이차함수와 이차방정식의 연결

직선 다음에 만나는 곡선, 이차함수

일차함수의 그래프는 직선이다. 입력값이 1만큼 늘어날 때 출력값이 항상 같은 양만큼 변하기 때문이다. 반면 이차함수는 변화량이 일정하지 않다.

예를 들어 (y=x^2)에서 (x)값을 0, 1, 2, 3으로 넣어 보자.

[ 0^2=0,quad 1^2=1,quad 2^2=4,quad 3^2=9 ]

출력값은 0, 1, 4, 9이고, 증가량은 1, 3, 5로 커진다. 그래서 그래프는 직선이 아니라 휘어진 곡선이 된다. 이 곡선을 포물선이라고 한다.

이차함수는 보통 다음과 같이 나타낸다.

[ y=ax^2+bx+c quad (ane0) ]

여기서 (a)가 0이면 이차항이 사라져 일차함수가 되므로, 이차함수에서는 반드시 (ane0)이어야 한다. (a>0)이면 포물선은 위로 열리고, (a<0)이면 아래로 열린다. 또 (|a|)가 클수록 그래프는 더 좁아지고, (|a|)가 작을수록 더 넓어진다.

이차함수가 중요한 이유는 하나의 식 안에 여러 정보가 함께 들어 있기 때문이다. 그래프의 모양, 최대·최소, 방정식의 해, x축과의 위치 관계가 모두 연결된다.

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세 가지 형태가 드러내는 정보

이차함수는 같은 함수를 여러 형태로 나타낼 수 있다. 형태가 달라지면 보이는 정보도 달라진다. 다만 실수 범위에서 인수분해형은 x축과 만나는 점, 즉 실근이 있을 때 특히 자연스럽게 쓸 수 있다.

일반형: 계수와 y절편이 보인다

[ y=ax^2+bx+c ]

이 형태를 일반형이라고 한다. 가장 기본적인 모양이며, 계수 (a, b, c)가 바로 보인다. 특히 (x=0)을 넣으면 (y=c)이므로, 그래프는 y축과 ((0,c))에서 만난다.

예를 들어

[ y=2x^2-8x+3 ]

에서 (a=2)이므로 그래프는 위로 열린다. 또 (c=3)이므로 y절편은 3이다. 하지만 꼭짓점이나 x절편은 바로 보이지 않는다. 이런 정보가 필요하면 식의 형태를 바꾸어야 한다.

표준형: 꼭짓점과 최대·최소가 보인다

[ y=a(x-p)^2+q ]

이 형태를 표준형 또는 꼭짓점 형태라고 한다. 여기서는 꼭짓점이 바로 보인다.

[ text{꼭짓점 } (p,q), quad text{축의 방정식 } x=p ]

제곱 ((x-p)^2)은 항상 0 이상이다. 따라서 (a>0)이면 ((x-p)^2)이 가장 작을 때, 즉 (x=p)일 때 (y)가 가장 작다. 최솟값은 (q)이다. 반대로 (a<0)이면 그래프가 아래로 열리므로 (x=p)에서 최댓값 (q)를 가진다.

앞의 예를 표준형으로 바꾸어 보자.

[ y=2x^2-8x+3 ]

먼저 (x^2)과 (x)항에서 2를 묶는다.

[ y=2(x^2-4x)+3 ]

괄호 안을 완전제곱식으로 만든다.

[ x^2-4x=(x-2)^2-4 ]

따라서

[ y=2{(x-2)^2-4}+3 ]

[ y=2(x-2)^2-8+3=2(x-2)^2-5 ]

이제 꼭짓점은 ((2,-5)), 축의 방정식은 (x=2)이다. (a=2>0)이므로 그래프는 위로 열리고, 최솟값은 (-5)이다.

인수분해형: 근과 x절편이 보인다

[ y=a(x-r_1)(x-r_2) ]

이 형태에서는 (x)절편이 바로 보인다. 실수 범위에서 이렇게 인수분해된다면, (y=0)이 되려면 곱 중 하나가 0이면 된다.

[ a(x-r_1)(x-r_2)=0 ]

[ x=r_1 quad text{또는} quad x=r_2 ]

따라서 그래프는 x축과 ((r_1,0)), ((r_2,0))에서 만난다. 이것은 이차방정식의 해와 직접 연결된다.

예를 들어

[ y=(x-1)(x-3) ]

이면 (y=0)이 되는 값은 (x=1,3)이다. 그래프는 x축과 ((1,0)), ((3,0))에서 만난다.

만약

[ y=(x-2)^2 ]

처럼 같은 인수가 두 번 반복되면 (x=2)가 중근이다. 이때 그래프는 x축을 뚫고 지나가지 않고, x축에 한 번 닿았다가 돌아선다.

이차방정식은 이차함수의 x절편을 찾는 문제

이차방정식

[ ax^2+bx+c=0 ]

은 이차함수

[ y=ax^2+bx+c ]

에서 (y=0)이 되는 (x)값을 찾는 문제이다. 그래프 관점에서는 x축과 만나는 점의 x좌표를 찾는 것이다.

따라서 이차방정식을 풀 때는 두 가지 관점을 함께 사용할 수 있다.

• 식으로 풀면 정확한 해를 구할 수 있다.

• 그래프로 보면 해의 개수와 위치를 빠르게 판단할 수 있다.

예를 들어

[ x^2-5x+6=0 ]

을 인수분해하면

[ (x-2)(x-3)=0 ]

이므로

[ x=2,quad x=3 ]

이다. 그래프 (y=x^2-5x+6)은 x축과 두 점 ((2,0)), ((3,0))에서 만난다.

완전제곱식 만들기와 근의 공식

모든 이차방정식이 쉽게 인수분해되는 것은 아니다. 이때 사용하는 방법이 완전제곱식 만들기이다. 완전제곱식은 ((x+p)^2)처럼 제곱 형태로 정리된 식이다.

예를 들어

[ x^2-6x+5=0 ]

을 풀어 보자. (x^2-6x)를 완전제곱식으로 만들려면 (-6)의 절반인 (-3)을 사용한다.

[ x^2-6x=(x-3)^2-9 ]

따라서

[ x^2-6x+5=0 ]

[ (x-3)^2-9+5=0 ]

[ (x-3)^2-4=0 ]

[ (x-3)^2=4 ]

양변의 제곱근을 생각하면

[ x-3=pm2 ]

따라서

[ x=1,quad x=5 ]

이다.

이 원리를 일반적인 이차방정식에 적용하면 근의 공식이 나온다.

[ ax^2+bx+c=0 quad (ane0) ]

양변을 (a)로 나눈다.

[ x^2+frac ba x+frac ca=0 ]

상수항을 오른쪽으로 옮긴다.

[ x^2+frac ba x=-frac ca ]

왼쪽을 완전제곱식으로 만들기 위해 (left(frac b{2a}right)^2)을 양변에 더한다.

[ left(x+frac b{2a}right)^2=frac{b^2-4ac}{4a^2} ]

따라서

[ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a} ]

이 식이 근의 공식이다. 공식은 외우기 위한 결과이기도 하지만, 더 중요한 것은 그 출발점이 완전제곱식이라는 점이다.

판별식과 그래프의 위치 관계

근의 공식에서 해의 성격을 결정하는 부분은 제곱근 안이다.

[ D=b^2-4ac ]

이 값을 판별식이라고 한다. 이름 그대로 해가 어떤 종류인지 판별해 준다.

(D>0): 서로 다른 두 실근

(D>0)이면 제곱근 안이 양수이다. 따라서 서로 다른 두 실수 해가 나온다.

그래프 관점에서는 포물선이 x축과 두 점에서 만난다.

[ text{서로 다른 두 실근} Longleftrightarrow text{x축과 두 점에서 만남} ]

(D=0): 중근

(D=0)이면 근의 공식에서 (pmsqrt D) 부분이 0이 된다. 그래서 두 해가 같은 값으로 겹친다.

[ x=frac{-b}{2a} ]

이 해를 중근이라고 한다. 그래프는 x축에 한 점에서 접한다. 이 점은 포물선의 꼭짓점이다.

[ text{중근} Longleftrightarrow text{x축에 접함} ]

(D<0): 실근 없음

(D<0)이면 실수 범위에서 제곱근을 구할 수 없다. 따라서 실근은 없다. 복소수까지 생각하면 한 쌍의 허근이 나오지만, 좌표평면의 실수 그래프에서는 x축과 만나지 않는다.

[ text{실근 없음} Longleftrightarrow text{x축과 만나지 않음} ]

예를 들어

[ y=x^2+2x+3 ]

에서 판별식은

[ D=2^2-4cdot1cdot3=4-12=-8 ]

이다. (D<0)이므로 방정식 (x^2+2x+3=0)은 실근이 없다. 실제로 그래프는 위로 열리고, 꼭짓점은 ((-1,2))이다. 가장 낮은 y값도 2이므로 x축에 닿지 않는다.

최대·최소는 꼭짓점에서 찾는다

이차함수의 최대·최소 문제는 대부분 꼭짓점을 찾는 문제로 바뀐다. 특히 표준형은 최대·최소를 바로 보여 준다.

예를 들어

[ y=-2(x-3)^2+10 ]

은 아래로 열린 포물선이다. ((x-3)^2)은 0 이상이므로 (-2(x-3)^2)은 0 이하이다. 따라서 y값은 (x=3)일 때 가장 크고, 최댓값은 10이다.

일반형으로 주어진 경우에는 완전제곱식으로 바꾸면 된다.

[ y=-x^2+8x+1 ]

[ y=-(x^2-8x)+1 ]

[ y=-{(x-4)^2-16}+1 ]

[ y=-(x-4)^2+17 ]

그래프는 아래로 열리고, 꼭짓점은 ((4,17))이다. 따라서 최댓값은 17이다.

넓이 문제를 이차함수로 바꾸기

둘레가 20인 직사각형이 있다고 하자. 가로를 (x), 세로를 (y)라고 하면

[ 2x+2y=20 ]

이므로

[ x+y=10,quad y=10-x ]

넓이 (A)는

[ A=xy ]

이므로

[ A=x(10-x)=-x^2+10x ]

넓이는 이차함수로 표현된다. 이제 최대 넓이를 구하기 위해 표준형으로 바꾼다.

[ A=-(x^2-10x) ]

[ A=-{(x-5)^2-25} ]

[ A=-(x-5)^2+25 ]

따라서 (x=5)일 때 넓이가 최대이고, 최대 넓이는 25이다. 이때 세로도 (10-5=5)이므로 정사각형이 된다.

여기서 중요한 점은 계산보다 모델링이다. "둘레가 일정하다"는 조건을 식으로 바꾸고, "넓이를 최대로 한다"는 목표를 이차함수의 최대값 문제로 바꾸었다.

등가속도 운동과 포물선

공을 위로 던지면 처음에는 올라가다가 점점 느려지고, 어느 순간 멈춘 뒤 아래로 떨어진다. 높이를 시간의 함수로 나타내면 보통 이차함수가 된다. 중력 때문에 속도가 일정하게 변하기 때문이다.

예를 들어 어떤 공의 높이 (h)가 시간 (t)초 후에

[ h(t)=-5t^2+20t+1 ]

로 주어진다고 하자. 여기서 (-5t^2)의 계수가 음수이므로 그래프는 아래로 열린다. 따라서 최대 높이는 꼭짓점에서 나온다.

[ h(t)=-5(t^2-4t)+1 ]

[ h(t)=-5{(t-2)^2-4}+1 ]

[ h(t)=-5(t-2)^2+21 ]

따라서 공은 (t=2)초일 때 가장 높이 올라가며, 최대 높이는 21m이다.

공이 땅에 닿는 시각은 (h(t)=0)을 풀어 찾는다.

[ -5t^2+20t+1=0 ]

[ 5t^2-20t-1=0 ]

근의 공식을 쓰면

[ t=frac{20pmsqrt{(-20)^2-4cdot5cdot(-1)}}{10} ]

[ t=frac{20pmsqrt{420}}{10} ]

시간은 음수가 될 수 없으므로 양수인 해만 선택한다. 계산하면 약 (4.05)초 후에 땅에 닿는다.

이처럼 실제 상황에서는 해를 모두 구한 뒤, 문제의 조건에 맞는 값만 답으로 선택해야 한다.

이차함수 단원의 핵심 정리

이차함수와 이차방정식은 따로 공부할 내용이 아니다. 이차방정식 (ax^2+bx+c=0)은 이차함수 (y=ax^2+bx+c)의 x절편을 찾는 문제이다.

정리하면 다음과 같다.

• 일반형 (y=ax^2+bx+c): 계수, y절편, 판별식 계산에 유용하다.

• 표준형 (y=a(x-p)^2+q): 꼭짓점, 축, 최대·최소를 바로 보여 준다.

• 인수분해형 (y=a(x-r_1)(x-r_2)): 실수 범위에서 인수분해될 때 근과 x절편을 바로 보여 준다.

• 완전제곱식 만들기: 표준형으로 바꾸고 근의 공식을 이해하는 핵심 과정이다.

• 판별식 (D=b^2-4ac): 해의 개수와 그래프가 x축과 만나는 방식을 알려 준다.

이차함수를 잘 이해한다는 것은 공식을 많이 외우는 것이 아니다. 식의 형태를 바꾸며 필요한 정보를 꺼내는 것이다. 꼭짓점이 필요하면 표준형으로, 해가 필요하면 인수분해형이나 근의 공식으로, 그래프의 x축과의 관계가 필요하면 판별식으로 본다. 이 관점은 이후 유리함수, 무리함수, 지수함수, 로그함수에서도 계속 사용된다.