길이를 직접 잴 수 없을 때
운동장에 서 있는 나무의 높이를 알고 싶다고 하자. 줄자를 들고 나무 꼭대기까지 올라갈 수는 없다. 강 건너편에 있는 건물까지의 거리도 직접 걸어가 재기 어렵다. 이런 상황에서 도형은 아주 유용한 도구가 된다.
도형 문제에서 길이를 구하는 대표적인 방법은 세 가지이다.
닮음으로 같은 모양의 도형을 찾아 비례식을 세운다.
피타고라스 정리로 직각삼각형의 세 변 사이 관계를 식으로 바꾼다.
삼각비로 각과 변의 비를 이용해 높이와 거리를 구한다.
세 방법은 서로 떨어진 내용이 아니다. 모두 도형 안에 숨어 있는 관계를 찾아 계산 가능한 식으로 바꾸는 방법이다.
AI 생성 이미지
닮음: 모양이 같으면 길이의 비도 같다
두 도형이 닮았다는 것은 크기는 달라도 모양이 같다는 뜻이다. 사진을 확대하거나 축소하면 실제 크기는 달라지지만 모양은 변하지 않는다. 이때 서로 맞대응하는 각의 크기는 같고, 서로 대응하는 변의 길이의 비는 일정하다.
예를 들어 두 삼각형 (ABC)와 (DEF)가 닮았고, 대응 관계가 다음과 같다고 하자.
| 삼각형 (ABC) | 삼각형 (DEF) |
|---|---|
| (A) | (D) |
| (B) | (E) |
| (C) | (F) |
| (AB) | (DE) |
| (BC) | (EF) |
| (CA) | (FD) |
이때 다음 비가 모두 같다.
[ AB:DE = BC:EF = CA:FD ]
이 일정한 비를 닮음비라고 한다. 닮음비를 찾을 때 가장 중요한 것은 긴 변끼리, 짧은 변끼리 대충 맞추는 것이 아니다. 대응하는 꼭짓점의 순서를 먼저 확인해야 한다.
예를 들어 (triangle ABC sim triangle DEF)라고 쓰여 있다면 순서대로
[ A leftrightarrow D,quad B leftrightarrow E,quad C leftrightarrow F ]
이다. 따라서 대응변은 (AB)와 (DE), (BC)와 (EF), (CA)와 (FD)이다.
예: 닮음비로 길이 구하기
(triangle ABC sim triangle DEF)이고,
[ AB=6,quad BC=9,quad DE=10,quad EF=x ]
라고 하자. 대응변은 (AB leftrightarrow DE), (BC leftrightarrow EF)이다.
따라서 비례식을 세우면
[ AB:DE = BC:EF ]
[ 6:10 = 9:x ]
비례식의 성질을 이용하면
[ 6x = 10 times 9 ]
[ 6x = 90 ]
[ x = 15 ]
따라서 (EF=15)이다.
여기서 중요한 것은 계산보다 식을 세우는 과정이다. 대응변을 잘못 잡으면 계산은 맞아도 답은 틀린다.
평행선이 있으면 닮음이 숨어 있다
닮음은 삼각형이 따로 두 개 있을 때만 쓰는 것이 아니다. 한 도형 안에서도 평행선이 있으면 닮음이 자주 나타난다.
삼각형 (ABC)에서 변 (AB), (AC) 위에 각각 점 (D), (E)가 있고, (DE parallel BC)라고 하자.
A
/ \
D---E DE ∥ BC
/ \
B-------C이때 (triangle ADE)와 (triangle ABC)를 비교해 보자.
(angle A)는 두 삼각형이 함께 가진 각이다.
(DE parallel BC)이므로 동위각 또는 엇각이 같아진다.
따라서 두 삼각형은 서로 닮음이다. 그러면 대응변의 비가 같으므로 다음과 같은 비례식을 세울 수 있다.
[ AD:AB = AE:AC = DE:BC ]
이 관계는 평행선 사이의 선분비 문제에서 자주 쓰인다.
중점연결정리
삼각형에서 두 변의 중점을 이은 선분에는 특별한 성질이 있다. 삼각형 (ABC)에서 (D)가 (AB)의 중점, (E)가 (AC)의 중점이면,
[ DE parallel BC ]
이고,
[ DE = frac{1}{2}BC ]
이다. 이것을 삼각형의 중점연결정리라고 한다.
왜 (DE)가 (BC)의 절반이 될까? (D)와 (E)가 각각 중점이므로
[ AD:AB = 1:2,quad AE:AC = 1:2 ]
이다. 두 변의 비가 같고 (angle A)를 함께 가지므로 작은 삼각형 (ADE)와 큰 삼각형 (ABC)는 닮음으로 볼 수 있다. 이때 닮음비는 (1:2)이다. 닮은 도형에서는 모든 대응변의 비가 같으므로
[ DE:BC = 1:2 ]
즉,
[ DE = frac{1}{2}BC ]
가 된다. 또한 대응하는 각이 같아지므로 (DE)와 (BC)는 서로 평행하다고 이해할 수 있다.
예: 중점연결정리 활용
삼각형 (ABC)에서 (D), (E)가 각각 (AB), (AC)의 중점이고 (BC=18)이라고 하자. 그러면
[ DE = frac{1}{2}BC ]
[ DE = frac{1}{2} times 18 ]
[ DE = 9 ]
따라서 (DE=9)이다.
반대로 (DE=7)이고 (D), (E)가 두 변의 중점이면
[ BC = 2 times DE = 14 ]
처럼 큰 변의 길이도 구할 수 있다.
피타고라스 정리: 직각삼각형의 세 변 사이 관계
직각삼각형에는 아주 중요한 길이 관계가 있다. 직각을 끼고 있는 두 변의 길이를 각각 (a), (b), 직각과 마주 보는 가장 긴 변인 빗변의 길이를 (c)라고 하면,
[ a^2 + b^2 = c^2 ]
이다. 이것을 피타고라스 정리라고 한다.
이 정리는 단순히 외워야 할 식이 아니다. 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 그려 보면 뜻이 분명해진다.
길이 (a)인 변 위의 정사각형 넓이는 (a^2)
길이 (b)인 변 위의 정사각형 넓이는 (b^2)
길이 (c)인 빗변 위의 정사각형 넓이는 (c^2)
직각삼각형에서는 작은 두 정사각형의 넓이를 합하면 빗변 위 정사각형의 넓이와 같다. 그래서 식이 (a^2+b^2=c^2)가 된다.
예: 빗변 구하기
직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 길이가 6, 8이라고 하자. 빗변을 (c)라고 하면
[ 6^2 + 8^2 = c^2 ]
[ 36 + 64 = c^2 ]
[ 100 = c^2 ]
[ c = 10 ]
길이는 음수가 될 수 없으므로 (c=10)이다.
예: 한 변 구하기
이번에는 빗변이 13이고 한 직각변이 5인 직각삼각형에서 나머지 한 직각변을 (x)라고 하자.
식 (a^2+b^2=c^2)에서 오른쪽의 (c)에 해당하는 변은 반드시 빗변이다. 빗변은 제곱의 합과 같아지는 가장 긴 변이다.
[ 5^2 + x^2 = 13^2 ]
[ 25 + x^2 = 169 ]
양쪽에서 25를 빼면
[ x^2 = 144 ]
[ x = 12 ]
따라서 나머지 한 변은 12이다.
피타고라스 정리에서 가장 흔한 실수는 빗변을 잘못 정하는 것이다. 빗변은 그림에서 길어 보이는 변이 아니라 직각과 마주 보는 변이다.
삼각비: 각이 정해지면 변의 비도 정해진다
직각삼각형에서 한 예각의 크기가 정해지면 세 변의 비가 정해진다. 삼각형의 크기를 키우거나 줄여도 같은 각을 가진 직각삼각형들은 서로 닮음이기 때문이다.
이때 직각삼각형의 변의 비를 정리한 것이 삼각비이다. 한 예각을 (A)라고 할 때, 세 변을 다음처럼 부른다.
빗변: 직각과 마주 보는 가장 긴 변
대변: 기준각 (A)와 마주 보는 변
이웃변: 기준각 (A)와 빗변 사이에 붙어 있는 변
삼각비는 다음과 같다.
| 이름 | 뜻 |
|---|---|
| (sin A) | 대변 ÷ 빗변 |
| (cos A) | 이웃변 ÷ 빗변 |
| (tan A) | 대변 ÷ 이웃변 |
삼각비는 새로운 길이를 만드는 공식이 아니라, 이미 닮음으로 정해지는 변의 비에 이름을 붙인 것이다.
예: 높이 구하기
어떤 사람이 나무에서 20 m 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 올려다보았더니, 지면과 시선이 이루는 각이 (30^circ)였다고 하자. 나무의 높이를 (h)라고 하면 직각삼각형을 만들 수 있다.
나무 높이 h
|
|\
| \
| 시선
| \
|____\
20m 30°여기서 (30^circ)를 기준으로 보면
대변: (h)
이웃변: 20
대변과 이웃변의 비를 쓰므로 (tan)을 사용한다.
[ tan 30^circ = frac{h}{20} ]
중학교에서 자주 쓰는 값은
[ tan 30^circ = frac{1}{sqrt{3}} ]
이므로
[ frac{1}{sqrt{3}} = frac{h}{20} ]
양쪽에 20을 곱하면
[ h = frac{20}{sqrt{3}} ]
분모를 유리화하면
[ h = frac{20sqrt{3}}{3} ]
따라서 나무의 높이는 (frac{20sqrt{3}}{3}) m이다. 실제 문제에서는 사람의 눈높이가 주어지면 마지막에 눈높이를 더해야 한다.
길이 문제를 푸는 순서
닮음, 피타고라스 정리, 삼각비는 모두 강력하지만 아무 때나 쓰는 도구는 아니다. 문제를 보면 먼저 어떤 관계가 보이는지 판단해야 한다.
평행선이나 같은 각이 보이는가?
그러면 닮음을 의심한다. 대응각과 대응변을 찾고 비례식을 세운다.직각삼각형이 있는가?
세 변 중 두 변을 알고 있으면 피타고라스 정리를 쓴다. 직각삼각형이 바로 보이지 않으면 높이를 내리거나 보조선을 그어 만들 수 있는지도 살펴본다.직각삼각형에서 각과 한 변이 주어졌는가?
그러면 삼각비를 생각한다. 구하려는 변이 대변인지, 이웃변인지, 빗변인지 먼저 정한다.그림에 없는 선을 그으면 직각삼각형이나 닮음이 생기는가?
높이를 내리거나 보조선을 그어 문제를 단순하게 만든다.
실수하기 쉬운 지점
첫째, 닮음비의 방향을 섞지 말아야 한다. 작은 도형에서 큰 도형으로 가는 비가 (2:5)라면, 큰 도형에서 작은 도형으로 가는 비는 (5:2)이다. 방향을 바꾸면 비도 거꾸로 써야 한다. 반대로 작은 도형과 큰 도형을 비교하면서 계속 (2:5)로 쓰기로 했다면, 모든 대응변도 그 방향에 맞추어 써야 한다.
둘째, 피타고라스 정리에서 빗변을 확인해야 한다. 식 (a^2+b^2=c^2)에서 (c)는 아무 변이나 되는 것이 아니다. 직각과 마주 보는 변이다.
셋째, 삼각비에서는 기준각을 정해야 한다. 같은 직각삼각형이라도 어느 각을 기준으로 보느냐에 따라 대변과 이웃변이 바뀐다.
넷째, 높이 문제에서는 눈높이, 건물 밑부분과 관찰자의 거리, 지면이 수평인지 같은 조건을 빠뜨리지 않아야 한다.
한 걸음 더 생각하기
도형 문제의 목표는 그림을 보고 감으로 길이를 맞히는 것이 아니다. 주어진 조건을 이용해 "이 두 삼각형은 닮음이다", "여기에 직각삼각형이 있다", "이 각을 기준으로 하면 탄젠트를 쓸 수 있다"처럼 판단하는 것이다.
닮음은 도형을 비례식으로 바꾸어 준다. 피타고라스 정리는 직각삼각형을 제곱의 식으로 바꾸어 준다. 삼각비는 각과 변의 관계를 비로 바꾸어 준다. 결국 이 장에서 배운 내용은 모두 같은 방향을 향한다.
보이지 않는 길이를 직접 재지 않고, 도형의 관계를 읽어 계산으로 구하는 것. 이것이 닮음, 피타고라스 정리, 삼각비를 배우는 이유이다.
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