삼각형, 원, 입체도형의 핵심 정리

도형 공식은 길이에서 시작한다

도형 단원에서 공식이 많이 등장하는 이유는 도형이 여러 정보를 동시에 가지기 때문이다. 삼각형 하나에도 변의 길이, 각의 크기, 높이, 넓이가 들어 있다. 원에는 반지름, 지름, 중심각, 호, 현, 접선이 연결되어 있다. 입체도형으로 가면 밑면의 넓이, 높이, 겉넓이, 부피까지 생각해야 한다.

이때 공식을 따로 외우면 금방 헷갈린다. 대신 다음 흐름으로 보면 정리가 된다.

• 길이를 알면 각과 넓이를 구할 수 있다.

• 각을 알면 닮음이나 원의 성질을 사용할 수 있다.

• 넓이는 보통 "밑변 × 높이"에서 출발한다.

• 부피는 "밑넓이 × 높이"에서 출발한다.

즉 도형 공식은 목록이 아니라 연결망이다. 이번 장에서는 그 연결망의 중심에 있는 삼각형, 원, 입체도형의 핵심 정리를 정리한다.

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피타고라스 정리: 직각을 길이로 읽는 방법

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b, 빗변의 길이를 c라고 하자. 빗변은 직각과 마주 보는 가장 긴 변이다. 이때

a^2+b^2=c^2

가 성립한다. 이것이 피타고라스 정리이다.

예를 들어 두 직각변의 길이가 6, 8인 직각삼각형에서 빗변을 c라고 하면

6^2+8^2=c^2

36+64=c^2

100=c^2

따라서 c=10이다. 길이는 음수가 아니므로 -10은 답이 될 수 없다.

피타고라스 정리는 길이를 구하는 데만 쓰이지 않는다. 그 역을 이용하면 어떤 삼각형이 직각삼각형인지 판별할 수 있다. 이때는 반드시 세 변 중 가장 긴 변을 빗변 후보로 잡아야 한다.

세 변의 길이가 5, 12, 13인 삼각형을 보자. 가장 긴 변은 13이므로 이 변이 빗변 후보이다.

5^2+12^2=25+144=169

13^2=169

두 값이 같으므로 이 삼각형은 직각삼각형이다.

반대로 세 변이 4, 5, 6이라면 가장 긴 변은 6이다.

4^2+5^2=16+25=41, 6^2=36

같지 않으므로 직각삼각형이 아니다. 이처럼 피타고라스 정리의 역은 그림에서 직각 표시가 없을 때도 직각을 찾아내는 도구가 된다.

특수한 직각삼각형의 변의 비

직각삼각형 중 자주 등장하는 두 가지가 있다. 첫째는 45°-45°-90° 삼각형이다. 두 예각이 같으므로 두 직각변의 길이도 같다. 직각변을 각각 1이라고 하면 빗변은 피타고라스 정리로 구한다.

1^2+1^2=c^2

2=c^2

c=√2

따라서 변의 비는

1 : 1 : √2

이다. 같은 길이의 두 변이 직각을 끼고 있고, √2에 해당하는 변이 빗변이다.

둘째는 30°-60°-90° 삼각형이다. 정삼각형을 높이로 반으로 자르면 이 삼각형이 나온다. 정삼각형의 한 변을 2라고 하면, 반으로 나뉜 밑변은 1이고 빗변은 2이다. 나머지 높이를 h라고 하면

1^2+h^2=2^2

1+h^2=4

h^2=3

h=√3

따라서 30°-60°-90° 삼각형의 변의 비는

1 : √3 : 2

이다. 여기서 가장 짧은 변 1은 30°와 마주 보는 변, √3은 60°와 마주 보는 변, 가장 긴 변 2는 빗변이다.

이 비는 이후 삼각함수에서 다시 등장한다. 사인, 코사인, 탄젠트의 기본값이 바로 이런 특수 직각삼각형의 변의 비에서 나온다.

중선, 각의 이등분선, 닮음비

삼각형에서 중선은 한 꼭짓점과 그 맞은편 변의 중점을 이은 선분이다. 중점은 한 선분을 같은 길이로 나누는 점이다.

삼각형 ABC에서 D가 BC의 중점이라면 BD=DC이다. 이때 중선 AD는 삼각형을 넓이가 같은 두 삼각형으로 나눈다. 왜냐하면 삼각형 ABD와 ACD는 높이가 같고, 밑변 BD, DC도 같기 때문이다.

삼각형의 넓이 = 1/2 × 밑변 × 높이

이므로 밑변과 높이가 같으면 넓이도 같다.

중선에서 한 가지 더 기억해 둘 성질이 있다. 삼각형의 세 중선은 한 점에서 만나는데, 이 점을 무게중심이라고 한다. 무게중심은 각 중선을 꼭짓점 쪽에서부터 2 : 1로 나눈다. 예를 들어 중선 AD 위에 무게중심 G가 있다면

AG : GD = 2 : 1

이다. 도형 문제에서 "중점"과 "중선"이 함께 보이면 넓이의 반, 또는 2 : 1의 비가 숨어 있을 가능성을 먼저 생각해 볼 수 있다.

이번에는 각의 이등분선을 보자. 각의 이등분선은 하나의 각을 같은 크기의 두 각으로 나누는 선이다. 삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선이 변 BC와 만나는 점을 D라고 하면 다음 관계가 성립한다.

BD : DC = AB : AC

즉 각을 반으로 나누는 선은 맞은편 변을 양옆 변의 길이비로 나눈다. 이때 비율의 순서를 맞추는 것이 중요하다. BD는 변 AB 쪽에 있고, DC는 변 AC 쪽에 있으므로 각각 AB, AC와 대응시켜 생각하면 된다.

예를 들어 AB=6, AC=9, BC=10이고 각의 이등분선이 BC를 BD, DC로 나눈다고 하자. 그러면

BD : DC = 6 : 9 = 2 : 3

전체 BC=10이므로 BD=4, DC=6이다.

닮음은 길이비를 넓이비로 확장한다. 두 도형이 닮음이고 대응하는 길이의 비가 1 : 3이라면 넓이의 비는

1^2 : 3^2 = 1 : 9

이다. 길이는 한 방향의 크기이고, 넓이는 가로와 세로 두 방향의 크기가 함께 커진 결과이기 때문이다. 입체도형에서는 부피가 세 방향의 크기를 가지므로 길이비가 1 : 3이면 부피비는

1^3 : 3^3 = 1 : 27

이 된다.

이 생각은 도형 문제에서 매우 중요하다. 길이를 2배로 늘리면 넓이는 2배가 아니라 4배가 된다. 부피는 8배가 된다.

원의 성질: 중심, 호, 각의 관계

원에서 모든 점은 중심으로부터 같은 거리에 있다. 이 거리가 반지름이다. 원의 성질은 대부분 "같은 반지름", "같은 호", "같은 각"에서 출발한다.

먼저 중심각과 원주각을 보자. 중심각은 꼭짓점이 원의 중심인 각이고, 원주각은 꼭짓점이 원 위에 있는 각이다. 같은 호를 바라볼 때,

원주각 = 중심각의 1/2

이다.

예를 들어 어떤 호에 대한 중심각이 100°라면, 같은 호를 보는 원주각은 50°이다. 또 같은 호를 보는 원주각들은 서로 크기가 같다. 그래서 원 안의 각 문제에서는 "이 각이 어떤 호를 보고 있는가?"를 먼저 확인해야 한다.

특히 지름을 한 변으로 삼아 원 위의 한 점과 연결하면, 그 점에서 생기는 원주각은 90°가 된다. 지름에 대한 중심각은 180°이고, 같은 호를 보는 원주각은 그 절반이기 때문이다. 따라서 원 안에서 지름이 보이면 직각삼각형을 만들 수 있는지 살펴보는 것이 좋다.

현은 원 위의 두 점을 이은 선분이다. 같은 원에서 길이가 같은 현은 중심에서 같은 거리에 있고, 같은 크기의 중심각을 만든다. 또 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 따라서 현의 길이와 중심에서 현까지의 거리가 주어지면 직각삼각형을 만들 수 있고, 여기서 피타고라스 정리가 다시 쓰인다.

예를 들어 반지름이 13인 원에서 중심에서 어떤 현까지의 거리가 5라고 하자. 중심에서 현에 내린 수선은 현을 반으로 나눈다. 현의 절반을 x라고 하면 직각삼각형에서

x^2+5^2=13^2

x^2+25=169

x^2=144

x=12

따라서 현 전체의 길이는 24이다.

접선은 원과 한 점에서만 만나는 직선이다. 접점에서 그은 반지름은 접선과 수직이다. 이 성질도 직각삼각형을 만든다. 원 밖의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다. 따라서 접선 길이가 하나만 주어져도 다른 접선 길이를 바로 알 수 있다.

원 밖의 한 점에서 원을 지나는 두 선을 그었을 때에는 할선 관계도 자주 등장한다. 한 점 P에서 원과 만나는 점들이 각각 가까운 점, 먼 점 순서로 A, B 그리고 C, D라면

PA × PB = PC × PD

가 성립한다. 접선이 함께 나오면

(접선 길이)^2 = (가까운 할선 부분) × (전체 할선 길이)

로 생각할 수 있다. 이 공식은 외우기보다 "원 밖 한 점에서 원을 향해 그은 선들의 곱 관계"로 묶어 두면 덜 헷갈린다.

넓이 공식은 밑변과 높이에서 나온다

삼각형의 넓이는

1/2 × 밑변 × 높이

이다. 여기서 높이는 밑변에 수직인 거리이다. 그림에서 비스듬히 그어진 변이 항상 높이가 되는 것은 아니므로, 밑변을 정했다면 그 밑변에 수직인 높이를 함께 찾아야 한다.

평행사변형은 같은 모양의 삼각형 두 개로 자르거나 옮기면 직사각형처럼 볼 수 있으므로

밑변 × 높이

가 된다. 사다리꼴은 윗변과 아랫변을 더한 뒤 평균을 내어 높이를 곱한다고 생각하면 된다.

사다리꼴의 넓이 = 1/2 × (윗변+아랫변) × 높이

원은 반지름 r을 기준으로 둘레와 넓이가 정리된다.

원의 둘레 = 2πr

원의 넓이 = πr^2

여기서 둘레의 단위는 cm, m처럼 길이 단위이고, 넓이의 단위는 cm^2, m^2처럼 제곱 단위이다. 식에서도 이 차원이 보인다. 2πr은 길이 r에 상수를 곱한 것이므로 길이이고, πr^2은 길이를 두 번 곱했으므로 넓이이다.

부채꼴은 원의 일부이다. 중심각이 θ°이면 전체 원 중 θ/360만큼 차지한다. 따라서

부채꼴의 호의 길이 = 2πr × θ/360

부채꼴의 넓이 = πr^2 × θ/360

이다.

예를 들어 반지름이 6이고 중심각이 120°인 부채꼴의 넓이는

π×6^2×120/360 = 36π×1/3 = 12π

이다.

부피 공식은 밑넓이와 높이에서 나온다

입체도형의 부피는 기본적으로

밑넓이 × 높이

에서 출발한다. 여기서 높이는 밑면에 수직인 거리이다. 입체도형에서도 비스듬한 모선이나 옆면의 길이와 높이를 혼동하지 않는 것이 중요하다.

기둥 모양은 같은 밑면이 높이 방향으로 그대로 쌓인 도형이다. 따라서 각기둥과 원기둥의 부피는 모두

V = Bh

이다. 여기서 B는 밑넓이, h는 높이이다. 원기둥이라면 밑면이 원이므로 B=πr^2이고,

V=πr^2h

가 된다.

뿔 모양은 같은 밑면과 높이를 가진 기둥의 1/3 부피를 가진다. 그래서 각뿔과 원뿔의 부피는

V = 1/3Bh

이다. 원뿔이라면

V=1/3πr^2h

이다.

구의 부피와 겉넓이는 다음과 같다.

구의 부피 = 4/3πr^3

구의 겉넓이 = 4πr^2

여기서도 차원을 확인할 수 있다. 부피는 길이를 세 번 곱한 단위이므로 cm^3, m^3처럼 세제곱 단위를 쓴다. r^3이 들어가는 이유도 부피가 세 방향의 크기와 관련되기 때문이다. 겉넓이는 입체도형의 바깥 면적을 모두 더한 값이므로 제곱 단위를 쓴다.

원기둥의 겉넓이를 구할 때는 윗면, 아랫면, 옆면을 나누어 생각한다. 반지름이 r, 높이가 h인 원기둥에서 윗면과 아랫면의 넓이는 각각 πr^2이다. 옆면을 펼치면 가로가 원의 둘레 2πr, 세로가 높이 h인 직사각형이 된다. 따라서 옆면의 넓이는 2πrh이고,

원기둥의 겉넓이 = 2πr^2 + 2πrh

이다.

실전에서는 보조선을 먼저 의심한다

도형 문제는 주어진 선만으로 풀리지 않는 경우가 많다. 이때 필요한 것이 보조선이다. 보조선은 없는 정보를 억지로 만드는 선이 아니라, 숨어 있는 직각삼각형, 닮음, 원의 성질을 드러내는 선이다.

예를 들어 원에서 현의 길이를 구해야 하는데 중심과 현 사이의 거리가 주어졌다면, 중심에서 현에 수선을 내려야 한다. 그러면 현이 반으로 나뉘고 직각삼각형이 생긴다. 피타고라스 정리를 사용할 수 있게 되는 것이다.

삼각형에서 넓이비가 나오면 높이가 같은 삼각형을 찾아야 한다. 닮음이 보이면 대응하는 변을 먼저 맞추고, 길이비를 넓이비나 부피비로 확장할지 판단해야 한다. 원에서 각이 나오면 그 각이 어떤 호를 보고 있는지 확인해야 한다.

정리하면 도형 문제의 기본 순서는 다음과 같다.

1. 주어진 길이, 각, 평행, 접선, 중점 조건을 표시한다.

2. 직각삼각형, 닮음, 같은 호, 같은 높이를 찾는다.

3. 필요한 경우 보조선을 긋는다.

4. 길이비, 넓이비, 부피비 중 무엇을 묻는지 확인한다.

5. 단위를 끝까지 맞춘다.

도형 공식은 따로 떨어진 암기 항목이 아니다. 직각이 있으면 피타고라스 정리가 나오고, 같은 모양이 있으면 닮음비가 나오며, 원에서는 중심과 호가 각을 결정한다. 넓이와 부피는 각각 2차원과 3차원의 크기이므로 단위와 비율도 그에 맞게 변한다.

이 관점이 잡히면 다음 장의 삼각함수도 자연스럽게 이어진다. 삼각함수는 결국 직각삼각형의 변의 비를 각의 함수로 정리한 것이기 때문이다.