삼각함수와 삼각법의 확장

삼각함수는 왜 필요한가

직각삼각형에서 한 각이 정해지면 변들의 비도 정해진다. 삼각형의 크기를 두 배, 세 배로 키워도 모양이 같으면 대응하는 변의 비는 변하지 않는다. 삼각함수는 이 사실을 함수의 언어로 정리한 것이다.

예를 들어 경사로의 기울기, 사다리가 벽에 닿는 높이, 태양 고도에 따른 그림자의 길이는 모두 각과 길이가 함께 등장한다. 이때 매번 삼각형을 새로 그려 비례식을 세우는 대신, 각에 따라 정해지는 비를 하나의 값으로 정리하면 계산이 훨씬 분명해진다.

삼각함수의 출발점은 직각삼각형이다. 이후 단위원을 이용하면 각을 90°보다 크게, 360°보다 크게, 심지어 음수 방향으로도 확장할 수 있다. 이렇게 확장된 삼각함수는 파동, 소리, 계절 변화, 회전 운동처럼 반복되는 현상을 설명하는 함수가 된다.

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직각삼각형에서 정의하는 사인, 코사인, 탄젠트

직각삼각형에서 한 예각을 (theta)라고 하자. 이때 세 변을 (theta)를 기준으로 나누어 본다.

• 빗변: 직각과 마주 보는 가장 긴 변

• 높이 역할의 변: (theta)와 마주 보는 변

• 밑변 역할의 변: (theta)와 직각이 아닌 쪽에서 맞닿아 있는 변

삼각함수는 다음과 같이 정의한다.

[ sintheta=frac{thetatext{와 마주 보는 변}}{text{빗변}} ]

[ costheta=frac{thetatext{와 이웃한 변}}{text{빗변}} ]

[ tantheta=frac{thetatext{와 마주 보는 변}}{thetatext{와 이웃한 변}} ]

사인은 높이와 빗변의 비, 코사인은 밑변과 빗변의 비, 탄젠트는 높이와 밑변의 비라고 이해하면 된다. 또한 같은 삼각형에서

[ tantheta=frac{sintheta}{costheta} ]

가 성립한다. 분수끼리 나누어 보면 자연스럽게 확인된다.

[ frac{sintheta}{costheta} =frac{frac{text{마주 보는 변}}{text{빗변}}}{frac{text{이웃한 변}}{text{빗변}}} =frac{text{마주 보는 변}}{text{이웃한 변}} ]

이 정의는 직각삼각형 안의 예각, 즉 (0^circ<theta<90^circ)에서 먼저 이해하는 것이 좋다. 이 범위에서는 각이 커질수록 마주 보는 변의 비가 커지므로 (sintheta)는 커진다. 반대로 이웃한 변의 비는 작아지므로 (costheta)는 작아진다. (tantheta)는 높이와 밑변의 비이므로 각이 커질수록 빠르게 커진다.

특수 직각삼각형에서 나온 값은 자주 쓰인다.

예를 들어 길이 10m인 사다리가 지면과 (30^circ)의 각을 이루며 벽에 기대어 있다고 하자. 사다리가 벽에 닿는 높이를 (h)라고 하면, 높이는 (30^circ)와 마주 보는 변이고 사다리는 빗변이다.

[ sin30^circ=frac{h}{10} ]

[ frac12=frac{h}{10} ]

[ h=5 ]

따라서 사다리는 벽의 5m 높이에 닿는다. 여기서 삼각함수는 공식을 외워 넣은 것이 아니라, "각이 정해졌을 때 변의 비가 정해진다"는 사실을 이용한 것이다.

단위원으로 각의 범위를 넓히기

직각삼각형의 정의만으로는 (120^circ), (270^circ), (-30^circ) 같은 각을 다루기 어렵다. 직각삼각형 안의 예각은 0°와 90° 사이에 있기 때문이다. 그래서 삼각함수를 좌표평면 위의 원으로 확장한다.

중심이 원점이고 반지름이 1인 원을 단위원이라고 한다. 양의 (x)축에서 출발하여 반시계방향으로 각 (theta)만큼 회전했을 때 단위원 위의 점을 (P)라고 하자. 이 점의 좌표를

[ P=(costheta,sintheta) ]

로 정의한다. 즉 코사인은 (x)좌표, 사인은 (y)좌표이다.

이 정의는 직각삼각형에서의 정의와 충돌하지 않는다. (0^circ<theta<90^circ)일 때 단위원 위의 점에서 (x)축으로 수선을 내리면 직각삼각형이 생긴다. 이때 빗변은 반지름이므로 길이가 1이다. 따라서

[ costheta=frac{x}{1}=x,quad sintheta=frac{y}{1}=y ]

가 된다. 직각삼각형의 비가 좌표로 바뀐 것이다.

단위원을 쓰면 사분면에 따라 부호가 자연스럽게 정해진다.

• 제1사분면: (sintheta>0), (costheta>0), (tantheta>0)

• 제2사분면: (sintheta>0), (costheta<0), (tantheta<0)

• 제3사분면: (sintheta<0), (costheta<0), (tantheta>0)

• 제4사분면: (sintheta<0), (costheta>0), (tantheta<0)

탄젠트는

[ tantheta=frac{sintheta}{costheta}=frac{y}{x} ]

로 정의된다. 따라서 (x=0), 즉 (costheta=0)인 (90^circ, 270^circ)에서는 탄젠트가 정의되지 않는다.

예를 들어 (120^circ)는 제2사분면의 각이고, 기준각은 (60^circ)이다. 제2사분면에서는 사인은 양수, 코사인은 음수이다.

[ sin120^circ=sin60^circ=frac{sqrt3}{2} ]

[ cos120^circ=-cos60^circ=-frac12 ]

[ tan120^circ=frac{sin120^circ}{cos120^circ}=-sqrt3 ]

각이 360°를 넘는 경우도 어렵지 않다. 한 바퀴를 돌면 같은 위치로 돌아오므로

[ sin(theta+360^circ)=sintheta ]

[ cos(theta+360^circ)=costheta ]

가 성립한다. 이 반복성이 바로 삼각함수 그래프의 핵심이다.

고등학교 이후 미분과 적분에서는 각을 도 대신 라디안으로 많이 나타낸다. 라디안은 원의 반지름과 호의 길이를 이용해 각을 재는 방법이다. (180^circ=pi)라디안, (360^circ=2pi)라디안이다. 그래프와 미적분에서는 라디안 표현이 계산과 더 잘 맞는다.

삼각함수 그래프: 반복되는 변화를 그리기

삼각함수는 단위원 위의 점이 회전할 때 좌표가 어떻게 변하는지를 나타낸다. 점이 원을 한 바퀴 돌면 같은 위치로 돌아오므로, 사인과 코사인 값도 같은 패턴을 반복한다.

(y=sin x)의 기본 그래프는 다음 특징을 가진다.

• 최댓값은 1, 최솟값은 -1이다.

• 값의 범위는 (-1le yle 1)이다.

• 주기는 (360^circ), 또는 라디안으로 (2pi)이다.

• (x=0^circ,180^circ,360^circ)에서 (y=0)이다.

(y=cos x)도 최댓값과 최솟값, 주기는 같다. 다만 시작점이 다르다. (cos0^circ=1)이므로 코사인 그래프는 (y=1)에서 시작한다. 사인 그래프를 왼쪽으로 (90^circ)만큼 평행이동하면 코사인 그래프와 같은 모양이 된다.

(y=tan x)는 조금 다르다. 탄젠트는 (cos x=0)일 때 정의되지 않으므로 (90^circ,270^circ) 등에서 그래프가 끊긴다. 이때 그래프가 가까워지지만 닿지 않는 세로선이 생기는데, 이를 점근선이라고 한다. 탄젠트의 주기는 (180^circ), 또는 (pi)이다.

삼각함수 그래프의 변형은 다음 식으로 정리할 수 있다.

[ y=Asin B(x-C)+D ]

여기서 각 문자는 그래프의 특징을 바꾼다.

• (|A|): 진폭. 중심선에서 위아래로 얼마나 멀리 움직이는지를 나타낸다.

• (B): 주기에 영향을 준다. 도 단위에서는 주기가 (frac{360^circ}{|B|})이다.

• (C): 좌우 평행이동이다.

• (D): 위아래 평행이동이며, 그래프의 중심선은 (y=D)이다.

예를 들어 어느 항구의 수면 높이를 시간 (t)에 따라

[ y=3sinleft(frac{pi}{6}tright)+5 ]

로 나타낸다고 하자. 여기서 (t)는 시간, (y)는 수면 높이라고 하자. 진폭은 3이므로 수면은 중심 높이에서 위아래로 3만큼 움직인다. 중심선은 (y=5)이다. 최댓값은 8, 최솟값은 2이다.

주기는 (frac{2pi}{pi/6}=12)이다. 즉 12시간마다 같은 높이 변화가 반복된다. 이처럼 삼각함수 그래프는 단순히 곡선을 그리는 단원이 아니라, 반복되는 현상을 읽는 도구이다.

직각이 아닌 삼각형: 사인법칙

직각삼각형에서는 사인, 코사인, 탄젠트만으로 변과 각을 구할 수 있다. 하지만 실제 도형 문제에서는 직각이 없는 삼각형도 많이 등장한다. 이때 사용하는 대표 도구가 사인법칙과 코사인법칙이다.

삼각형 (ABC)에서 각 (A,B,C)와 그 마주 보는 변의 길이를 각각 (a,b,c)라고 하자. 사인법칙은 다음과 같다.

[ frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B}=frac{c}{sin C} ]

같은 내용을 뒤집어

[ frac{sin A}{a}=frac{sin B}{b}=frac{sin C}{c} ]

로 써도 된다. 사인법칙은 한 변과 그 마주 보는 각의 짝이 알려져 있을 때 특히 유용하다.

예를 들어 삼각형 (ABC)에서 (A=40^circ), (B=70^circ), (a=8)이라고 하자. 먼저 삼각형의 세 각의 합은 (180^circ)이므로

[ C=180^circ-40^circ-70^circ=70^circ ]

변 (b)를 구하려면 사인법칙을 쓴다.

[ frac{a}{sin A}=frac{b}{sin B} ]

[ frac{8}{sin40^circ}=frac{b}{sin70^circ} ]

[ b=frac{8sin70^circ}{sin40^circ} ]

계산기를 사용하면 (bapprox 11.7)이다. 이때 계산기 모드가 도 단위인지 라디안 단위인지 확인해야 한다. 각을 도로 입력하는데 계산기가 라디안 모드이면 전혀 다른 값이 나온다.

직각이 아닌 삼각형: 코사인법칙

코사인법칙은 피타고라스 정리를 확장한 공식이다. 삼각형 (ABC)에서 다음이 성립한다.

[ c^2=a^2+b^2-2abcos C ]

여기서 (C)는 변 (a)와 변 (b) 사이의 끼인각이고, (c)는 그 반대편 변이다. 만약 (C=90^circ)라면 (cos90^circ=0)이므로

[ c^2=a^2+b^2 ]

가 된다. 즉 피타고라스 정리는 코사인법칙에서 직각인 경우이다.

코사인법칙은 두 변과 그 끼인각을 알 때 나머지 한 변을 구하는 데 좋다. 예를 들어 두 변의 길이가 5, 7이고 그 사이의 각이 (60^circ)인 삼각형에서 나머지 변을 (c)라고 하자.

[ c^2=5^2+7^2-2cdot5cdot7cos60^circ ]

[ c^2=25+49-70cdotfrac12 ]

[ c^2=74-35=39 ]

[ c=sqrt{39} ]

세 변을 모두 알고 각을 구할 때도 코사인법칙을 변형해서 쓴다.

[ cos C=frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} ]

예를 들어 (a=7), (b=8), (c=9)라면

[ cos C=frac{7^2+8^2-9^2}{2cdot7cdot8} ]

[ cos C=frac{49+64-81}{112}=frac{32}{112}=frac27 ]

따라서 (C)는 (cos C=frac27)을 만족하는 각이다. 계산기로 구하면 약 (73.4^circ)이다.

어떤 도구를 선택할 것인가

삼각법 문제에서 가장 먼저 할 일은 "직각삼각형인가?"를 확인하는 것이다. 직각이 있으면 사인, 코사인, 탄젠트의 기본 비로 해결되는 경우가 많다. 직각이 없으면 사인법칙과 코사인법칙을 생각한다.

선택 기준은 다음과 같이 정리할 수 있다.

• 직각삼각형에서 한 각과 한 변을 알면: (sin,cos,tan) 사용

• 한 변과 그 마주 보는 각의 짝이 있고, 다른 각이나 변을 연결해야 하면: 사인법칙 사용

• 두 변과 끼인각을 알거나, 세 변으로 각을 구해야 하면: 코사인법칙 사용

• 그래프가 반복되고 최댓값·최솟값·주기가 보이면: 삼각함수 그래프 사용

실전에서는 그림에 길이와 각을 먼저 표시하고, 구하려는 값이 어떤 변 또는 어떤 각인지 정한다. 그런 다음 공식에 값을 넣기 전에 "이 값은 어느 각과 마주 보는가?", "이 각은 두 변 사이의 끼인각인가?"를 확인해야 한다. 사인법칙과 코사인법칙은 기호가 비슷해 보여도 쓰는 상황이 다르다.

삼각함수는 도형 단원에만 머무르지 않는다. 단위원은 좌표기하와 연결되고, 그래프의 주기성은 파동과 물리 현상으로 이어진다. 라디안 표현은 미분과 적분에서 중요해진다. 결국 삼각함수는 각과 길이, 좌표와 그래프, 반복 현상을 하나의 언어로 묶어 주는 도구이다.