자료와 가능성으로 세상 해석하기

자료는 숫자 목록이 아니라 판단의 근거입니다

어느 반 학생 20명의 통학 시간이 다음과 같다고 하자.

8, 12, 12, 15, 17, 21, 22, 23, 25, 26, 28, 30, 31, 35, 37, 40, 45, 48, 50, 55

숫자만 길게 적혀 있으면 한눈에 알기 어렵다. 누가 가장 오래 걸리는지는 찾을 수 있지만, 전체적으로 짧은 편인지 긴 편인지, 대부분이 어디에 모여 있는지는 바로 보이지 않는다. 통계는 이렇게 흩어진 자료를 정리해서 말할 수 있게 해 주는 도구이다.

자료를 볼 때 가장 먼저 할 질문은 이것이다.

• 값들이 어디에 많이 모여 있는가?

• 아주 크거나 작은 값이 있는가?

• 가운데 값은 어느 정도인가?

• 자료가 좁게 모여 있는가, 넓게 퍼져 있는가?

이 질문에 답하기 위해 줄기와 잎 그림, 도수분포표, 히스토그램, 상자그림을 사용한다.

AI 생성 이미지

분포를 보여 주는 여러 가지 그림

줄기와 잎 그림은 자료의 원래 값을 어느 정도 보존하면서 정리하는 방법이다. 통학 시간을 10분 단위로 줄기, 1분 단위로 잎으로 나타내면 다음과 같다.

여기서 2 | 1 2 3 5 6 8은 21, 22, 23, 25, 26, 28을 뜻한다. 줄기와 잎 그림은 자료가 어느 구간에 몰려 있는지 보면서도 실제 값이 무엇인지 확인할 수 있다는 장점이 있다.

자료의 개수가 많아지면 값을 하나하나 보는 것보다 구간별로 묶는 것이 좋다. 구간별로 자료가 몇 개씩 들어 있는지 정리한 표를 도수분포표라고 한다. 이때 도수는 그 구간에 들어 있는 자료의 개수이다.

이 표를 보면 20분 이상 30분 미만인 학생이 6명으로 가장 많다. 즉 이 반에서는 20분대 통학 시간이 가장 흔하다.

히스토그램은 도수분포표를 막대로 나타낸 그래프이다. 막대그래프와 비슷하지만 중요한 차이가 있다. 히스토그램은 연속된 구간을 나타내므로 보통 막대 사이를 붙여 그린다. 반면 막대그래프는 좋아하는 과일, 교통수단처럼 서로 떨어진 항목을 비교할 때 많이 쓰므로 막대 사이가 떨어져 있어도 된다.

상자그림은 자료의 전체적인 퍼짐을 빠르게 보여 준다. 상자그림은 다섯 값을 이용한다.

• 최솟값: 가장 작은 값

• 제1사분위수: 아래쪽 절반의 중앙값

• 중앙값: 전체 자료의 가운데 값

• 제3사분위수: 위쪽 절반의 중앙값

• 최댓값: 가장 큰 값

상자는 가운데 절반의 자료가 들어 있는 구간을 나타낸다. 상자가 짧으면 가운데 자료가 좁게 모여 있고, 상자가 길면 가운데 자료도 넓게 퍼져 있다. 수염이 한쪽으로 길면 그 방향으로 값이 멀리 뻗어 있다는 뜻이다.

따라서 자료를 정리하는 방법은 서로 경쟁하는 것이 아니다. 줄기와 잎 그림은 실제 값을 보기 좋고, 도수분포표와 히스토그램은 구간별 분포를 보기 좋고, 상자그림은 가운데와 퍼짐을 한눈에 비교하기 좋다.

평균, 중앙값, 최빈값은 서로 다른 대표입니다

대표값은 자료 전체를 하나의 값으로 설명하려는 수이다. 대표값에는 평균, 중앙값, 최빈값이 있다.

평균은 모든 값을 더한 뒤 자료의 개수로 나눈 값이다.

예를 들어 다섯 명의 게임 점수가 60, 70, 80, 90, 100점이라면 평균은 다음과 같다.

60 + 70 + 80 + 90 + 100 = 400

400 ÷ 5 = 80

평균은 모든 자료를 골고루 나누었을 때의 값으로 생각할 수 있다. 그래서 전체 양을 비교할 때 유용하다. 하지만 평균은 아주 크거나 작은 값, 즉 극단값의 영향을 많이 받는다.

이번에는 게임 점수가 60, 70, 80, 90, 200이라고 하자.

60 + 70 + 80 + 90 + 200 = 500

500 ÷ 5 = 100

평균은 100점이지만, 실제로 100점을 받은 사람은 없다. 200이라는 극단적으로 큰 값 때문에 평균이 위로 끌려 올라간 것이다. 그래서 평균을 볼 때는 평균 주변에 실제 자료가 많이 모여 있는지도 함께 생각해야 한다.

중앙값은 자료를 작은 것부터 큰 것까지 순서대로 놓았을 때 가운데에 있는 값이다.

60, 70, 80, 90, 200

가운데 값은 80이므로 중앙값은 80이다. 자료의 개수가 짝수이면 가운데 두 값의 평균을 중앙값으로 삼는다. 예를 들어 60, 70, 80, 90처럼 자료가 4개라면 가운데 두 값은 70과 80이므로 중앙값은 75이다.

중앙값은 극단값의 영향을 평균보다 덜 받는다. 그래서 집값, 소득, 통학 시간처럼 일부 값이 매우 커질 수 있는 자료에서는 중앙값이 자료의 전형적인 모습을 더 잘 보여 주기도 한다.

최빈값은 가장 자주 나타나는 값이다. 예를 들어 신발 치수 자료가 다음과 같다고 하자.

230, 235, 240, 240, 240, 245, 250

가장 많이 나타난 값은 240이므로 최빈값은 240이다. 최빈값은 평균을 내기 어려운 자료에서도 쓸 수 있다. 예를 들어 가장 많이 선택한 급식 메뉴, 가장 많이 사용하는 교통수단처럼 '가장 흔한 선택'을 알고 싶을 때 알맞다. 자료에 따라 최빈값이 둘 이상일 수도 있고, 뚜렷한 최빈값이 없을 수도 있다.

대표값을 고를 때는 계산하기 쉬운 값이 아니라 상황에 맞는 값을 골라야 한다.

산포도는 자료의 흩어진 정도입니다

두 반의 퀴즈 점수가 다음과 같다고 하자.

• A반: 2, 4, 6, 8, 10

• B반: 5, 6, 6, 7, 6

두 반의 평균을 구해 보자.

A반 평균 = (2 + 4 + 6 + 8 + 10) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6

B반 평균 = (5 + 6 + 6 + 7 + 6) ÷ 5 = 30 ÷ 5 = 6

평균은 둘 다 6이다. 그러나 두 반의 모습은 다르다. A반은 2점부터 10점까지 넓게 퍼져 있고, B반은 6점 근처에 모여 있다. 이 차이를 나타내는 것이 산포도이다. 산포도는 자료가 얼마나 흩어져 있는지를 나타내는 정도이다.

가장 간단한 산포도는 범위이다.

A반 범위 = 10 - 2 = 8

B반 범위 = 7 - 5 = 2

범위만 보아도 A반이 더 넓게 퍼져 있음을 알 수 있다. 하지만 범위는 최댓값과 최솟값만 사용하므로 중간 자료의 흩어짐을 충분히 보여 주지 못할 때가 있다. 그래서 분산과 표준편차를 사용한다.

분산을 이해하려면 먼저 편차를 알아야 한다. 편차는 각 자료값에서 평균을 뺀 값이다.

A반의 평균은 6이므로 편차는 다음과 같다.

편차를 그냥 더하면 음수와 양수가 서로 지워져 합이 0이 된다. 그래서 편차를 제곱해 모두 양수로 만든 뒤 평균을 낸다. 이것이 분산이다.

A반 분산 = (16 + 4 + 0 + 4 + 16) ÷ 5 = 40 ÷ 5 = 8

B반도 계산해 보자. B반의 평균은 6이다.

B반 분산 = (1 + 0 + 0 + 1 + 0) ÷ 5 = 2 ÷ 5 = 0.4

분산이 클수록 자료가 평균에서 멀리 흩어져 있다. A반의 분산 8은 B반의 분산 0.4보다 크므로 A반 점수가 더 많이 퍼져 있다고 말할 수 있다.

표준편차는 분산의 제곱근이다. 분산은 편차를 제곱해서 구했기 때문에 단위도 '점수의 제곱'처럼 해석하기 어색해진다. 표준편차를 사용하면 원래 자료와 같은 단위로 흩어짐을 볼 수 있다.

A반 표준편차 = √8 ≈ 2.8

B반 표준편차 = √0.4 ≈ 0.6

따라서 평균이 같아도 표준편차가 다르면 자료의 모습은 다르다. 평균은 중심을 말하고, 표준편차는 그 중심에서 얼마나 떨어져 있는지를 말한다.

확률은 가능성을 숫자로 나타낸 것입니다

확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 0부터 1까지의 수로 나타낸 것이다. 절대로 일어나지 않는 일의 확률은 0, 반드시 일어나는 일의 확률은 1이다. 확률이 1에 가까울수록 그 일이 일어날 가능성이 크다.

모든 경우가 똑같이 일어날 수 있을 때, 확률은 다음과 같이 구한다.

확률 = 원하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수

예를 들어 주머니에 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있고, 공 하나를 보지 않고 꺼낸다고 하자. 모든 공이 똑같이 뽑힐 수 있다면 공 하나하나를 구별해 생각했을 때 전체 경우는 5가지이고, 빨간 공이 나오는 경우는 3가지이다.

빨간 공이 나올 확률 = 3 ÷ 5 = 3/5

확률을 구할 때 중요한 것은 계산보다 경우를 정확히 세는 일이다. 빠뜨리면 확률이 작아지고, 중복해서 세면 확률이 커진다.

경우의 수는 표와 나무그림으로 세면 안전합니다

점심으로 샌드위치 2종류와 음료 3종류 중 하나씩 고른다고 하자.

전체 경우의 수는 6가지이다.

2 × 3 = 6

이처럼 한 선택 뒤에 또 다른 선택이 이어지고, 각 선택에서 가능한 가지 수가 일정하면 곱셈으로 경우의 수를 구할 수 있다. 표는 두 단계 선택을 정리할 때 좋고, 나무그림은 세 단계 이상 선택을 정리할 때 좋다. 만약 앞의 선택에 따라 뒤에서 고를 수 있는 것이 달라진다면, 무조건 곱하기부터 하기보다 나무그림으로 가지를 하나씩 확인하는 편이 안전하다.

주사위 두 개를 던져 눈의 합이 5가 되는 경우를 생각해 보자. 첫 번째 주사위와 두 번째 주사위를 구별한다면 다음 네 가지가 가능하다.

(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)

전체 경우의 수는 6 × 6 = 36가지이다.

따라서 합이 5가 될 확률은 다음과 같다.

4 ÷ 36 = 4/36 = 1/9

여기서 (1, 4)와 (4, 1)을 같은 것으로 보면 안 된다. 첫 번째 주사위가 1이고 두 번째 주사위가 4인 경우와, 첫 번째 주사위가 4이고 두 번째 주사위가 1인 경우는 서로 다른 결과이다. 반대로 문제에서 순서를 구별하지 않는다고 했다면 중복해서 세지 않아야 한다.

확률 문제를 풀 때는 다음 질문을 차례대로 확인하자.

1. 전체 경우가 모두 똑같이 일어날 수 있는가?

2. 순서를 구별하는가, 구별하지 않는가?

3. 같은 것을 두 번 세고 있지는 않은가?

4. 빠뜨린 경우는 없는가?

5. 구하는 것이 '일어나는 경우'인가, '일어나지 않는 경우'인가?

특히 '적어도 한 번'이라는 말이 나오면 반대 경우를 생각하는 것이 더 쉬울 때가 있다. 예를 들어 동전 두 개를 던져 적어도 한 개가 앞면일 확률을 구한다고 하자. 가능한 경우는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지이다. 적어도 한 개가 앞면인 경우는 앞앞, 앞뒤, 뒤앞으로 3가지이다. 확률은 3/4이다.

다르게 생각하면, 적어도 한 개가 앞면이 아닌 경우는 뒤뒤 한 가지뿐이다. 따라서 원하는 확률은 1 - 1/4 = 3/4이다. 이렇게 반대 경우를 이용하면 복잡한 문제를 짧게 해결할 수 있다.

숫자보다 중요한 것은 해석입니다

통계와 확률은 답을 하나 계산하는 데서 끝나지 않는다. 평균이 같아도 산포도가 다르면 전혀 다른 자료일 수 있다. 확률이 높아도 반드시 일어나는 것은 아니고, 확률이 낮아도 일어날 수 있다.

자료를 해석할 때는 대표값 하나만 보고 판단하지 말고 분포와 산포도를 함께 보아야 한다. 확률을 구할 때는 공식보다 먼저 전체 경우와 원하는 경우를 정확히 세어야 한다.

수학에서 자료와 가능성을 배우는 이유는 세상을 더 조심스럽고 근거 있게 판단하기 위해서이다. 숫자는 스스로 말하지 않는다. 자료를 정리하고, 비교하고, 조건을 따져 해석할 때 비로소 숫자는 판단의 근거가 된다.