∫_0^2 (2-t) dt + ∫_2^4 (t-2) dt
를 계산한다.
첫 번째 적분은
[2t-t^2/2]_0^2 = (4-2)-0=2
두 번째 적분은
[t^2/2-2t]_2^4 = (8-8)-(2-4)=0-(-2)=2
따라서 이동 거리는
2+2=4
이다. 변위는 방향을 포함한 위치 변화이고, 이동 거리는 실제로 움직인 길이이다. 그래프에서 보면 변위는 부호 있는 넓이, 이동 거리는 x축과 속도 그래프 사이의 실제 넓이다.
적분식을 세우는 순서
적분 문제는 공식을 먼저 찾기보다 무엇이 쌓이고 있는지 판단해야 한다. 다음 순서로 생각하면 좋다.
누적하려는 양이 무엇인지 정한다. 넓이인지, 거리인지, 양의 증가량인지 확인한다.
어떤 변수를 기준으로 쌓는지 정한다. 보통 x에 따라 쌓으면 dx, 시간 t에 따라 쌓으면 dt를 쓴다.
작은 조각 하나의 양을 생각한다. 넓이라면 높이×폭, 거리라면 속도×시간이다.
적분 구간을 정한다. 시작값과 끝값이 문제 조건과 맞는지 확인한다.
그래프가 x축 아래로 내려가거나 두 함수의 위아래가 바뀌는 지점을 확인한다.
원시함수를 이용해 정적분을 계산하고, 필요한 경우 단위를 붙인다.
이 순서는 이후 확률밀도함수, 물리의 일, 경제에서의 누적 비용 같은 문제로 확장된다. 상황이 달라도 핵심은 같다. 변화율이나 밀도처럼 '단위당 양'이 주어졌다면, 그것을 적분해 전체량을 구한다.
미분과 적분을 함께 보는 관점
미분과 적분은 서로 반대 방향의 도구지만 따로 떨어져 있지 않다. 미분은 전체 변화에서 순간 변화율을 읽고, 적분은 순간 변화율을 모아 전체 변화를 구한다.
위치를 미분하면 속도가 된다.
속도를 적분하면 위치의 변화량이 된다.
넓이의 누적함수를 미분하면 그 순간의 높이가 된다.
함수의 도함수를 적분하면 원래 함수의 변화량이 나온다.
그래서 적분을 공부할 때는 계산 공식만 외우기보다 '무엇을 잘게 나누어 더하고 있는가'를 계속 물어야 한다. 그래프 아래 넓이, 속도의 누적, 두 곡선 사이의 넓이는 겉모습이 다르지만 모두 같은 생각으로 연결된다.
적분은 조각난 정보를 전체로 되돌리는 방법이다. 미분이 변화의 순간을 보는 눈이라면, 적분은 그 순간들이 쌓여 만든 총량을 읽는 눈이다.
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