측정과 입체도형의 감각 기르기

길이를 알면, 이제 양을 셀 수 있다

지난 장에서는 닮음, 피타고라스 정리, 삼각비를 이용해 직접 재기 어려운 길이를 구했다. 이번 장에서는 그 길이들을 이용해 더 큰 양을 구한다. 평면에서는 넓이를, 입체에서는 겉넓이와 부피를 구한다.

측정은 단순히 공식을 대입하는 일이 아니다. 측정의 출발점은 "기준이 되는 작은 단위가 몇 개 들어가는가?"를 세는 것이다.

• 길이: 1cm가 몇 개 이어지는가?

• 넓이: 1cm²짜리 정사각형이 몇 개 들어가는가?

• 부피: 1cm³짜리 정육면체가 몇 개 들어가는가?

따라서 넓이와 부피 공식은 갑자기 생긴 규칙이 아니다. 도형을 잘라 옮기고, 펼쳐 보고, 층층이 쌓아 보면서 만들어진 짧은 표현이다.

AI 생성 이미지

평면도형의 넓이: 자르고 옮기면 보인다

가장 먼저 생각할 넓이 공식은 직사각형이다.

직사각형의 가로가 5cm, 세로가 3cm라면 1cm² 정사각형을 가로로 5개, 세로로 3줄 놓을 수 있다.

□ □ □ □ □
□ □ □ □ □
□ □ □ □ □

전체 개수는 5 × 3 = 15개이다. 그래서

직사각형의 넓이 = 가로 × 세로

이다. 여기서 다른 도형의 넓이 공식이 출발한다.

평행사변형의 넓이

평행사변형은 기울어진 직사각형처럼 보인다. 하지만 넓이를 구할 때 중요한 것은 옆변의 길이가 아니라 밑변과 높이다.

평행사변형의 한쪽 끝을 잘라 반대편으로 옮기면 직사각형이 된다.

   /￣￣/        ＿＿＿
  /＿＿/   →   |＿＿＿|

잘라 옮겨도 도형의 넓이는 변하지 않는다. 바뀐 것은 모양뿐이다. 새로 생긴 직사각형의 가로는 평행사변형의 밑변이고, 세로는 높이이다.

따라서

평행사변형의 넓이 = 밑변 × 높이

이다.

여기서 높이는 밑변에 수직인 거리이다. 비스듬한 변의 길이가 아니다. 많은 실수가 여기서 생긴다.

삼각형의 넓이

삼각형은 같은 모양 하나를 더 붙여 평행사변형으로 만들 수 있다.

  /|        /|/|
 /_|   →   /_|_|

똑같은 삼각형 2개가 모이면 평행사변형이 된다. 이 평행사변형의 넓이는 밑변 × 높이이다. 원래 삼각형은 그 절반이므로

삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이 ÷ 2

이다.

예를 들어 밑변이 8cm, 높이가 5cm인 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

8 × 5 ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20

따라서 넓이는 20cm²이다.

여기서도 높이는 밑변과 수직인 거리이다. 삼각형 안에 높이가 그려지지 않을 수도 있다. 둔각삼각형에서는 높이가 삼각형 밖으로 나갈 수 있다. 그래도 밑변에 수직인 거리를 높이로 잡아야 한다.

원의 넓이: 둥근 도형을 잘게 나누어 보기

원은 직사각형이나 삼각형처럼 곧은 변으로 둘러싸인 도형이 아니다. 그래서 처음에는 넓이 공식이 낯설다. 하지만 원도 잘게 나누어 생각하면 익숙한 모양에 가까워진다.

원을 부채꼴 모양으로 여러 조각 나누어 번갈아 붙이면 다음과 같은 모양이 된다.

△▽△▽△▽△▽  →  거의 평행사변형

조각을 아주 많이 만들수록 이 모양은 점점 직사각형에 가까워진다.

이때 직사각형처럼 보이는 도형의 세로는 원의 반지름 r이다. 가로는 원둘레의 절반이다. 원둘레는 2πr이므로 그 절반은 πr이다.

그래서 원의 넓이는

πr × r = πr²

이다.

원의 넓이 = π × 반지름 × 반지름

이다.

여기서 가장 중요한 것은 반지름이다. 지름이 10cm라면 반지름은 5cm이다. 원의 넓이를 구할 때 10²을 하면 안 된다.

예를 들어 지름이 10cm인 원의 넓이를 구해 보자.

반지름 = 10 ÷ 2 = 5

원의 넓이 = π × 5 × 5 = 25π

따라서 넓이는 25πcm²이다. π를 3.14로 계산하라고 하면

25 × 3.14 = 78.5

이므로 78.5cm²이다.

겉넓이: 입체도형을 펼쳐서 더한다

겉넓이는 입체도형의 바깥 면 전체의 넓이이다. 입체도형을 종이 상자처럼 펼치면 여러 개의 평면도형이 나온다. 이 펼친 그림을 전개도라고 한다.

겉넓이를 구할 때는 입체도형을 머릿속에서 돌리기보다 전개도를 생각하는 것이 좋다.

겉넓이 = 모든 면의 넓이의 합

이다.

기둥의 겉넓이

기둥은 위아래 밑면이 서로 평행하고 합동인 입체도형이다. 삼각기둥, 사각기둥, 원기둥이 모두 여기에 들어간다.

기둥의 겉넓이는 보통 다음처럼 나누어 구한다.

• 밑면 2개

• 옆면 전체

즉

기둥의 겉넓이 = 밑넓이 × 2 + 옆넓이

이다.

사각기둥처럼 옆면이 직사각형 여러 개로 나뉘는 경우에는 각각의 넓이를 더하면 된다. 그런데 더 간단한 방법도 있다. 중학교 문제에서 주로 만나는 곧은 기둥은 옆면을 모두 펼치면 하나의 긴 직사각형이 된다. 이 직사각형의 가로는 밑면의 둘레이고, 세로는 기둥의 높이이다.

따라서 이런 기둥에서는

기둥의 옆넓이 = 밑면의 둘레 × 높이

로 구할 수 있다.

원기둥도 같은 방식으로 생각한다. 곧은 원기둥의 옆면을 펼치면 직사각형이 된다.

• 직사각형의 가로: 원의 둘레 = 2πr

• 직사각형의 세로: 원기둥의 높이 h

원기둥의 옆넓이 = 2πr × h = 2πrh

원기둥의 겉넓이 = 위아래 원 2개의 넓이 + 옆넓이

= 2πr² + 2πrh

공식을 외우기 전에 전개도를 떠올리면 왜 이런 식이 나오는지 이해할 수 있다.

뿔의 겉넓이

뿔은 밑면이 하나이고, 옆면이 모두 한 꼭짓점으로 모이는 입체도형이다. 삼각뿔, 사각뿔, 원뿔이 있다.

각뿔의 겉넓이는

겉넓이 = 밑넓이 + 옆면들의 넓이의 합

이다.

사각뿔이라면 옆면은 보통 삼각형 4개이다. 이때 옆면 삼각형의 높이는 입체도형의 높이와 다를 수 있다. 뿔의 높이는 꼭짓점에서 밑면에 수직으로 내린 거리이고, 옆면 삼각형의 높이는 옆면 위에서 밑변에 수직인 거리이다.

이 둘을 혼동하면 겉넓이가 틀린다. 특히 문제에서 "높이"라고만 쓰인 길이가 입체도형의 높이인지, 옆면 삼각형의 높이인지 그림에서 반드시 확인해야 한다.

원뿔의 겉넓이도 전개도로 생각한다. 원뿔을 펼치면 밑면인 원 1개와 옆면인 부채꼴 1개가 나온다.

원뿔의 옆면 부채꼴에서 중요한 길이는 모선이다. 모선은 꼭짓점에서 밑면의 원둘레 위 한 점까지 이어지는 옆면 위의 선분이다. 원뿔의 높이와 다르다.

곧은 원뿔의 겉넓이는

원뿔의 겉넓이 = 밑면의 넓이 + 옆면의 넓이

= πr² + πrl

이다. 여기서 r은 밑면의 반지름, l은 모선의 길이이다. 만약 반지름과 높이만 주어지고 모선이 보이지 않는다면, 단면에서 직각삼각형을 찾아 모선을 구해야 할 수도 있다.

부피: 밑넓이를 높이만큼 쌓은 양

부피는 공간을 얼마나 차지하는지를 나타내는 양이다. 1cm³짜리 작은 정육면체가 몇 개 들어가는지 세는 것과 같다.

가로 4cm, 세로 3cm, 높이 5cm인 직육면체를 생각해 보자.

한 층의 넓이는

4 × 3 = 12

이다. 즉 한 층에 1cm³짜리 정육면체가 12개 놓인다. 이런 층이 높이 방향으로 5층 쌓인다.

12 × 5 = 60

따라서 부피는 60cm³이다.

이 생각을 일반화하면

기둥의 부피 = 밑넓이 × 높이

이다.

여기서 밑면은 꼭 아래쪽 면만 뜻하지 않는다. 층층이 쌓인다고 볼 수 있는 기준 면이다. 삼각기둥이면 밑넓이는 삼각형의 넓이이고, 원기둥이면 밑넓이는 원의 넓이이다.

예를 들어 반지름이 3cm, 높이가 7cm인 원기둥의 부피를 구해 보자.

밑넓이 = π × 3 × 3 = 9π

부피 = 밑넓이 × 높이 = 9π × 7 = 63π

따라서 부피는 63πcm³이다.

뿔의 부피는 왜 기둥의 3분의 1일까

각뿔과 원뿔의 부피 공식은 다음과 같다.

뿔의 부피 = 밑넓이 × 높이 ÷ 3

또는

뿔의 부피 = (1/3) × 밑넓이 × 높이

여기서 "왜 3으로 나눌까?"를 생각해야 한다.

같은 밑면과 같은 높이를 가진 기둥과 뿔을 비교하면, 뿔의 부피는 그 기둥의 3분의 1이다. 실험으로는 같은 밑면과 높이를 가진 빈 뿔 모양 그릇에 물이나 모래를 가득 담아 같은 기둥 모양 그릇에 부으면 3번 들어간다는 사실을 확인할 수 있다.

수학적으로도 뿔은 높이가 올라갈수록 단면이 점점 작아진다. 기둥은 어느 높이에서 잘라도 단면의 넓이가 항상 밑넓이와 같다. 반면 뿔은 꼭짓점으로 갈수록 단면이 줄어든다. 그래서 같은 밑넓이와 같은 높이를 가져도 기둥 전체를 채우지 못한다.

중학교에서는 이 사실을 공식으로 사용한다. 하지만 기억할 때는 "뿔은 같은 밑면과 높이를 가진 기둥의 3분의 1"이라고 연결해 두면 좋다.

예를 들어 밑넓이가 24cm², 높이가 9cm인 사각뿔의 부피는 다음과 같다.

부피 = 24 × 9 ÷ 3

24 × 9 = 216

216 ÷ 3 = 72

따라서 부피는 72cm³이다.

구: 반지름 하나로 정해지는 입체도형

구는 공처럼 모든 방향으로 둥근 입체도형이다. 구에서는 반지름이 특히 중요하다. 구의 중심에서 겉면까지의 거리가 반지름이고, 지름은 반지름의 2배이다.

구의 겉넓이와 부피 공식은 다음과 같다.

• 구의 겉넓이 = 4πr²

• 구의 부피 = (4/3)πr³

이 공식은 전개도로 쉽게 펼칠 수 있는 기둥이나 뿔과 다르게 보일 수 있다. 그래서 처음에는 형태를 그대로 외우기 쉽다. 하지만 적어도 r²과 r³의 차이는 반드시 이해해야 한다.

겉넓이는 면의 크기이므로 단위가 cm², m²처럼 제곱 단위이다. 그래서 반지름도 두 번 곱해지는 r²이 들어간다.

부피는 공간의 크기이므로 단위가 cm³, m³처럼 세제곱 단위이다. 그래서 반지름이 세 번 곱해지는 r³이 들어간다.

예를 들어 반지름이 6cm인 구의 겉넓이와 부피를 구해 보자.

겉넓이 = 4π × 6²

6² = 36

4 × 36 = 144

따라서 겉넓이 = 144πcm²이다.

부피 = (4/3)π × 6³

6³ = 216

(4/3) × 216 = 4 × 72 = 288

따라서 부피 = 288πcm³이다.

구 문제에서 가장 흔한 실수는 지름을 반지름으로 착각하는 것이다. 지름이 6cm라면 반지름은 3cm이다. 반지름이 6cm일 때와 결과가 크게 달라진다.

단위 변환은 마지막 장벽이다

측정 문제에서 계산식을 잘 세우고도 단위 때문에 틀리는 경우가 많다. 특히 넓이와 부피에서는 단위 변환이 길이보다 더 조심스럽다.

1m = 100cm이지만,

1m² = 100cm × 100cm = 10000cm²

이다.

또

1m³ = 100cm × 100cm × 100cm = 1000000cm³

이다.

길이 단위가 100배 차이 난다고 해서 넓이도 100배, 부피도 100배가 되는 것은 아니다. 넓이는 두 방향을 곱하고, 부피는 세 방향을 곱하기 때문이다.

문제에 2m와 30cm가 함께 나오면 먼저 단위를 맞춰야 한다. 예를 들어 2m를 200cm로 바꾼 뒤 계산하거나, 30cm를 0.3m로 바꾼 뒤 계산해야 한다. 같은 식 안에서는 같은 단위를 써야 한다.

대표 유형: 전개도와 부피를 함께 읽기

반지름이 4cm, 높이가 10cm인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 겉넓이와 부피를 구해 보자.

먼저 겉넓이를 구한다.

밑면 한 개의 넓이 = π × 4 × 4 = 16π

밑면 두 개의 넓이 = 16π × 2 = 32π

옆넓이 = 밑면의 둘레 × 높이

밑면의 둘레 = 2π × 4 = 8π

옆넓이 = 8π × 10 = 80π

겉넓이 = 32π + 80π = 112π

따라서 겉넓이는 112πcm²이다.

이제 부피를 구한다.

밑넓이 = 16π

부피 = 밑넓이 × 높이 = 16π × 10 = 160π

따라서 부피는 160πcm³이다.

겉넓이와 부피는 같은 도형에서 구하더라도 의미가 다르다. 겉넓이는 겉을 덮는 양이고, 부피는 안을 채우는 양이다. 그래서 단위도 다르다.

실수하기 쉬운 지점 정리

측정 단원에서는 계산보다 조건 해석이 중요하다. 다음 네 가지를 특히 확인하자.

문제를 풀 때는 다음 순서가 안전하다.

1. 구하는 것이 넓이인지, 겉넓이인지, 부피인지 확인한다.

2. 필요한 길이가 반지름인지 지름인지, 높이인지 모선인지 구분한다.

3. 도형을 자르거나 펼친 모습을 떠올린다.

4. 같은 단위로 바꾼다.

5. 식을 세우고 단위를 붙여 답한다.

공간을 수량화한다는 것

넓이와 부피 공식은 도형을 숫자로 바꾸는 도구이다. 삼각형은 평행사변형의 절반으로 볼 수 있고, 원은 잘게 나누면 직사각형에 가까워진다. 기둥은 같은 넓이의 층을 높이만큼 쌓은 것이고, 뿔은 같은 밑면과 높이를 가진 기둥의 3분의 1로 볼 수 있다. 겉넓이는 입체도형을 펼쳐 모든 면을 더한 값이다.

공식을 쓰기 전에 도형이 어떻게 만들어졌는지 떠올리면 계산의 방향이 보인다. 측정 단원에서 중요한 감각은 이것이다.

"이 도형은 무엇을 몇 개만큼 차지하고 있는가?"

이 질문을 할 수 있으면 넓이, 겉넓이, 부피는 외워야 할 목록이 아니라 이해해서 꺼내 쓰는 도구가 된다.