지수와 로그로 성장과 변화를 읽기

왜 지수와 로그가 필요한가

일차함수는 일정하게 증가하는 상황을 잘 설명한다. 하루에 2쪽씩 읽으면 10일 뒤에는 20쪽을 읽는다. 이때 변화량은 매번 같다.

하지만 현실에는 '일정한 양'이 아니라 '일정한 비율'로 변하는 현상이 많다. 예금에 이자가 붙고, 그 이자에도 다시 이자가 붙는다. 어떤 물질은 일정한 시간이 지날 때마다 절반으로 줄어든다. 감염자는 사람을 통해 다시 감염자를 만들기 때문에 초기에 빠르게 늘 수 있다.

이런 변화는 일차함수보다 지수함수로 잘 표현된다. 반대로 지수적으로 변한 값을 보고 '몇 번 곱해졌는가', '얼마나 시간이 지났는가'를 묻는 도구가 로그이다. 즉 지수는 반복 곱셈의 언어이고, 로그는 그 반복 횟수를 묻는 언어이다.

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지수법칙을 넓혀 보기

중학교와 앞 단원에서 배운 지수는 먼저 자연수 지수에서 출발한다.

예를 들어 2^4는 2를 4번 곱한 값이다.

2^4 = 2×2×2×2 = 16

같은 밑을 곱하면 지수는 더해진다.

2^3×2^4 = (2×2×2)×(2×2×2×2) = 2^7

그래서 일반적으로 a^m×a^n = a^(m+n)이다.

나눗셈에서는 밑 a가 0이 아니어야 한다. 0으로 나눌 수 없기 때문이다.

a^m÷a^n = a^(m-n) (a≠0)

이 법칙을 유지하려면 0제곱과 음의 정수 지수도 자연스럽게 정해진다.

a^3÷a^3 = a^(3-3) = a^0

그런데 a^3÷a^3 = 1이므로 a^0 = 1이다. 단, a≠0이다.

또,

a^2÷a^5 = a^(2-5) = a^(-3)

한편 a^2÷a^5 = 1/a^3이므로 a^(-3)=1/a^3이다. 음의 지수는 '역수'를 뜻한다.

유리수 지수는 근호와 연결된다. 예를 들어 a^(1/2)는 제곱했을 때 a가 되는 양수로 생각한다.

(a^(1/2))^2 = a

따라서 a^(1/2)=√a이다. 마찬가지로 a^(1/3)=∛a이고,

a^(m/n)=ⁿ√(a^m)=(ⁿ√a)^m

으로 확장할 수 있다. 이때 고등학교의 지수함수와 로그함수에서는 보통 밑 a를 양수로 둔다. 그래야 근호, 유리수 지수, 로그가 실수 범위에서 안정적으로 정의된다.

지수함수: 일정한 비율로 변하는 함수

지수함수는 보통 다음 꼴로 나타낸다.

y=a^x (a>0, a≠1)

여기서 a를 밑이라고 한다. 밑이 1이면 1^x=1이라서 모든 x에 대해 값이 같다. 즉 증가하거나 감소하는 지수적 변화를 보여 주지 못하므로 지수함수에서는 보통 a≠1로 둔다.

밑이 1보다 크면 x가 1 증가할 때마다 함수값이 a배가 된다. 예를 들어 y=2^x를 표로 보면 다음과 같다.

x가 1씩 커질 때 y는 2배가 된다. 그래서 y=2^x는 증가함수이다.

반대로 y=(1/2)^x는 x가 1 증가할 때마다 함수값이 1/2배가 된다.

따라서 0

지수함수 y=a^x의 중요한 특징은 세 가지이다.

첫째, 그래프는 항상 점 (0,1)을 지난다. 어떤 양수 a에 대해서도 a^0=1이기 때문이다.

둘째, 함수값은 항상 양수이다. 양수를 몇 번 곱하거나 그 역수를 생각해도 0이나 음수가 되지 않는다. 그래서 치역은 y>0이다.

셋째, x축 y=0은 점근선이다. 점근선은 그래프가 점점 가까워지지만 만나지는 않는 직선이다. y=2^x에서 x가 매우 작아지면 값은 0에 가까워지지만 0이 되지는 않는다. 이 점은 앞에서 본 분수함수의 점근선과도 연결된다.

지수방정식의 기본 유형

지수방정식은 지수가 미지수로 들어 있는 방정식이다. 먼저 양변을 같은 밑의 거듭제곱으로 만들 수 있는지 확인한다.

예를 들어,

2^(x+1)=16

16=2^4이므로

2^(x+1)=2^4

밑이 같고 지수함수 y=2^x가 일대일로 대응하므로 지수도 같다.

x+1=4

x=3

이번에는 밑이 바로 같지 않은 경우를 보자.

3·2^x=24

양변을 3으로 나누면

2^x=8

8=2^3이므로 x=3이다.

하지만 5^x=12처럼 12를 5의 거듭제곱으로 간단히 나타내기 어려운 경우도 있다. 이때 필요한 도구가 로그이다.

로그: 지수를 묻는 연산

로그는 새롭게 생긴 계산법이라기보다, 지수 표현을 거꾸로 읽는 방법이다.

2^3=8이라는 문장을 거꾸로 읽으면 이렇게 된다.

'2를 몇 제곱해야 8이 되는가?'

답은 3이다. 이것을 로그로 다음과 같이 쓴다.

log₂8=3

일반적으로

log_a b = x ⇔ a^x=b

이다. 이때 a>0, a≠1, b>0이어야 한다. 밑 a는 지수함수의 밑과 같은 조건을 가진다. 또 로그의 진수 b는 반드시 양수이다. 왜냐하면 a^x의 값은 항상 양수이기 때문이다.

이 조건은 로그방정식에서 매우 중요하다. 예를 들어 log₂(x-1)이 등장하면 x-1>0, 즉 x>1을 먼저 확인해야 한다. 앞에서 유리식과 무리식의 정의역을 먼저 보았던 것처럼, 로그에서도 진수가 양수인지 확인해야 한다.

앞의 지수방정식 5^x=12는 로그로 다음과 같이 쓸 수 있다.

x=log₅12

계산기에 밑이 5인 로그 버튼이 따로 없다면 밑변환 공식을 사용한다.

log_a b = log b / log a

오른쪽의 두 로그는 같은 밑이면 된다. 보통 계산기에서 log는 상용로그, ln은 자연로그를 뜻하므로 다음 두 값은 모두 같다.

log₅12 = log 12 / log 5 = ln 12 / ln 5

이 공식은 실제 계산에서 자주 쓰인다.

로그법칙은 지수법칙에서 나온다

로그법칙은 외울 공식처럼 보이지만 사실 지수법칙을 거꾸로 읽은 것이다.

log_a M=p, log_a N=q라고 하자. 그러면

M=a^p, N=a^q

이다. 두 수를 곱하면

MN=a^p·a^q=a^(p+q)

따라서

log_a(MN)=p+q=log_a M+log_a N

이다. 곱셈은 로그에서 덧셈으로 바뀐다.

나눗셈도 같은 방식으로 나온다.

M/N=a^p/a^q=a^(p-q)

따라서

log_a(M/N)=log_a M-log_a N

거듭제곱은 다음과 같다.

M^r=(a^p)^r=a^(pr)

따라서

log_a(M^r)=r log_a M

정리하면 다음과 같다. 단, a>0, a≠1, M>0, N>0이다.

• log_a(MN)=log_a M+log_a N

• log_a(M/N)=log_a M-log_a N

• log_a(M^r)=r log_a M

로그법칙을 사용할 때 가장 흔한 실수는 log_a(M+N)을 log_a M+log_a N으로 바꾸는 것이다. 이것은 일반적으로 성립하지 않는다. 로그법칙은 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱에 대한 규칙이지 덧셈에 대한 규칙이 아니다.

로그함수의 그래프

지수함수 y=a^x와 로그함수 y=log_a x는 서로 거꾸로 읽는 관계이다. 그래서 두 그래프는 직선 y=x에 대해 대칭이다. 이를 역함수 관계라고 한다. 역함수는 입력과 출력의 역할을 바꾼 함수이다.

로그함수 y=log_a x의 정의역은 x>0이다. 진수가 양수여야 하기 때문이다. 치역은 모든 실수이다. 지수함수 y=a^x에서 x가 모든 실수를 움직이고 y가 양수 전체를 만들었으므로, 이를 뒤집은 로그함수는 양수 입력에 대해 모든 실수 출력을 가진다.

밑이 a>1이면 로그함수는 증가한다. 예를 들어 y=log₂x에서 x가 1, 2, 4, 8로 커질 때 y는 0, 1, 2, 3으로 커진다.

밑이 0

또 로그함수의 그래프는 y축, 즉 직선 x=0을 점근선으로 가진다. x=0은 정의역에 포함되지 않기 때문에 그래프가 y축을 만나지 않는다. a>1일 때는 x가 0에 가까운 양수로 갈수록 로그값이 한없이 작아지고, 0

실전 적용 1: 복리와 인구 증가

복리는 '원금에 붙은 이자에도 다시 이자가 붙는' 방식이다. 원금이 P원, 연이율이 r, 기간이 t년이면 보통 다음과 같이 모델링한다.

A=P(1+r)^t

예를 들어 100만 원을 연 5% 복리로 3년 동안 맡기면

A=1,000,000(1.05)^3

1.05^2=1.1025,

1.05^3=1.1025×1.05=1.157625

따라서

A=1,157,625

즉 3년 뒤 금액은 1,157,625원이다.

그렇다면 몇 년 뒤에 원금의 2배가 될까?

1,000,000(1.05)^t=2,000,000

양변을 1,000,000으로 나누면

1.05^t=2

이때 t는 간단한 정수로 나오지 않는다. 로그를 사용하면

t=log_(1.05)2

이다. 계산기를 사용하면 약 14.2년이다. 이처럼 로그는 '목표값에 도달하는 데 필요한 시간'을 구할 때 쓰인다.

인구 증가나 감염 확산도 비슷한 방식으로 모델링할 수 있다. 어떤 수량이 3일마다 2배가 되고 처음 값이 50이라면 t일 뒤의 값은

N=50·2^(t/3)

이다. 12일 뒤에는

N=50·2^4=50·16=800

이다. 3200이 되는 시점을 구하면

50·2^(t/3)=3200

2^(t/3)=64=2^6

t/3=6

t=18

따라서 18일 뒤이다. 실제 감염 확산은 정책, 면역, 접촉 감소 등 여러 요인에 따라 달라지지만, 초기의 빠른 증가를 이해하는 기본 모델로 지수함수가 사용된다.

실전 적용 2: 반감기와 감소 모델

반감기는 어떤 양이 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간이다. 방사성 물질의 붕괴나 약물 농도 감소를 설명할 때 사용된다.

어떤 물질이 5년마다 절반으로 줄고 처음 양이 80g이라고 하자. t년 뒤의 양 A는

A=80(1/2)^(t/5)

이다. 15년 뒤에는 5년이 세 번 지나므로

A=80(1/2)^3

=80×1/8

=10

따라서 10g이 남는다.

이번에는 5g보다 적어지는 시점을 구해 보자.

80(1/2)^(t/5)<5

양변을 80으로 나누면

(1/2)^(t/5)<1/16

1/16=(1/2)^4이므로

(1/2)^(t/5)<(1/2)^4

밑이 1/2인 지수함수는 감소함수이다. 따라서 함수값이 더 작으려면 지수가 더 커야 한다.

t/5>4

t>20

즉 20년이 지난 뒤부터 5g보다 적다. 여기서 부등호 방향을 판단할 때 '밑이 1보다 작은 지수함수는 감소한다'는 그래프 해석이 필요하다.

실전 적용 3: 로그 척도

로그는 매우 큰 값이나 매우 작은 값을 다루기 쉽게 바꾸는 데도 쓰인다. 대표적인 예가 pH와 데시벨이다.

pH는 수소 이온 농도를 로그로 바꾼 척도이다. 고등학교 수준에서는 보통 상용로그를 사용해 간단히 다음과 같이 표현한다.

pH = -log[H⁺]

여기서 [H⁺]는 수소 이온 농도이고, log는 밑이 10인 로그로 이해하면 된다. 만약 [H⁺]=10^(-3)이면

pH=-log(10^(-3))=3

이고, [H⁺]=10^(-5)이면

pH=-log(10^(-5))=5

이다. pH가 1만큼 차이 난다는 것은 수소 이온 농도가 10배 차이 난다는 뜻이다. 예를 들어 pH 3인 용액은 pH 4인 용액보다 수소 이온 농도가 10배 크다. 숫자 차이는 1이지만 실제 농도 차이는 10배이다.

소리의 크기를 나타내는 데시벨도 로그 척도이다. 기준 세기에 대한 소리의 세기 비율을 로그로 바꾸어 표현한다.

소리의 세기가 기준보다 1000배 크다면

10log(1000)=10log(10^3)=30

이므로 30dB로 나타낼 수 있다. 기준보다 100배 크면 20dB, 10배 크면 10dB이다. 여기서도 log는 보통 상용로그를 뜻한다. 로그 척도에서는 실제 비율의 곱셈 차이가 눈금에서는 덧셈 차이로 나타난다.

이런 척도는 값의 범위가 너무 넓을 때 유용하다. 지진 규모, 소리, 산성도처럼 작은 숫자 차이가 실제로는 큰 배율 차이를 뜻하는 상황에서 로그가 사용된다.

문제를 풀 때의 판단 순서

지수와 로그 문제는 공식보다 조건과 해석이 중요하다. 다음 순서로 보면 실수를 줄일 수 있다.

1. 밑의 조건을 확인한다. 지수함수와 로그함수에서 밑은 a>0, a≠1이다.

2. 로그가 있으면 진수가 양수인지 먼저 확인한다.

3. 같은 밑으로 정리할 수 있으면 지수를 비교한다.

4. 같은 밑으로 정리하기 어렵고 지수에 미지수가 있으면 로그를 사용한다.

5. 밑이 0과 1 사이인 지수부등식에서는 증가·감소 방향을 확인한다.

6. 현실 문제에서는 '처음값', '증가 또는 감소 비율', '시간 단위'를 식에 정확히 반영한다.

지수와 로그는 서로 다른 단원이 아니라 한 쌍의 언어이다. 지수는 빠르게 커지거나 줄어드는 변화를 표현하고, 로그는 그 변화가 몇 단계나 진행되었는지 묻는다. 다음에 배우는 수열에서도 같은 관점이 이어진다. 일정한 차이로 변하면 등차수열, 일정한 비율로 변하면 등비수열이 된다. 지수와 로그를 이해하면 변화의 속도와 규모를 더 정확하게 읽을 수 있다.