좌표기하, 벡터, 변환의 관점

그림을 식으로 옮기는 이유

기하 문제를 풀 때 그림은 큰 도움을 준다. 하지만 그림만 보면 길이가 같아 보이는 선분을 실제로 같다고 말할 수 없고, 직각처럼 보이는 각도 조건이 없으면 직각이라고 단정할 수 없다. 도형을 다룰 때는 언제나 "보이는 것"과 "조건으로 확인할 수 있는 것"을 구분해야 한다.

좌표기하는 이 구분을 더 분명하게 해 준다. 점의 위치를 (x, y)로 나타내면 거리, 중점, 기울기, 넓이, 원과 직선의 관계를 계산으로 확인할 수 있다. 반대로 계산 결과가 무엇을 뜻하는지도 그림으로 해석할 수 있다.

예를 들어 두 점 A(1, 2), B(5, 5)가 있을 때, 그림으로는 두 점 사이가 어느 정도 떨어져 있는지 짐작할 수 있다. 좌표를 사용하면 이 거리를 정확히 구할 수 있다. 가로로는 5-1=4, 세로로는 5-2=3만큼 차이가 나므로, 두 점과 가로·세로 이동을 이용해 직각삼각형을 만들 수 있다. 피타고라스 정리에 의해

AB^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25

따라서 AB=5이다. 이처럼 좌표는 도형을 대수적으로 다루게 해 주고, 피타고라스 정리 같은 기하 성질을 계산과 연결해 준다.

AI 생성 이미지

거리, 중점, 기울기

좌표평면에서 두 점 A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) 사이의 거리는 가로 변화량과 세로 변화량에서 나온다. 가로 차이는 x_2-x_1, 세로 차이는 y_2-y_1이다. 이 둘을 직각변으로 갖는 직각삼각형을 생각하면

AB^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2

이므로

AB = √{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}

이다. 이 공식은 외우기 전에 "가로 차이와 세로 차이로 직각삼각형을 만든다"는 원리를 먼저 이해해야 한다. 순서를 바꾸어 x_1-x_2, y_1-y_2로 생각해도 제곱을 하기 때문에 거리값은 같다.

중점도 같은 방식으로 이해할 수 있다. 두 점 A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)의 중점은 두 점의 한가운데에 있는 점이다. x좌표도 두 x좌표의 평균, y좌표도 두 y좌표의 평균이 된다.

M = ((x_1+x_2)/2, (y_1+y_2)/2)

예를 들어 A(2, -1), B(8, 5)의 중점은

M = ((2+8)/2, (-1+5)/2) = (5, 2)

이다. 실제로 A에서 M까지는 가로로 3, 세로로 3 이동하고, M에서 B까지도 가로로 3, 세로로 3 이동한다.

기울기는 두 점을 지나는 직선이 얼마나 가파른지를 나타낸다. 두 점 A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)를 지나는 직선의 기울기는

기울기 = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)

이다. 이는 앞에서 배운 일차함수의 평균 변화율과 같은 생각이다. x가 얼마나 변할 때 y가 얼마나 변하는지를 보는 것이다. 단, x_2=x_1이면 분모가 0이 되므로 기울기를 정의할 수 없다. 이 경우 직선은 세로선이고, y=f(x) 꼴의 함수 그래프로 나타낼 수 없다.

원의 방정식: 같은 거리에 있는 점들의 모임

원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임이다. 이 정의를 좌표로 옮기면 원의 방정식이 나온다.

중심이 C(a, b)이고 반지름이 r인 원 위의 점을 P(x, y)라고 하자. 원 위에 있다는 말은 CP=r이라는 뜻이다. 거리 공식을 사용하면

CP = √{(x-a)^2 + (y-b)^2}

이다. 따라서

√{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r

이고, 양변을 제곱하면

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

이 된다. 이것이 중심이 (a, b), 반지름이 r인 원의 방정식이다.

예를 들어 중심이 (2, -1)이고 반지름이 3인 원은

(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9

로 나타낸다. 여기서 y+1은 y-(-1)을 간단히 쓴 것이다.

반대로 식을 보고 원을 읽을 수도 있다. x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0을 원의 형태로 바꾸어 보자. x항과 y항을 각각 완전제곱식으로 만든다.

x^2 - 4x + y^2 + 6y - 3 = 0

(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) - 3 - 4 - 9 = 0

(x-2)^2 + (y+3)^2 - 16 = 0

따라서

(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16

이므로 중심은 (2, -3), 반지름은 4이다. 이 과정은 이차함수에서 표준형을 만들 때 사용한 완전제곱식과 같은 생각이다. 식의 모양을 바꾸면 숨은 정보가 드러난다.

직선과 원의 위치 관계를 해의 개수로 보기

기하에서는 직선과 원이 서로 만나지 않거나, 한 점에서 접하거나, 두 점에서 만날 수 있다. 좌표기하에서는 이 세 경우를 방정식의 해의 개수로 해석한다.

원의 방정식과 직선의 방정식을 동시에 만족하는 점은 두 그래프의 교점이다. 따라서 연립방정식을 풀었을 때 해가 몇 개인지를 보면 위치 관계를 알 수 있다.

예를 들어 원 x^2 + y^2 = 25와 직선 y=x+1의 교점을 구해 보자. 직선의 식을 원의 식에 대입한다.

x^2 + (x+1)^2 = 25

전개하면

x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25

2x^2 + 2x - 24 = 0

양변을 2로 나누면

x^2 + x - 12 = 0

인수분해하여

(x+4)(x-3)=0

이므로 x=-4 또는 x=3이다. 직선식 y=x+1에 대입하면 교점은 (-4, -3), (3, 4)이다. 해가 두 개이므로 직선은 원과 두 점에서 만난다.

이번에는 원 x^2+y^2=25와 직선 y=x+5를 보자.

x^2 + (x+5)^2 = 25

x^2 + x^2 + 10x + 25 = 25

2x^2 + 10x = 0

2x(x+5)=0

따라서 x=0 또는 x=-5이고, 교점은 (0, 5), (-5, 0)이다. 역시 두 점에서 만난다.

그렇다면 접하는 경우는 어떻게 나타날까? 원과 직선의 연립 결과가 이차방정식 하나로 정리될 때는 판별식 D=b^2-4ac를 사용할 수 있다.

• D>0: 서로 다른 실근 2개 → 두 점에서 만남

• D=0: 중근 1개 → 한 점에서 접함

• D<0: 실근 없음 → 만나지 않음

예를 들어 원 x^2+y^2=25와 직선 y=x+5√2를 생각하자. 대입하면

x^2 + (x+5√2)^2 = 25

x^2 + x^2 + 10√2x + 50 = 25

2x^2 + 10√2x + 25 = 0

여기서 판별식은

D = (10√2)^2 - 4·2·25 = 200 - 200 = 0

이다. 따라서 이 직선은 원에 접한다. 좌표기하에서는 "접한다"는 기하적 표현이 "방정식이 중근을 갖는다"는 대수적 표현으로 바뀐다.

벡터: 위치보다 이동을 보는 언어

좌표가 점의 위치를 나타낸다면, 벡터는 이동과 방향을 나타낸다. 예를 들어 점 A(1, 2)에서 점 B(5, 4)로 이동하면 가로로 4, 세로로 2 움직인다. 이를 A에서 B로 가는 벡터라고 하며,

A에서 B로 가는 벡터 = (4, 2)

처럼 나타낼 수 있다. 이 벡터 (4, 2)가 반드시 A에서 시작해야 하는 것은 아니다. 어디에서 시작하든 가로로 4, 세로로 2 이동한다면 같은 벡터이다. 그래서 벡터는 "어디에 있느냐"보다 "어느 방향으로 얼마나 가느냐"를 본다.

벡터의 덧셈은 이동을 이어 붙이는 것이다. (3, 1)만큼 이동한 뒤 (2, 4)만큼 더 이동하면 전체 이동은

(3, 1) + (2, 4) = (5, 5)

이다. 좌표끼리 더하면 된다. 실제 이동을 생각해도 자연스럽다. 가로 이동은 3+2=5, 세로 이동은 1+4=5이다.

벡터의 뺄셈은 두 이동의 차이를 나타낸다.

(5, 4) - (2, 1) = (3, 3)

이는 (2, 1)에서 (5, 4)로 가는 이동과 같다. 두 점 A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)가 있을 때 A에서 B로 가는 벡터가 (x_2-x_1, y_2-y_1)이 되는 이유도 여기에 있다.

벡터의 실수배는 방향과 길이를 바꾼다. 예를 들어 2(3, 1)=(6, 2)는 같은 방향으로 두 배 길게 이동한다. -1(3, 1)=(-3, -1)은 반대 방향으로 같은 길이만큼 이동한다. 0.5(3, 1)=(1.5, 0.5)는 같은 방향으로 절반만 이동한다.

이 개념은 중점과도 연결된다. 점 A에서 점 B로 가는 벡터의 절반만 이동하면 중점에 도착한다. 그래서 중점 공식은 단순한 평균이 아니라 "두 점 사이 이동의 절반"이라는 뜻도 갖는다.

평행이동, 대칭, 회전, 확대·축소

도형의 변환은 도형을 움직이거나 모양을 바꾸는 과정이다. 좌표를 사용하면 변환 전후의 점이 어떻게 바뀌는지 정확히 말할 수 있다.

평행이동은 도형의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 옮기는 것이다. 점 (x, y)를 오른쪽으로 a, 위로 b만큼 옮기면

(x, y) → (x+a, y+b)

가 된다. 함수 그래프에서는 y=f(x)를 오른쪽으로 a, 위로 b만큼 옮기면

y = f(x-a) + b

가 된다. 오른쪽 이동에서 식 안이 x-a가 되는 이유는 새 그래프의 x좌표가 원래보다 a만큼 커졌기 때문이다. 다시 말해 새 그래프의 점 (x, y)는 원래 그래프의 점 (x-a, y-b)에서 옮겨 온 점이라고 볼 수 있다.

대칭은 기준을 사이에 두고 거울에 비친 위치로 옮기는 것이다.

• x축 대칭: (x, y) → (x, -y)

• y축 대칭: (x, y) → (-x, y)

• 원점 대칭: (x, y) → (-x, -y)

• 직선 y=x 대칭: (x, y) → (y, x)

예를 들어 점 (3, -2)를 x축에 대칭시키면 (3, 2)가 된다. y좌표의 부호만 바뀐다. 같은 점을 y축에 대칭시키면 (-3, -2)가 된다. 이번에는 x좌표의 부호만 바뀐다.

회전은 한 점을 중심으로 일정한 각도만큼 돌리는 변환이다. 원점을 중심으로 90° 반시계방향 회전하면

(x, y) → (-y, x)

가 된다. 예를 들어 (2, 1)은 (-1, 2)로 이동한다. 180° 회전은 원점 대칭과 같아서 (x, y) → (-x, -y)이다. 90° 시계방향 회전은 (x, y) → (y, -x)이다.

확대·축소는 기준점에서의 거리를 일정한 비율로 바꾸는 변환이다. 원점을 기준으로 k배 확대하거나 축소하면

(x, y) → (kx, ky)

가 된다. k>1이면 확대, 0<k<1이면 축소이다. k가 음수이면 크기 변화와 함께 원점 반대쪽으로 옮겨지는 효과도 생긴다. 특히 k=-1이면 원점을 기준으로 180° 회전한 것, 즉 원점 대칭과 같다.

그래프에서도 변환은 중요하다. 앞에서 함수의 그래프를 이동하고 대칭시킬 때 배운 내용은 좌표 변환의 한 예이다. 식의 변화는 그래프의 변화이고, 그래프의 변화는 점들의 좌표 변화로 설명할 수 있다.

실전에서 좌표와 벡터를 쓰는 순서

좌표기하 문제를 풀 때는 먼저 어떤 대상을 좌표로 둘지 정해야 한다. 이때 복잡한 위치를 그대로 두기보다 계산하기 쉬운 기준을 잡는 것이 좋다. 예를 들어 직사각형은 한 꼭짓점을 원점에 두고 변을 좌표축과 나란하게 놓으면 계산이 단순해진다. 원은 중심을 원점에 두면 방정식이 x^2+y^2=r^2로 간단해진다.

문제를 풀 때는 다음 순서를 생각하면 좋다.

1. 점, 직선, 원, 이동 중 무엇을 다루는 문제인지 확인한다.

2. 주어진 조건을 좌표, 방정식, 벡터로 바꾼다.

3. 거리 공식, 중점 공식, 기울기, 원의 방정식, 벡터 연산 중 필요한 도구를 선택한다.

4. 계산 결과를 다시 도형의 의미로 해석한다.

예를 들어 "두 점에서 같은 거리에 있는 점들의 자취"라는 표현이 나오면 거리 공식을 세울 수 있다. "한 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 모임"이면 원이다. "두 도형이 만나는 점"은 연립방정식의 해이다. "같은 방향으로 같은 거리만큼 이동"은 벡터나 평행이동으로 나타낸다.

이 장의 핵심은 하나다. 좌표와 벡터를 사용하면 그림으로 보던 도형을 식으로 다룰 수 있고, 식의 결과를 다시 도형으로 해석할 수 있다. 이 관점은 극한과 미분을 배울 때도 이어진다. 그래프 위의 두 점 사이 기울기를 점점 좁혀 가면 순간 변화율이 되고, 그것이 미분의 출발점이 된다. 결국 좌표평면은 도형과 함수, 변화율을 한곳에서 만나게 하는 무대이다.