일차함수와 연립방정식의 모델링

일차함수는 '일정한 변화'를 담는 가장 단순한 함수

일차함수는 보통 y=ax+b 꼴로 나타낸다. 여기서 a는 기울기, b는 y절편이다. y절편은 그래프가 y축과 만나는 지점의 y값이고, 기울기는 x가 1만큼 증가할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타낸다. 엄밀히 말해 일차함수라고 할 때는 보통 a≠0인 경우를 떠올리지만, 직선을 해석하는 과정에서는 a=0인 가로선도 함께 다루게 된다.

기울기를 단순히 공식으로만 외우면 일차함수를 현실 문제에 쓰기 어렵다. 기울기의 핵심은 단위 변화량이다.

예를 들어 어떤 택시 요금이 기본요금 3,800원에 1km마다 800원씩 늘어난다고 하자. 이동 거리를 x km, 요금을 y원이라고 하면

y=800x+3800

으로 나타낼 수 있다. 여기서 기울기 800은 단순한 숫자가 아니다. 뜻은 "거리 1km가 늘 때 요금이 800원 증가한다"이다. 단위까지 붙이면 800원/km이다. y절편 3800은 x가 0일 때의 요금, 즉 기본요금이다.

이처럼 일차함수는 다음과 같은 상황에 잘 맞는다.

• 매시간 같은 거리만큼 이동한다.

• 한 단위당 같은 비용이 추가된다.

• 일정한 비율로 물이 차거나 빠진다.

• 고정비가 있고, 수량에 따라 비용이나 수익이 일정하게 늘어난다.

일차함수의 그래프가 직선인 까닭도 여기에 있다. x가 같은 간격으로 늘 때 y도 같은 양만큼 변하므로, 점들이 한 방향으로 일정하게 이어진다.

AI 생성 이미지

기울기는 평균 변화율이다

두 점 (x1, y1), (x2, y2)를 지나는 직선의 기울기는

기울기 = (y의 변화량)/(x의 변화량) = (y2-y1)/(x2-x1)

이다. 여기서 중요한 것은 분자와 분모의 의미다.

• y2-y1: 출력값이 얼마나 변했는가

• x2-x1: 입력값이 얼마나 변했는가

• (y2-y1)/(x2-x1): 입력 1만큼에 대한 출력의 변화량

예를 들어 직선이 두 점 (2, 5), (6, 13)을 지난다고 하자. x는 2에서 6으로 4만큼 증가했고, y는 5에서 13으로 8만큼 증가했다.

기울기 = (13-5)/(6-2)=8/4=2

따라서 x가 1 증가할 때 y는 2 증가한다. 이제 식을 y=2x+b로 두고, 점 (2, 5)를 대입하면

5=2×2+b

5=4+b

b=1

따라서 직선의 방정식은

y=2x+1

이다.

여기서 기울기 2는 이 직선 위 어디에서나 같다. x가 2에서 6으로 갈 때도, 10에서 11로 갈 때도 y는 x의 증가량 1마다 2씩 변한다. 그래서 일차함수에서는 평균 변화율이 항상 일정하다. 다음에 배우는 이차함수에서는 구간에 따라 평균 변화율이 달라진다. 이 차이가 직선과 포물선을 가르는 중요한 기준이 된다.

직선의 방정식을 세우는 대표 유형

직선의 방정식을 세우는 문제는 크게 세 가지로 정리할 수 있다.

두 점이 주어진 경우

두 점이 주어지면 먼저 기울기를 구한다. 그다음 y=ax+b에 한 점을 대입해 b를 찾는다.

예를 들어 (1, 4), (5, 12)를 지나는 직선을 구해 보자.

a=(12-4)/(5-1)=8/4=2

따라서 식은 y=2x+b이다. 점 (1, 4)를 대입하면

4=2×1+b

b=2

그러므로 직선의 방정식은

y=2x+2

이다.

단, 두 점의 x좌표가 같으면 x=3처럼 세로선이 된다. 세로선은 하나의 x값에 여러 y값이 대응하므로 y=f(x) 꼴의 함수는 아니다. 그러나 좌표평면 위의 직선으로는 매우 중요하다.

한 점과 기울기가 주어진 경우

직선이 점 (x1, y1)을 지나고 기울기가 a라면, 직선 위의 임의의 점 (x, y)에 대해 기울기가 같아야 한다. 이때 일단 x≠x1인 점을 생각하면

(y-y1)/(x-x1)=a

라고 쓸 수 있다. 양변에 x-x1을 곱하면

y-y1=a(x-x1)

이 식을 점-기울기 형태라고 한다. 한 점과 기울기가 바로 보일 때 유용하다. 처음 식에서는 분모 때문에 x=x1을 따로 조심해야 하지만, 정리된 식 y-y1=a(x-x1)은 주어진 점 (x1, y1)도 자연스럽게 포함한다.

예를 들어 기울기가 -3이고 점 (4, 7)을 지나는 직선은

y-7=-3(x-4)

y-7=-3x+12

y=-3x+19

이다.

평행한 직선과 수직인 직선

두 직선이 평행하면 기울기가 같다. 예를 들어 y=2x+1과 평행한 직선은 기울기가 2이다. 이 직선이 (3, 10)을 지난다면

y-10=2(x-3)

y=2x+4

가 된다. 기울기는 같지만 y절편이 다르므로 두 직선은 만나지 않는다.

두 직선이 서로 수직이면 기울기의 곱이 -1이다. 단, 두 직선이 모두 y=ax+b 꼴로 표현되는 경우에 그렇다. 예를 들어 기울기가 2인 직선에 수직인 직선의 기울기는 -1/2이다. 이는 한 직선이 오른쪽으로 1 갈 때 위로 2 올라간다면, 수직인 직선은 오른쪽으로 2 갈 때 아래로 1 내려가는 관계로 볼 수 있다.

가로선 y=c와 세로선 x=k는 서로 수직이다. 이때 세로선은 기울기를 정의할 수 없으므로, 기울기의 곱이라는 규칙을 그대로 적용하지 않는다.

연립일차방정식은 두 직선의 교점을 찾는 과정이다

연립일차방정식은 두 조건을 동시에 만족하는 값을 찾는 것이다. 그래프에서는 두 직선이 동시에 만족되는 점, 즉 교점을 찾는 문제로 해석된다.

예를 들어

y=2x+1

y=-x+7

을 동시에 만족하는 점을 구해 보자. 두 식의 y값이 같아야 하므로

2x+1=-x+7

3x=6

x=2

이를 첫 번째 식에 대입하면

y=2×2+1=5

따라서 해는 (2, 5)이다. 그래프에서는 두 직선이 점 (2, 5)에서 만난다는 뜻이다.

연립일차방정식의 해는 세 가지 경우로 나뉜다. 일반적인 y=ax+b 꼴의 두 직선을 비교하면 다음처럼 정리할 수 있다.

예를 들어 y=3x+2와 y=3x-5는 기울기가 같고 절편이 다르므로 만나지 않는다. 따라서 두 식을 동시에 만족하는 (x, y)는 없다.

반면 2y=4x+6은 정리하면 y=2x+3이다. 만약 다른 식도 y=2x+3으로 정리된다면 두 식은 같은 직선을 나타낸다. 이때 직선 위의 모든 점이 해가 되므로 해가 무수히 많다.

실전 모델링: 문장을 직선으로 바꾸기

일차함수 모델링은 문장 문제를 식과 그래프로 바꾸는 과정이다. 다음 순서로 접근하면 실수가 줄어든다.

1. 무엇을 x로 둘지 정한다.

2. 무엇을 y로 둘지 정한다.

3. 고정된 값과 일정하게 변하는 값을 구분한다.

4. 식을 세운다.

5. 방정식이나 연립방정식으로 필요한 값을 찾는다.

6. 답이 실제 상황에 맞는지 확인한다.

속력 문제

A는 출발점에서 시속 60km로 이동하고, B는 A보다 30km 앞에서 시속 40km로 이동한다고 하자. 출발 후 t시간이 지났을 때 출발점으로부터의 거리를 y km라고 하면

A의 위치: y=60t

B의 위치: y=30+40t

두 사람이 만나는 순간에는 위치가 같다.

60t=30+40t

20t=30

t=1.5

따라서 1.5시간 뒤에 만난다. 이때 위치는

y=60×1.5=90

이므로 출발점에서 90km 떨어진 곳이다. 그래프에서는 두 직선이 만나는 교점이 (1.5, 90)이다.

요금제 비교

어떤 통신 요금제 A는 기본요금 12,000원에 1분당 50원이 추가되고, 요금제 B는 기본요금 7,000원에 1분당 80원이 추가된다고 하자. 통화 시간을 m분, 요금을 y원이라고 하면

A: y=12000+50m

B: y=7000+80m

두 요금이 같아지는 지점을 찾는다.

12000+50m=7000+80m

5000=30m

m=5000/30=166.666...

약 166.7분에서 두 요금이 같다. 차이를 더 정확히 보면

A-B=(12000+50m)-(7000+80m)=5000-30m

이다. m<166.7이면 A-B가 양수이므로 A가 더 비싸고 B가 유리하다. m>166.7이면 A가 더 싸다. 현실에서는 통화 시간이 보통 정수 분으로 계산되므로, 167분 이상부터 A가 더 유리하다고 해석할 수 있다.

혼합 문제

10% 소금물과 30% 소금물을 섞어 18% 소금물 200g을 만들려고 한다. 10% 소금물의 양을 x g, 30% 소금물의 양을 y g이라고 하자.

전체 양 조건은

x+y=200

소금의 양 조건은

0.10x+0.30y=0.18×200

0.10x+0.30y=36

이다. 첫 번째 식에서 x=200-y이므로 두 번째 식에 대입하면

0.10(200-y)+0.30y=36

20-0.10y+0.30y=36

0.20y=16

y=80

따라서 x=200-80=120이다. 10% 소금물 120g과 30% 소금물 80g을 섞으면 된다.

혼합 문제에서는 전체 양과 성분의 양을 나누어 보는 것이 중요하다. 단순히 10, 30, 18이라는 숫자만 보고 계산하면 식을 잘못 세우기 쉽다.

손익 문제

한 제품을 1개 팔 때 판매 가격이 9,000원이고, 제품 1개를 만드는 데 드는 변동비가 5,000원이라고 하자. 여기에 고정비 200,000원이 든다. 판매량을 q개라고 하면 매출 R과 비용 C는

R=9000q

C=5000q+200000

이다. 이익도 손해도 아닌 지점을 손익분기점이라고 한다. 이때 매출과 비용이 같다.

9000q=5000q+200000

4000q=200000

q=50

따라서 50개를 팔면 손익분기점에 도달한다. 이익 P를 직접 식으로 쓰면

P=R-C=9000q-(5000q+200000)

P=4000q-200000

여기서 기울기 4000은 제품을 1개 더 팔 때 이익이 4,000원씩 증가한다는 뜻이다. y절편 -200000은 아무것도 팔지 않았을 때 고정비만큼 손해가 난다는 뜻이다.

일차함수의 힘은 단순함에 있다

일차함수는 복잡한 현실을 완벽하게 설명하지는 못한다. 그러나 변화가 일정하다고 볼 수 있는 상황에서는 매우 강력하다. 기울기는 단위당 변화량을 말해 주고, 절편은 시작값을 알려 준다. 두 일차함수를 함께 보면 두 조건이 균형을 이루는 지점, 즉 교점을 찾을 수 있다.

중학교에서는 일차함수의 그래프를 그리고 연립방정식을 푸는 데 초점이 있었다면, 고등학교 수학에서는 그 식이 어떤 상황을 모델링하는지까지 보아야 한다. 직선의 기울기와 절편을 해석하는 힘은 이차함수, 미분, 경제·과학 모델링으로 이어진다. 특히 다음 장의 이차함수에서는 변화율이 일정하지 않을 때 그래프가 어떻게 달라지는지를 살펴보게 된다.