다항식과 인수분해의 구조

다항식은 정보를 담은 식이다

다항식은 문자와 수를 더하고 곱해서 만든 식이다. 고등학교에서 주로 다루는 한 문자 다항식은 보통 x, x^2, x^3처럼 문자의 거듭제곱에 수를 곱한 항들을 더한 형태로 나타난다. 예를 들어 3x^2-2x+5는 다항식이다. 여기서 3x^2, -2x, 5처럼 더해진 각각의 부분을 항이라고 한다. x^2의 계수는 3, x의 계수는 -2, 상수항은 5이다.

다항식을 볼 때는 먼저 두 가지를 확인한다.

• 차수: 문자가 몇 번 곱해졌는가를 나타낸다. 3x^2-2x+5의 차수는 2이다.

• 계수: 각 항에서 문자에 곱해진 수이다. 3x^2의 계수는 3, -2x의 계수는 -2이다.

차수와 계수는 식의 모양을 정리하는 기준이다. x^2항, x항, 상수항을 구분하면 식이 훨씬 읽기 쉬워진다. 이후 이차함수, 다항함수, 미분을 배울 때도 식의 차수는 그래프의 큰 모양을 결정하는 중요한 단서가 된다.

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동류항 정리와 다항식의 계산

동류항은 문자 부분이 같은 항이다. 2x^2와 -5x^2는 동류항이지만, 2x^2와 2x는 동류항이 아니다. 동류항끼리는 계수만 더하거나 뺄 수 있다.

예를 들어 보자.

(3x^2-2x+5)+(x^2+4x-7) = 3x^2+x^2-2x+4x+5-7 = 4x^2+2x-2

여기서 x^2항은 x^2항끼리, x항은 x항끼리, 상수항은 상수항끼리 모았다. 반대로 뺄셈에서는 괄호 앞의 마이너스가 모든 항에 영향을 준다.

(3x^2-2x+5)-(x^2+4x-7) = 3x^2-2x+5-x^2-4x+7 = 2x^2-6x+12

다항식의 곱셈은 한 항씩 모두 곱한 뒤 동류항을 정리하는 과정이다.

(2x-3)(x^2+x+4) = 2x(x^2+x+4)-3(x^2+x+4) = 2x^3+2x^2+8x-3x^2-3x-12 = 2x^3-x^2+5x-12

이 계산에서 중요한 것은 "모든 항을 빠짐없이 곱한다"는 점이다. 다항식의 곱셈은 중학교에서 배운 분배법칙의 확장이다. 복잡해 보여도 원리는 같다.

곱셈 공식은 전개와 인수분해의 다리다

곱셈 공식은 자주 나오는 곱셈을 빠르게 처리하기 위해 정리한 규칙이다. 하지만 공식만 따로 외우면 쉽게 헷갈린다. 공식은 전개 과정을 압축한 것이라고 이해해야 한다.

대표적인 곱셈 공식은 다음과 같다.

• (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

• (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2

• (a+b)(a-b) = a^2-b^2

• (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

• (a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

예를 들어 (x+4)^2는 다음처럼 전개된다.

(x+4)^2 = (x+4)(x+4) = x^2+4x+4x+16 = x^2+8x+16

여기서 가운데 항 8x는 4x와 4x가 합쳐진 것이다. 그래서 완전제곱식에서는 가운데 항이 항상 2ab 꼴로 나타난다.

반대로 x^2+8x+16을 보면, x^2은 x의 제곱이고 16은 4의 제곱이며 가운데 항 8x는 2·x·4이다. 따라서

x^2+8x+16 = (x+4)^2

로 인수분해할 수 있다. 즉 전개는 곱을 합으로 펼치는 과정이고, 인수분해는 합을 곱의 구조로 되돌리는 과정이다.

합차공식도 같은 방식으로 연결된다.

(x+5)(x-5) = x^2-25

따라서 x^2-25는

x^2-25 = (x+5)(x-5)

로 인수분해된다. 이 식은 "제곱의 차"를 보면 두 수의 합과 차의 곱을 떠올리라는 뜻이다.

세제곱에서도 비슷한 구조가 있다.

• a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)

• a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)

예를 들어 x^3-8은 x^3-2^3이므로

x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)

이다. 이 공식은 고등학교에서 다항식의 인수분해, 나머지정리, 방정식 풀이에 자주 연결된다.

인수분해는 식의 숨은 조건을 드러낸다

인수분해는 단순히 답의 모양을 바꾸는 기술이 아니다. 식이 어떤 값에서 0이 되는지, 어떤 구조로 만들어졌는지를 보여 주는 방법이다.

예를 들어

x^2+5x+6

을 생각해 보자. 두 수를 곱해서 6, 더해서 5가 되는 수는 2와 3이다. 따라서

x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)

이다. 이 식이 0이 되는 x를 찾으려면

(x+2)(x+3)=0

을 풀면 된다. 두 수의 곱이 0이 되려면 둘 중 하나가 0이어야 하므로

x+2=0 또는 x+3=0

이다. 따라서 x=-2 또는 x=-3이다.

여기서 중요한 연결이 나온다. 방정식 x^2+5x+6=0의 해는 식이 0이 되는 값이다. 함수 y=x^2+5x+6의 그래프에서는 y값이 0인 점, 즉 x축과 만나는 점의 x좌표이다. 그래서 인수분해는 방정식의 해뿐 아니라 그래프의 x절편을 찾는 도구가 된다.

예를 하나 더 보자.

x^2-6x+9 = (x-3)^2

이 식은 x=3에서 0이 된다. 그런데 같은 인수 x-3이 두 번 곱해져 있다. 그래프 y=(x-3)^2은 x=3에서 x축을 지나가기보다 x축에 닿고 다시 올라간다. 이처럼 인수의 모양은 그래프의 움직임까지 암시한다. 자세한 그래프 해석은 이차함수 단원에서 더 확장된다.

다항식의 나눗셈과 나머지정리

수의 나눗셈에서 17을 5로 나누면

17 = 5·3+2

라고 쓸 수 있다. 다항식도 같은 방식으로 나눗셈을 할 수 있다.

다항식 P(x)를 0이 아닌 다항식 D(x)로 나누면

P(x) = D(x)Q(x)+R(x)

로 나타낼 수 있다. 여기서 Q(x)는 몫, R(x)는 나머지이다. 나머지의 차수는 나누는 식 D(x)의 차수보다 낮아야 한다. 나머지가 0일 때는 나누어떨어진다고 말한다.

예를 들어 P(x)=2x^3+3x^2-5x+4를 x+2로 나누어 보자.

2x^3+3x^2-5x+4 = (x+2)(2x^2-x-3)+10

따라서 몫은 2x^2-x-3, 나머지는 10이다.

이때 나머지를 더 빠르게 구하는 방법이 있다. x+2는 x-(-2)와 같다. P(x)를 x-a로 나눌 때의 나머지는 P(a)이다. 이것을 나머지정리라고 한다.

위 식에서는 a=-2이므로

P(-2)=2(-2)^3+3(-2)^2-5(-2)+4 = -16+12+10+4 = 10

나머지가 10으로 같다. 나머지정리는 다항식의 값을 직접 대입해 구하는 것과 나눗셈의 나머지가 연결되어 있음을 보여 준다.

특히 P(a)=0이면 P(x)는 x-a로 나누어떨어진다. 이때 x-a를 P(x)의 인수라고 한다. 예를 들어

P(x)=x^3-4x^2+x+6

에서 P(2)를 계산하면

P(2)=8-16+2+6=0

이다. 따라서 x-2는 P(x)의 인수이다. 실제로 나누어 보면

x^3-4x^2+x+6 = (x-2)(x^2-2x-3)

이고, 다시

x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)

이므로

x^3-4x^2+x+6 = (x-2)(x-3)(x+1)

이다. 이 식이 0이 되는 값은 x=2, 3, -1이다.

대표 유형으로 구조 읽기

다음 식을 정리해 보자.

(2x-1)(x+3)-(x^2-4x+5)

먼저 곱셈을 전개한다.

(2x-1)(x+3) = 2x^2+6x-x-3 = 2x^2+5x-3

이제 뒤의 괄호를 뺀다.

2x^2+5x-3-(x^2-4x+5) = 2x^2+5x-3-x^2+4x-5 = x^2+9x-8

이 문제는 어려운 공식보다 기본 원칙이 중요하다. 첫째, 모든 항을 빠짐없이 곱한다. 둘째, 빼는 괄호는 부호가 모두 바뀐다. 셋째, 동류항끼리만 정리한다.

이번에는 인수분해를 보자.

4x^2-25

4x^2은 (2x)^2이고 25는 5^2이다. 두 제곱의 차이므로

4x^2-25 = (2x+5)(2x-5)

이다.

또

x^2-10x+25

는 x^2, 25, -10x의 관계를 보면 완전제곱식이다.

x^2-10x+25 = (x-5)^2

인수분해를 할 때는 먼저 공통인수가 있는지 확인하고, 그다음 완전제곱식, 합차공식, 이차식의 곱 구조를 살피면 실수가 줄어든다.

실전 적용: 조건을 식으로 만들고 인수분해하기

가로가 x+5, 세로가 x+2인 직사각형의 넓이가 70이라고 하자. x의 값을 구해 보자.

넓이는 가로와 세로의 곱이므로

(x+5)(x+2)=70

이다. 먼저 전개한다.

x^2+7x+10=70

모든 항을 한쪽으로 모으면

x^2+7x-60=0

이제 인수분해한다. 곱해서 -60, 더해서 7이 되는 두 수는 12와 -5이다.

x^2+7x-60 = (x+12)(x-5)

따라서

(x+12)(x-5)=0

이고

x=-12 또는 x=5

이다. 그런데 직사각형의 가로 x+5와 세로 x+2는 길이이므로 양수여야 한다. x=-12를 넣으면 가로는 -7, 세로는 -10이 되어 실제 상황에 맞지 않는다. 따라서 x=5이다.

이 문제는 방정식, 인수분해, 조건 확인이 함께 쓰인 예이다. 계산으로 나온 값이 모두 답이 되는 것은 아니다. 이전 장에서 다룬 것처럼 해는 원래 조건을 만족해야 한다.

다항식 단원의 핵심 정리

다항식 계산의 기본은 동류항 정리이다. 덧셈과 뺄셈에서는 같은 문자 부분을 가진 항끼리 계수를 정리하고, 곱셈에서는 분배법칙으로 모든 항을 곱한 뒤 다시 동류항을 모은다.

곱셈 공식은 전개를 빠르게 해 주는 도구이고, 인수분해는 그 과정을 거꾸로 읽는 방법이다. 완전제곱식, 합차공식, 세제곱 공식은 각각 식 안에 숨어 있는 곱의 구조를 보여 준다.

다항식의 나눗셈은 P(x)=D(x)Q(x)+R(x)의 형태로 정리된다. 특히 x-a로 나눌 때의 나머지가 P(a)라는 나머지정리는 계산을 줄여 주는 동시에, 인수와 근의 관계를 설명한다.

인수분해의 가장 큰 의미는 식이 0이 되는 값을 찾기 쉽게 만든다는 데 있다. 이 값은 방정식의 해이자 함수 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표이다. 그래서 다항식과 인수분해는 이후 이차함수, 고차방정식, 그래프 해석으로 이어지는 핵심 도구가 된다.