방정식과 부등식으로 조건 해석하기

조건을 식으로 번역한다는 것

방정식과 부등식은 문제 속 조건을 수학의 언어로 바꾸는 도구다. 방정식은 두 양이 같다는 조건을 나타내고, 부등식은 어느 한쪽이 더 크거나 작다는 조건을 나타낸다. 그래서 방정식의 해는 '같아지게 만드는 값'이고, 부등식의 해는 '조건을 만족하는 값의 범위'다.

문장 문제를 풀 때 가장 먼저 할 일은 계산이 아니다. 무엇을 미지수로 둘지 정하는 일이다. 미지수는 아직 모르는 수를 임시로 부르는 이름이다. 보통 구하려는 값을 x로 두지만, 문제에 따라 더 작은 양이나 기준이 되는 양을 x로 두면 식이 간단해진다.

예를 들어 보자.

어떤 수의 2배보다 3 큰 수와 그 어떤 수를 더했더니 24가 되었다. 어떤 수를 구하여라.

어떤 수를 x라 두면, '2배보다 3 큰 수'는 2x + 3이다. 두 수의 합이 24이므로

x + (2x + 3) = 24

이다. 이제 식을 정리한다.

3x + 3 = 24 3x = 21 x = 7

답은 7이다. 검산하면 7의 2배보다 3 큰 수는 17이고, 7 + 17 = 24이므로 조건을 만족한다.

이 과정은 간단하지만 중요하다. 문장을 식으로 바꾸는 순서는 다음과 같다.

1. 무엇을 구하는지 확인한다.

2. 미지수를 정한다.

3. 문장 속 관계를 식으로 옮긴다.

4. 식을 풀고, 원래 조건에 맞는지 확인한다.

고등학교 수학에서는 계산보다 이 번역 과정이 더 중요해지는 경우가 많다. 식을 세우지 못하면 아무리 계산을 잘해도 문제를 시작할 수 없기 때문이다.

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일차방정식, 분수방정식, 절댓값 방정식

일차방정식은 x의 차수가 1인 방정식이다. 기본 원리는 양변에 같은 계산을 해도 등식의 균형은 유지된다는 것이다. 예를 들어 4x - 5 = 11이라면 양변에 5를 더해 4x = 16, 다시 양변을 4로 나누어 x = 4를 얻는다.

분수방정식은 미지수가 분모에 들어 있는 방정식이다. 이때는 계산을 시작하기 전에 분모가 0이 되지 않는 조건을 먼저 확인해야 한다.

예를 들어

1/(x - 2) + 1/3 = 1

을 풀어 보자. 먼저 x - 2가 분모에 있으므로 x ≠ 2이다. 이제 양변에 공통분모 3(x - 2)를 곱한다.

3 + (x - 2) = 3(x - 2)

x + 1 = 3x - 6

7 = 2x

x = 7/2

처음에 확인한 조건 x ≠ 2를 만족하므로 해는 x = 7/2이다.

절댓값 방정식은 '거리'로 이해하면 쉽다. |x - 3| = 5는 수직선 위에서 x가 3으로부터 5만큼 떨어져 있다는 뜻이다. 따라서 x는 3보다 5 큰 8일 수도 있고, 3보다 5 작은 -2일 수도 있다.

즉,

|x - 3| = 5

이면

x - 3 = 5 또는 x - 3 = -5

이므로

x = 8 또는 x = -2

이다.

절댓값은 항상 0 이상이다. 그래서 |2x - 1| = -3 같은 방정식은 해가 없다. 어떤 수의 절댓값도 음수가 될 수 없기 때문이다. 이처럼 방정식을 풀 때는 식의 모양만 보지 말고, 그 식이 나타내는 의미를 함께 보아야 한다.

부등식의 해는 범위로 나타낸다

부등식은 하나의 값이 아니라 여러 값을 답으로 가질 수 있다. 예를 들어

2x - 5 < 7

을 풀면

2x < 12 x < 6

이다. 여기서 해는 x = 5 하나가 아니다. 6보다 작은 모든 수가 해다. 그래서 부등식의 해는 수직선이나 구간으로 나타내면 이해하기 쉽다.

x < 6은 수직선에서 6보다 왼쪽 전체를 뜻한다. 6은 포함되지 않으므로 빈 동그라미로 표시한다. 구간으로는 (-∞, 6)이라고 쓴다. 반대로 x ≤ 6이라면 6도 포함하므로 닫힌 동그라미를 쓰고, 구간으로는 (-∞, 6]이라고 쓴다.

부등식을 풀 때 특히 조심할 점은 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다는 것이다. 이유는 수직선에서 생각하면 분명하다. 2 < 5이지만 양쪽에 -1을 곱하면 -2와 -5가 된다. 수직선에서 -2는 -5보다 오른쪽에 있으므로 -2 > -5이다. 음수를 곱하면 0을 기준으로 위치가 뒤집히기 때문에 크기 관계도 뒤집힌다.

예를 들어

-3x + 2 ≤ 11

을 풀어 보자.

-3x ≤ 9

여기서 양변을 -3으로 나누면 부등호 방향이 바뀐다.

x ≥ -3

따라서 해는 [-3, ∞)이다.

연속된 부등식도 자주 나온다.

1 ≤ 2x + 3 < 9

에서 가운데 식을 x만 남기도록 정리한다. 세 부분에 모두 3을 빼면

-2 ≤ 2x < 6

이고, 세 부분을 모두 2로 나누면

-1 ≤ x < 3

이다. 구간으로는 [-1, 3)이다. 왼쪽 끝 -1은 포함되고, 오른쪽 끝 3은 포함되지 않는다.

부등식의 답을 쓸 때는 끝값이 포함되는지 반드시 확인해야 한다. 특히 실제 상황에서는 답의 범위가 자연수나 정수로 제한될 수 있다. 사람 수, 물건 개수, 경기 횟수는 음수나 소수가 될 수 없다.

연립방정식은 조건을 동시에 만족시키는 값 찾기

연립방정식은 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족하는 값을 찾는 문제다. 같은 미지수에 대해 여러 조건이 주어질 때 사용한다.

예를 들어 어떤 두 수의 합이 14이고, 첫 번째 수의 2배와 두 번째 수의 합이 22라고 하자. 첫 번째 수를 x, 두 번째 수를 y라 두면

x + y = 14 2x + y = 22

이다.

대입법은 한 식에서 한 문자를 다른 문자로 나타낸 뒤, 다른 식에 넣는 방법이다. 첫 번째 식에서 y = 14 - x이다. 이것을 두 번째 식에 대입하면

2x + (14 - x) = 22

x + 14 = 22

x = 8

따라서 y = 14 - 8 = 6이다.

가감법은 두 식을 더하거나 빼서 한 문자를 없애는 방법이다.

2x + y = 22 x + y = 14

두 식을 빼면

x = 8

이고, 다시 x + y = 14에 넣어 y = 6을 얻는다.

두 방법은 서로 다른 계산 기술이지만 목표는 같다. 조건을 동시에 만족하는 한 쌍의 값을 찾는 것이다.

그래프로 보면 더 직관적이다. x + y = 14와 2x + y = 22는 각각 직선이다. 두 직선의 교점이 바로 두 방정식을 동시에 만족하는 점이다. 이 문제에서 교점은 (8, 6)이다. 만약 두 직선이 평행하면 교점이 없으므로 해가 없다. 두 직선이 완전히 겹치면 교점이 무한히 많으므로 해가 무수히 많다. 이 관점은 뒤에서 함수와 그래프를 배울 때 다시 중요해진다.

검산은 마지막 장식이 아니라 해의 일부다

방정식을 풀어 나온 값이 항상 원래 문제의 답이 되는 것은 아니다. 식을 변형하는 과정에서 원래 식이 허용하지 않는 값이 끼어들 수 있기 때문이다. 이런 값을 무연근이라고 한다. 무연근은 계산 과정에서는 해처럼 보이지만, 원래 조건을 만족하지 않는 값이다.

분수방정식에서는 분모가 0이 되는 값이 대표적인 위험이다.

(x + 1)/(x - 2) = 3/(x - 2)

을 보자. 양변에 x - 2를 곱하면

x + 1 = 3

이므로 x = 2가 나온다. 그러나 처음 식에서 x = 2를 넣으면 분모가 0이 된다. 0으로 나누는 식은 정의되지 않으므로 x = 2는 해가 아니다. 따라서 이 방정식은 해가 없다.

양변을 제곱할 때도 무연근이 생길 수 있다.

√(x + 1) = x - 1

을 풀어 보자. 오른쪽 x - 1은 왼쪽의 제곱근 값과 같아야 하므로 0 이상이어야 한다. 따라서 x ≥ 1이다. 양변을 제곱하면

x + 1 = (x - 1)^2

x + 1 = x^2 - 2x + 1

0 = x^2 - 3x

0 = x(x - 3)

따라서 x = 0 또는 x = 3이 나온다. 하지만 x = 0은 처음 조건 x ≥ 1을 만족하지 않는다. 원래 식에 넣어도 왼쪽은 √1 = 1, 오른쪽은 -1이므로 같지 않다. 그래서 x = 0은 무연근이고, 실제 해는 x = 3뿐이다.

검산은 단순히 답을 확인하는 절차가 아니다. 원래 문제의 조건으로 돌아가는 과정이다. 특히 분모, 제곱근, 절댓값, 실제 상황의 단위와 범위가 있는 문제에서는 반드시 검산해야 한다.

실전 적용: 조건을 끝까지 해석하기

다음 문제를 생각해 보자.

한 달 통신 요금이 기본요금 12,000원에 사용 시간 1분당 80원이 추가된다. 이번 달 요금을 30,000원 이하로 내고 싶다면 최대 몇 분까지 사용할 수 있을까?

사용 시간을 x분이라 두면 요금은

12000 + 80x

이다. 30,000원 이하라는 조건은 부등식으로 나타낸다.

12000 + 80x ≤ 30000

80x ≤ 18000

x ≤ 225

따라서 최대 225분까지 사용할 수 있다. 여기서 x는 사용 시간이므로 음수가 될 수 없다. 실제 조건까지 포함하면 0 ≤ x ≤ 225이다.

이 문제에서 중요한 것은 계산보다 해석이다. 등식이 아니라 '이하'라는 조건이므로 방정식이 아니라 부등식을 세워야 한다. 또 답이 x ≤ 225라고 끝내는 것이 아니라, 문제의 질문에 맞게 '최대 225분'이라고 해석해야 한다.

방정식과 부등식은 이후 단원에서도 계속 등장한다. 다항식에서는 식을 인수분해하여 방정식의 해를 찾고, 함수에서는 그래프의 교점과 부등식의 영역을 해석한다. 이차방정식, 지수방정식, 로그부등식도 결국 조건을 식으로 옮기고 해의 의미를 판단하는 과정이다.

따라서 이번 장의 핵심은 하나로 정리할 수 있다. 방정식과 부등식의 해는 계산 결과가 아니라 조건을 만족하는 값이다. 식을 세우고, 풀고, 다시 원래 조건으로 돌아와 확인하는 습관이 고등학교 수학의 가장 기본적인 힘이 된다.