수열은 순서가 있는 함수다
수열은 수를 차례대로 나열한 것이다. 예를 들어
1, 3, 5, 7, 9, ...
은 홀수가 차례대로 나오는 수열이다. 여기서 중요한 것은 단순히 어떤 수들이 들어 있는지가 아니라, 몇 번째에 어떤 수가 오는지이다. 그래서 수열은 자연수 1, 2, 3, ...을 입력하면 그 위치의 값을 출력하는 함수로 볼 수 있다.
보통 첫째 항을 a_1, 둘째 항을 a_2, n번째 항을 a_n이라고 쓴다. a_n을 일반항이라고 부르는데, 이는 n번째 항을 바로 계산할 수 있게 해 주는 식이다.
예를 들어 수열 2, 5, 8, 11, ...에서 n번째 항은
a_n=3n-1
이다. 실제로 n=1을 넣으면 2, n=2를 넣으면 5, n=3을 넣으면 8이 나온다. 수열의 목표는 나열된 몇 개의 수를 보고 그 뒤를 맞히는 데서 끝나지 않는다. 규칙을 식으로 표현하고, 합을 계산하며, 더 멀리 가서는 무한히 이어지는 변화를 다루는 데 있다.
이 점에서 수열은 함수와 미적분 사이에 놓인 다리다. 함수가 연속적인 입력 x를 다룬다면, 수열은 1번째, 2번째, 3번째처럼 띄엄띄엄 놓인 입력을 다룬다. 앞으로 배우는 극한은 이 띄엄띄엄 놓인 값들이 어디로 가까워지는지를 묻는 데서 출발한다.
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등차수열: 같은 양만큼 변하는 규칙
등차수열은 이웃한 두 항의 차가 일정한 수열이다. 이 일정한 차를 공차라고 한다.
예를 들어
4, 7, 10, 13, 16, ...
은 항이 하나씩 갈 때마다 3씩 증가하므로 공차가 3인 등차수열이다.
첫째 항이 a_1이고 공차가 d라면 각 항은 다음과 같이 만들어진다.
a_1
a_2=a_1+d
a_3=a_1+2d
a_4=a_1+3d
n번째 항까지 가려면 첫째 항에서 공차를 n-1번 더한다. 따라서 등차수열의 일반항은
a_n=a_1+(n-1)d
이다.
이 공식은 외워야 할 모양이 아니라, 첫째 항에서 몇 번 움직였는지를 세면 자연스럽게 나온다. n번째 항은 첫째 항에서 n-1칸 떨어져 있다. 한 칸 움직일 때마다 d만큼 변하므로 전체 변화량은 (n-1)d가 된다.
예를 들어 첫째 항이 5이고 공차가 4인 등차수열의 12번째 항은
a_12=5+(12-1)×4 =5+44 =49
이다.
등차수열은 일차함수와 닮았다. 일차함수 y=ax+b에서 x가 1 증가할 때 y가 항상 a만큼 변한다. 등차수열도 n이 1 증가할 때 a_n이 항상 d만큼 변한다. 차이가 있다면 일차함수는 보통 모든 실수 x를 다루고, 수열은 자연수 n만 다룬다는 점이다.
그래프로 생각하면 등차수열의 점들 (1, a_1), (2, a_2), (3, a_3), ...은 한 직선 위에 놓인다. 그래서 등차수열은 '자연수에서만 찍힌 일차함수'라고 이해할 수 있다.
등비수열: 같은 비율로 변하는 규칙
등비수열은 이웃한 두 항의 비가 일정한 수열이다. 이 일정한 비를 공비라고 한다.
예를 들어
3, 6, 12, 24, 48, ...
은 항이 하나씩 갈 때마다 2배가 되므로 공비가 2인 등비수열이다.
첫째 항이 a_1이고 공비가 r이라면 각 항은 다음과 같다.
a_1
a_2=a_1r
a_3=a_1r^2
a_4=a_1r^3
n번째 항은 첫째 항에 공비를 n-1번 곱한 값이므로
a_n=a_1r^(n-1)
이다.
예를 들어 첫째 항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 6번째 항은
a_6=2×3^(6-1) =2×3^5 =2×243 =486
이다.
등차수열이 일정한 양의 변화라면, 등비수열은 일정한 비율의 변화다. 앞 장에서 지수함수를 배울 때 복리, 세균 증식, 반감기처럼 같은 비율로 변하는 현상을 다루었다. 등비수열도 같은 생각을 사용한다. 다만 시간이나 단계가 1회, 2회, 3회처럼 끊어져 있을 때 등비수열로 표현한다.
공비가 1보다 크면 항의 크기가 빠르게 커진다. 공비가 0과 1 사이이면 항은 점점 작아진다. 예를 들어
100, 50, 25, 12.5, ...
은 공비가 1/2인 등비수열이다. 매번 절반으로 줄어들지만, 곧바로 0이 되지는 않는다. 이 관찰은 뒤에서 무한등비급수를 이해하는 핵심이 된다.
시그마: 여러 항의 합을 짧게 쓰는 기호
수열을 다루다 보면 여러 항을 더해야 할 때가 많다. 이때 모든 항을 길게 쓰면 불편하다.
예를 들어
1+2+3+...+100
을 매번 길게 쓰는 대신 시그마 기호 Σ를 사용해
∑_{k=1}^{100} k
라고 쓴다. 여기서 k는 더하는 항의 위치를 나타내는 임시 문자이다. k=1부터 시작해서 k=100까지 값을 차례로 넣어 더한다는 뜻이다.
몇 가지 예를 보자.
∑_{k=1}^{5} k =1+2+3+4+5=15
∑_{k=1}^{4} 2k =2+4+6+8=20
∑_{k=3}^{6} k^2 =3^2+4^2+5^2+6^2 =9+16+25+36 =86
시그마는 새로운 계산법이라기보다 긴 덧셈을 압축해서 쓰는 약속이다. 하지만 이 약속을 사용하면 복잡한 합도 구조적으로 볼 수 있다.
자주 쓰는 기본 합 공식은 다음과 같다.
∑_{k=1}^{n} k = n(n+1)/2
∑_{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
∑_{k=1}^{n} k^3 = {n(n+1)/2}^2
첫 번째 공식은 특히 자주 등장한다. 1부터 n까지의 합을 S라고 하면
S=1+2+3+...+(n-1)+n
이다. 같은 식을 거꾸로 쓰면
S=n+(n-1)+(n-2)+...+2+1
두 식을 세로로 더하면 각 줄의 합이 모두 n+1이 된다.
2S=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)
이런 쌍이 n개 있으므로
2S=n(n+1)
따라서
S=n(n+1)/2
이다. 이 유도에서 중요한 생각은 하나씩 더하지 않고, 합 전체의 구조를 보는 것이다.
등차수열의 합: 양끝을 짝짓기
등차수열의 합도 같은 방식으로 이해할 수 있다. 첫째 항이 a_1, 마지막 항이 a_n인 등차수열의 첫 n항의 합을 S_n이라고 하자.
S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n
이를 거꾸로 쓰면
S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1
두 식을 더하면 첫째 항과 마지막 항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항이 짝을 이루며 모두 같은 값을 만든다.
2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+...+(a_n+a_1)
등차수열에서는 양끝에서 같은 거리만큼 떨어진 두 항의 합이 일정하다. 그래서
2S_n=n(a_1+a_n)
이고,
S_n=n(a_1+a_n)/2
이다.
또 a_n=a_1+(n-1)d이므로 마지막 항 대신 공차를 사용하면
S_n=n{2a_1+(n-1)d}/2
로 쓸 수 있다.
예를 들어 7, 10, 13, ..., 49의 합을 구해 보자. 첫째 항은 7, 공차는 3이다. 마지막 항 49가 몇 번째 항인지 먼저 구한다.
49=7+(n-1)×3 42=3(n-1) n-1=14 n=15
따라서 합은
S_15=15(7+49)/2 =15×56/2 =15×28 =420
이다. 여기서 먼저 항의 개수를 확인한 뒤 합 공식을 사용했다는 점이 중요하다. 등차수열의 합 문제에서 실수는 대개 마지막 항이 몇 번째인지 확인하지 않고 바로 더하려 할 때 생긴다.
등비수열의 합: 곱해서 빼기
등비수열의 합은 등차수열처럼 양끝을 더하는 방식보다, 공비를 곱해서 빼는 방식이 잘 맞는다.
첫째 항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫 n항의 합을 S_n이라고 하자.
S_n=a+ar+ar^2+...+ar^(n-1)
양변에 r을 곱하면
rS_n=ar+ar^2+ar^3+...+ar^n
이제 두 식을 빼면 가운데 항들이 사라진다.
S_n-rS_n=a-ar^n
즉,
(1-r)S_n=a(1-r^n)
따라서 r≠1일 때
S_n=a(1-r^n)/(1-r)
이다. 같은 식을
S_n=a(r^n-1)/(r-1)
로 쓰기도 한다. 두 식은 같은 뜻이지만, 공비가 1보다 작은지 큰지에 따라 계산하기 편한 형태를 고르면 된다.
예를 들어 2+6+18+54+162의 합을 구하자. 첫째 항은 2, 공비는 3, 항의 개수는 5이다.
S_5=2(3^5-1)/(3-1) =2(243-1)/2 =242
이다.
공비가 1인 경우는 따로 생각해야 한다. 모든 항이 a로 같으므로 첫 n항의 합은 단순히 na이다. 공식에 r=1을 넣으면 분모가 0이 되기 때문에 사용할 수 없다. 앞에서 유리식과 무리식을 배울 때처럼, 공식에도 적용 조건이 있다.
점화식: 다음 항을 만드는 규칙
일반항은 n번째 항을 바로 계산하는 식이다. 반면 점화식은 이전 항을 이용해 다음 항을 만드는 규칙이다.
예를 들어
a_1=3, a_{n+1}=a_n+4
라고 하면 첫째 항은 3이고, 다음 항은 앞 항에 4를 더해 만든다.
a_1=3 a_2=3+4=7 a_3=7+4=11 a_4=11+4=15
따라서 이 수열은 공차가 4인 등차수열이다. 일반항은
a_n=3+(n-1)×4=4n-1
이다.
또
a_1=5, a_{n+1}=2a_n
이면 각 항은 앞 항의 2배가 된다.
a_1=5 a_2=10 a_3=20 a_4=40
이 수열은 첫째 항이 5, 공비가 2인 등비수열이므로
a_n=5×2^(n-1)
이다.
점화식은 현실 상황을 모델링할 때 유용하다. 예를 들어 어떤 저수지의 물이 매일 전날의 90%만 남고, 매일 20톤씩 새로 들어온다고 하자. n일째 물의 양을 a_n이라고 하면
a_{n+1}=0.9a_n+20
처럼 쓸 수 있다. 이 식은 단순한 등차수열도 등비수열도 아니지만, 상황의 반복 구조를 정확하게 담고 있다. 많은 실제 문제는 '한 번에 n번째 값을 구하는 식'보다 '이전 상태에서 다음 상태로 넘어가는 규칙'으로 먼저 표현된다.
점화식을 볼 때는 두 가지를 확인해야 한다.
첫째, 시작값이 있는가? a_1 또는 a_0이 주어지지 않으면 수열이 하나로 정해지지 않는다. 둘째, 다음 항을 만드는 규칙이 무엇인가? 더하는가, 곱하는가, 아니면 더하기와 곱하기가 함께 있는가를 살펴야 한다.
무한등비급수: 끝없이 더해도 가까워지는 값
등비수열의 합에서 가장 흥미로운 경우는 공비의 절댓값이 1보다 작을 때이다.
예를 들어
1+1/2+1/4+1/8+...
을 생각해 보자. 항은 끝없이 이어지지만, 합은 계속 커지기만 하는 것이 아니라 2에 가까워진다.
부분합을 계산해 보면
S_1=1 S_2=1+1/2=3/2 S_3=1+1/2+1/4=7/4 S_4=1+1/2+1/4+1/8=15/8
이다. 값은 1, 1.5, 1.75, 1.875처럼 2에 점점 가까워진다.
등비수열의 합 공식으로 보면 더 분명하다. 첫째 항 a=1, 공비 r=1/2이므로
S_n=1{1-(1/2)^n}/(1-1/2) =2{1-(1/2)^n}
이다. n이 커질수록 (1/2)^n은 0에 가까워진다. 따라서 S_n은 2에 가까워진다.
이처럼 무한히 많은 항을 더했을 때 부분합이 어떤 값에 가까워지면, 그 값을 무한등비급수의 합이라고 한다. 첫째 항이 a이고 공비가 r일 때, |r|<1이면
a+ar+ar^2+ar^3+... = a/(1-r)
이다.
여기서 |r|<1이라는 조건이 중요하다. 공비의 절댓값이 1보다 작아야 항의 크기가 점점 작아져 0에 가까워진다. 예를 들어 공비가 2이면 항은 점점 커지므로 합이 한 값에 가까워지지 않는다. 공비가 -1이면 1, -1, 1, -1처럼 계속 흔들린다. 따라서 무한히 더한다고 해서 언제나 유한한 값이 되는 것은 아니다.
도형으로 보는 무한등비급수
무한등비급수는 도형으로 보면 더 직관적이다. 넓이가 1인 정사각형을 생각하자. 먼저 전체의 절반을 칠한다. 남은 부분의 절반을 또 칠한다. 다시 남은 부분의 절반을 칠한다. 그러면 칠한 넓이는
1/2+1/4+1/8+1/16+...
이 된다.
계속 칠하면 칠한 부분은 전체 정사각형을 점점 더 많이 채운다. 하지만 각 단계에서는 항상 조금의 빈 부분이 남는다. 그 빈 부분의 넓이는 차례로
1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ...
처럼 줄어든다. 결국 칠한 넓이는 전체 넓이 1에 가까워진다.
공식으로 확인하면 첫째 항 a=1/2, 공비 r=1/2이므로
S= a/(1-r) = (1/2)/(1-1/2) =1
이다.
이 예시는 '무한히 더한다'는 말이 항상 끝없는 크기를 뜻하지 않음을 보여 준다. 항의 크기가 충분히 빠르게 작아지면, 끝없이 더해도 합은 어떤 유한한 값에 가까워질 수 있다. 이 생각은 이후 극한, 미분, 적분을 이해하는 출발점이 된다.
실전 적용: 규칙을 먼저 정하고 식을 세운다
수열 문제를 풀 때는 먼저 어떤 변화인지 판단해야 한다.
항 사이의 차가 일정하면 등차수열이다. 이때는 공차 d를 찾고
a_n=a_1+(n-1)d
를 사용한다.
항 사이의 비가 일정하면 등비수열이다. 이때는 공비 r을 찾고
a_n=a_1r^(n-1)
을 사용한다.
여러 항을 더해야 하면 시그마나 합 공식을 생각한다. 특히 등차수열의 합은 양끝의 평균에 항의 개수를 곱한 값으로 이해할 수 있다.
S_n=n(a_1+a_n)/2
등비수열의 합은 공비를 곱해 빼는 구조에서 나온다.
S_n=a(1-r^n)/(1-r) (r≠1)
끝없이 더하는 문제라면 공비의 절댓값이 1보다 작은지 먼저 확인한다.
|r|<1이면 S=a/(1-r)
이고, 그렇지 않으면 이 공식을 사용할 수 없다.
예를 들어 한 공을 떨어뜨릴 때마다 이전 높이의 60%까지 튀어 오른다고 하자. 처음 높이가 10m이고, 공이 튀어 오르는 높이만 모두 더하면
10×0.6+10×0.6^2+10×0.6^3+...
이다. 첫째 항은 6, 공비는 0.6이다. 공비의 절댓값이 1보다 작으므로 무한등비급수의 합은
S=6/(1-0.6) =6/0.4 =15
이다. 이 값은 공이 위로 올라간 거리의 총합이다. 전체 이동 거리를 구하는 문제라면 내려오는 거리도 따로 고려해야 하므로, 문제에서 무엇을 묻는지 확인해야 한다.
수열은 규칙을 찾는 단원처럼 보이지만, 실제로는 변화를 식으로 표현하는 훈련이다. 등차수열은 일정한 변화량, 등비수열은 일정한 비율, 점화식은 반복되는 과정, 급수는 누적된 합을 다룬다. 이 네 가지 관점이 이어지면 나중에 함수의 극한과 미적분에서 '가까워지는 값'과 '쌓이는 양'을 이해할 준비가 된다.
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