함수와 그래프의 기본기

함수는 관계 중에서도 특별한 관계다

함수는 고등학교 수학에서 가장 자주 등장하는 말이다. 하지만 처음부터 어렵게 생각할 필요는 없다. 함수는 간단히 말해 입력을 넣으면 출력이 하나로 정해지는 관계이다.

예를 들어 어떤 기계에 숫자 x를 넣으면 그 두 배인 y가 나온다고 하자. x=1을 넣으면 y=2, x=3을 넣으면 y=6이 나온다. 이 관계는 식으로 y=2x라고 쓸 수 있다. 입력값이 정해지면 출력값도 하나로 정해지므로 함수이다.

모든 관계가 함수는 아니다. 관계는 두 대상 사이의 연결을 넓게 부르는 말이다. 예를 들어 순서쌍의 모임을 보자.

• A={(1,2), (2,4), (3,6)}

• B={(1,2), (1,5), (2,4)}

A에서는 첫 번째 수, 즉 입력값 1에 대해 출력값이 2 하나뿐이다. 2에 대해서는 4, 3에 대해서는 6이 정해진다. 따라서 A는 함수로 볼 수 있다.

하지만 B에서는 입력값 1에 대해 출력값이 2도 되고 5도 된다. 같은 입력이 서로 다른 출력을 만들면 함수가 아니다. 함수의 핵심 판별 기준은 바로 이것이다.

하나의 x에 하나의 y가 대응하면 함수이다.

여기서 조심할 점이 하나 있다. 서로 다른 x가 같은 y에 대응하는 것은 괜찮다. 예를 들어 x=1일 때도 y=1이고, x=-1일 때도 y=1인 관계는 함수일 수 있다. 문제가 되는 것은 하나의 x가 여러 y로 갈라지는 경우이다.

이 기준은 표에서도 똑같이 적용된다.

이 표는 각 x값에 y값이 하나씩 정해져 있으므로 함수이다. 반대로 같은 x값이 두 번 나오고 그때의 y값이 다르면 함수가 아니다.

그래프에서도 같은 기준을 사용할 수 있다. 좌표평면에서 어떤 세로선을 그었을 때 그래프와 두 번 이상 만나면, 그 x값 하나에 y값이 여러 개 있다는 뜻이다. 그러면 함수가 아니다. 원 x^2+y^2=1 전체는 예를 들어 x=0일 때 y=1과 y=-1이 모두 가능하므로, y를 x의 함수로 보면 함수가 아니다. 반면 직선 y=2x+1은 각 x값마다 y값이 하나로 정해지므로 함수이다.

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함수는 여러 모습으로 표현된다

함수는 한 가지 모습으로만 나타나지 않는다. 같은 함수도 순서쌍, 표, 식, 그래프로 표현할 수 있다.

예를 들어 y=x^2을 생각해 보자.

이 표를 순서쌍으로 쓰면 {(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4)}이다. 식으로 쓰면 y=x^2이고, 좌표평면에 점들을 찍어 부드럽게 이어 보면 U자 모양의 그래프가 된다.

이 네 표현은 서로 다른 언어처럼 보이지만 같은 관계를 말한다.

• 순서쌍은 입력과 출력의 짝을 직접 보여 준다.

• 표는 몇 개의 값을 정리해 변화의 흐름을 보게 한다.

• 식은 모든 입력에 대한 규칙을 짧게 나타낸다.

• 그래프는 변화의 전체 모양을 눈으로 보여 준다.

문제를 풀 때 한 표현만 고집하면 어려워질 수 있다. 식으로 계산이 복잡하면 표를 만들어 볼 수 있고, 부등식의 해를 찾기 어려우면 그래프에서 어느 구간이 위에 있는지 확인할 수 있다. 고등학교 수학에서 함수가 중요한 이유는 이처럼 식, 조건, 그림을 연결해 주기 때문이다.

정의역, 공역, 치역은 제한 조건을 말한다

함수를 배울 때 자주 헷갈리는 용어가 정의역, 공역, 치역이다. 세 단어를 일상적인 말로 바꾸면 이해하기 쉽다.

• 정의역: 입력으로 넣을 수 있는 값들의 모임

• 공역: 출력이 속하기로 약속한 값들의 모임

• 치역: 실제로 나오는 출력값들의 모임

예를 들어 f(x)=x^2에서 정의역을 실수 전체로 잡는다고 하자. 그러면 x에는 -2, 0, 3.5 같은 모든 실수를 넣을 수 있다. 출력값은 항상 0 이상이다. 따라서 공역을 실수 전체로 약속할 수는 있지만, 실제로 나오는 값인 치역은 0 이상의 실수이다.

여기서 중요한 것은 공역과 치역이 다를 수 있다는 점이다. 공역은 가능한 출력의 큰 범위로 약속한 것이고, 치역은 함수가 실제로 만들어 내는 값이다. 시험 문제에서 치역을 구하라는 말이 나오면 그래프의 가장 낮은 값, 가장 높은 값, 또는 출력이 가능한 범위를 찾아야 한다.

정의역은 실제 문제에서 특히 중요하다. 식만 보면 모든 수를 넣을 수 있을 것 같아도 상황이 제한을 만든다.

예를 들어 물통에 물이 40L 들어 있고, 1분에 2.5L씩 빠진다고 하자. t분 뒤 남은 물의 양을 V(t)라고 하면

V(t)=40-2.5t

이다. 식만 보면 t에 어떤 실수든 넣을 수 있을 것 같다. 하지만 시간은 음수가 될 수 없고, 물이 모두 빠진 뒤에는 이 식을 그대로 사용할 수 없다.

물이 모두 빠지는 시각은

40-2.5t=0

2.5t=40

t=16

이다. 따라서 이 상황에서 정의역은 0≤t≤16이다. 남은 물의 양은 40L에서 시작해 0L까지 줄어드므로 치역은 0≤V(t)≤40이다.

이처럼 정의역은 단순한 형식이 아니라 문제의 조건이다. 분모가 0이 되면 안 되는 식, 루트 안이 음수가 되면 안 되는 식, 사람 수나 물건 수처럼 자연수만 가능한 상황에서는 정의역을 먼저 확인해야 한다. 정의역을 무시하면 계산은 맞아 보여도 실제 문제에 맞지 않는 답이 나올 수 있다.

그래프 변환은 식의 변화와 연결된다

그래프는 함수를 눈으로 보는 방법이다. 식이 조금 바뀌면 그래프도 일정한 규칙에 따라 움직인다. 이 규칙을 알면 새로운 함수를 처음부터 다시 그리지 않아도 모양을 예측할 수 있다.

기본 함수 y=f(x)가 있다고 하자.

y=f(x)+k는 그래프를 위아래로 움직인다. k가 양수이면 위로 k만큼, 음수이면 아래로 |k|만큼 이동한다. 출력값 전체에 k를 더하기 때문이다.

예를 들어 y=x^2+3은 y=x^2의 모든 y값에 3을 더한 것이다. 따라서 그래프 전체가 위로 3만큼 올라간다.

a>0일 때 y=f(x-a)는 그래프를 오른쪽으로 a만큼 이동한다. 겉으로는 식 안에 -a가 있으므로 왼쪽으로 갈 것 같지만 실제로는 반대이다. 왜냐하면 예전의 입력값이 새 식에서는 x-a 자리에 들어가야 같은 출력이 나오기 때문이다. 예를 들어 y=(x-2)^2은 y=x^2을 오른쪽으로 2만큼 옮긴 그래프이다.

반대로 a>0일 때 y=f(x+a)는 그래프를 왼쪽으로 a만큼 이동한다.

대칭이동도 자주 쓰인다.

• y=-f(x)는 x축에 대한 대칭이다.

• y=f(-x)는 y축에 대한 대칭이다.

y=-x^2은 y=x^2의 y값에 모두 -1을 곱한 것이므로 위로 열린 포물선이 아래로 열린다. x축을 기준으로 뒤집힌 것이다.

확대와 축소는 계수와 관련된다. y=2f(x)는 y값을 2배로 만들므로 그래프가 세로 방향으로 늘어난다. y=(1/2)f(x)는 y값이 절반이 되어 세로 방향으로 납작해진다. 이차함수에서 y=2x^2은 y=x^2보다 더 좁고 가파르게 보인다.

이 변환들은 나중에 이차함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수에서 계속 반복된다. 중요한 것은 식을 외우는 것이 아니라, 식의 어느 부분이 입력을 바꾸고 어느 부분이 출력을 바꾸는지 구분하는 것이다.

증가, 감소, 최대, 최소는 그래프 해석의 기본 도구다

그래프를 볼 때 가장 먼저 확인할 것은 변화 방향이다. x가 커질 때 y도 커지면 함수가 증가한다고 한다. 반대로 x가 커질 때 y가 작아지면 감소한다고 한다.

예를 들어 y=x^2은 x=0을 기준으로 왼쪽에서는 감소하고 오른쪽에서는 증가한다. x가 -3에서 -2, -1, 0으로 커질 때 y값은 9, 4, 1, 0으로 작아진다. 따라서 x≤0 구간에서는 감소한다. x가 0, 1, 2, 3으로 커질 때 y값은 0, 1, 4, 9로 커지므로 x≥0 구간에서는 증가한다.

최대와 최소는 함수값이 가장 크거나 작은 지점을 말한다. y=x^2은 가장 작은 값이 0이고, 그때 x=0이다. 따라서 최솟값은 0이다. 하지만 위로 끝없이 커지므로 최댓값은 없다.

정의역이 제한되면 최대와 최소가 달라질 수 있다. 예를 들어 y=x^2의 정의역을 -1≤x≤2로 제한하면 가능한 x값은 그 구간 안에만 있다. 이때 최솟값은 여전히 x=0에서 0이고, 최댓값은 x=2에서 4이다. 그래프의 모양뿐 아니라 정의역을 함께 봐야 하는 이유가 여기에 있다.

교점도 중요한 정보이다. 두 그래프의 교점은 두 함수값이 같아지는 지점이다. 즉 f(x)=g(x)를 만족하는 점을 뜻한다. 그래서 연립방정식의 해는 그래프에서 교점으로 해석할 수 있다.

특히 그래프가 x축과 만나는 점은 y=0인 지점이다. 함수 f(x)에 대해 x축과의 교점은 f(x)=0의 해와 같다.

예를 들어

f(x)=x^2-4

라고 하자. x축과 만나는 점을 찾으려면

x^2-4=0

(x-2)(x+2)=0

이므로

x=2 또는 x=-2

이다. 따라서 그래프는 x축과 (-2,0), (2,0)에서 만난다. 이 결과는 앞에서 배운 인수분해와 바로 연결된다. 인수분해는 방정식의 해를 찾는 방법이면서 동시에 그래프의 x절편을 찾는 방법이다.

부등식도 그래프로 해석할 수 있다. x^2-4>0은 그래프가 x축보다 위에 있는 구간을 찾는 문제이다. 포물선은 x=-2와 x=2에서 x축을 만나고, 그 바깥쪽에서 x축 위에 있다. 따라서 해는 x<-2 또는 x>2이다.

이처럼 그래프는 계산 결과를 눈으로 확인하게 해 준다. 방정식은 교점, 부등식은 위아래 관계, 최대와 최소는 가장 높은 곳과 낮은 곳으로 해석된다.

실전 문제는 함수의 언어로 정리한다

함수 문제를 풀 때는 다음 순서가 도움이 된다.

1. 무엇을 입력으로 둘지 정한다.

2. 무엇을 출력으로 볼지 정한다.

3. 정의역의 제한 조건을 확인한다.

4. 식, 표, 그래프 중 적절한 표현을 선택한다.

5. 질문을 방정식, 부등식, 최대·최소 문제로 바꾼다.

앞의 물통 문제를 다시 보자.

V(t)=40-2.5t, 0≤t≤16

남은 물이 15L가 되는 때를 묻는다면 방정식이다.

40-2.5t=15

-2.5t=-25

t=10

따라서 10분 뒤이다.

남은 물이 10L 이하가 되는 시간을 묻는다면 부등식이다.

40-2.5t≤10

-2.5t≤-30

음수로 나누면 부등호 방향이 바뀌므로

t≥12

이다. 다만 정의역이 0≤t≤16이므로 실제 답은 12≤t≤16이다.

그래프에서는 이 함수가 오른쪽으로 갈수록 내려가는 직선으로 보인다. 처음에는 40에서 시작하고, 16분 뒤 0에 도달한다. 이 그래프 하나로 시작값, 감소 속도, 물이 다 빠지는 시각, 특정 양 이하가 되는 구간을 모두 읽을 수 있다.

함수를 이해한다는 것은 공식을 많이 외운다는 뜻이 아니다. 입력과 출력의 관계를 보고, 가능한 값의 범위를 확인하고, 그래프에서 변화와 교점을 해석하는 것이다. 이 관점이 잡히면 일차함수와 연립방정식, 이차함수와 이차방정식, 나중의 미분과 적분까지 하나의 흐름으로 이어진다. 함수는 고등학교 수학 전체를 연결하는 중심 언어이다.