기본 도형과 작도의 원리

도형은 '보이는 그림'보다 '읽히는 조건'이 먼저다

도형 문제를 풀 때 가장 먼저 보이는 것은 그림이다. 하지만 그림만 믿으면 자주 틀린다. 그림에서는 두 선분이 비슷해 보이거나, 두 각이 같아 보이거나, 어떤 선이 평행해 보일 수 있다. 그러나 수학에서 사용할 수 있는 정보는 문제에 쓰인 조건과 이미 증명된 성질뿐이다.

예를 들어 그림에서 두 선분 (AB)와 (CD)가 비슷한 길이로 보인다고 해서 (AB = CD)라고 말할 수는 없다. 문제에 "(AB = CD)"라고 주어졌거나, 그 사실을 논리적으로 이끌어냈을 때만 사용할 수 있다.

도형 단원에서 중요한 태도는 다음과 같다.

1. 그림을 본다.

2. 조건을 기호와 말로 정확히 읽는다.

3. 같은 길이, 같은 각, 평행, 수직을 표시한다.

4. 사용할 수 있는 성질을 고른다.

5. 결론까지 한 단계씩 연결한다.

도형은 감으로 맞히는 단원이 아니라, 조건을 정확한 언어로 바꾸어 읽는 단원이다.

AI 생성 이미지

점, 선, 각을 정확히 부르는 법

도형의 가장 기본 단위는 점이다. 점은 위치만 나타내고 크기는 생각하지 않는다. 보통 점 (A), 점 (B)처럼 대문자로 표시한다.

두 점을 지나 끝없이 곧게 뻗은 선은 직선이다. 직선은 양쪽으로 끝없이 이어진다. 두 점 (A), (B)를 지나는 직선은 보통 (overleftrightarrow{AB})로 나타낸다.

한 점에서 시작해 한쪽 방향으로 끝없이 뻗은 선은 반직선이다. (overrightarrow{AB})는 점 (A)에서 시작하여 점 (B)를 지나는 방향으로 뻗는 반직선이다. 이때 (overrightarrow{AB})와 (overrightarrow{BA})는 시작점과 방향이 다르므로 같은 반직선이 아니다.

두 점을 양 끝으로 하는 곧은 부분은 선분이다. 선분 (AB)는 (overline{AB})로 나타내며, 길이를 말할 때는 보통 (AB)라고 쓴다. 그래서 문맥에 따라 (overline{AB})는 도형으로서의 선분을, (AB)는 그 선분의 길이를 뜻하는 경우가 많다.

각은 한 점에서 시작하는 두 반직선이 만드는 벌어진 정도이다. 각 (ABC), 즉 (angle ABC)에서 가운데 글자 (B)는 꼭짓점이다. 따라서 (angle ABC)는 반직선 (BA)와 반직선 (BC)가 이루는 각이다.

각을 읽을 때는 가운데 글자를 특히 조심해야 한다.

[ angle ABC quad text{의 꼭짓점은 } B ]

[ angle BAC quad text{의 꼭짓점은 } A ]

두 표기는 같은 세 글자를 쓰지만 서로 다른 각을 뜻할 수 있다. 도형 문제에서 "어느 점을 꼭짓점으로 하는 각인가?"를 확인하는 습관이 중요하다.

평행과 수직: 선 사이의 관계

두 직선이 한 평면 위에서 아무리 연장해도 만나지 않으면 평행하다고 한다. 직선 (l)과 직선 (m)이 평행이면 다음과 같이 쓴다.

[ l parallel m ]

두 직선이 만나서 직각, 즉 (90^circ)를 이루면 수직이라고 한다.

[ l perp m ]

평행과 수직은 도형 문제에서 각을 찾는 중요한 단서가 된다. 특히 평행선에 한 직선이 비스듬히 지나갈 때 여러 각 사이에 일정한 관계가 생긴다.

먼저 두 직선이 만나면 서로 마주 보는 각이 생긴다. 이 각을 맞꼭지각이라고 한다. 맞꼭지각은 항상 크기가 같다.

왜 그럴까? 두 직선이 만나면 한 직선 위의 이웃한 두 각의 합은 (180^circ)이다. 예를 들어 두 각을 (a), (b), 맞은편 각을 (c)라고 하자.

[ a + b = 180^circ ]

또 다른 일직선에서도

[ c + b = 180^circ ]

두 식의 오른쪽이 같으므로

[ a + b = c + b ]

양쪽에서 (b)를 빼면

[ a = c ]

그래서 맞꼭지각은 같다. 이 성질은 외워도 되지만, 한 직선 위의 각의 합이 (180^circ)라는 사실에서 나온다고 이해하면 더 오래 남는다.

동위각과 엇각으로 평행선의 각 찾기

두 평행선 (l), (m)을 한 직선 (n)이 가로지른다고 하자. 이때 같은 위치에 놓인 각을 동위각이라고 한다. 예를 들어 위쪽 교점에서 오른쪽 위에 있는 각과 아래쪽 교점에서 오른쪽 위에 있는 각은 동위각이다.

평행선에서 동위각은 같다.

[ l parallel m quad Rightarrow quad text{동위각의 크기가 같다} ]

또, 두 평행선 사이 안쪽에 있고 가로지르는 직선의 서로 반대쪽에 있는 각을 엇각이라고 한다. 평행선에서 엇각도 같다.

[ l parallel m quad Rightarrow quad text{엇각의 크기가 같다} ]

예를 들어 (l parallel m)이고 한 각이 (65^circ)라고 하자. 이 각과 동위각인 각은 바로 (65^circ)이다. 그 각과 이웃하여 일직선을 이루는 각은 다음과 같이 구한다.

[ 65^circ + x = 180^circ ]

[ x = 180^circ - 65^circ ]

[ x = 115^circ ]

도형 문제에서 각을 찾을 때는 "그림상 비슷해 보인다"가 아니라 다음 순서로 말해야 한다.

1. 이 두 직선은 평행인가?

2. 찾는 각은 동위각인가, 엇각인가, 맞꼭지각인가?

3. 일직선 위의 두 각의 합 (180^circ) 또는 한 점 주위의 각의 합 (360^circ)를 써야 하는가?

이 순서를 지키면 복잡한 그림에서도 각을 차분히 찾을 수 있다.

작도는 정확한 도형을 만드는 논리다

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 사용하여 도형을 그리는 과정이다. 여기서 자는 길이를 재는 도구가 아니라 직선을 긋는 도구이다. 컴퍼스는 원을 그리거나 같은 길이를 옮기는 도구이다.

작도에서 중요한 것은 "그럴듯하게 그렸다"가 아니다. 왜 그 방법으로 원하는 도형이 만들어지는지를 설명할 수 있어야 한다.

가장 대표적인 작도는 수직이등분선이다. 수직이등분선은 한 선분을 수직으로 지나면서 그 선분을 정확히 반으로 나누는 직선이다.

선분 (AB)의 수직이등분선을 작도하는 과정을 보자.

1. 컴퍼스의 폭을 선분 (AB)의 절반보다 크게 벌린다.

2. 점 (A)를 중심으로 위아래에 호를 그린다.

3. 같은 폭을 유지한 채 점 (B)를 중심으로 위아래에 호를 그린다.

4. 두 호가 만나는 점을 각각 (P), (Q)라고 한다.

5. 직선 (PQ)를 긋는다.

이 직선 (PQ)가 선분 (AB)의 수직이등분선이다.

왜 그럴까? 점 (P)는 점 (A)를 중심으로 그린 원 위에도 있고, 점 (B)를 중심으로 그린 원 위에도 있다. 두 원의 반지름을 같게 잡았으므로

[ PA = PB ]

마찬가지로 점 (Q)도

[ QA = QB ]

즉 (P)와 (Q)는 모두 (A)와 (B)에서 같은 거리에 있는 점이다. 선분 (AB)의 수직이등분선 위의 점은 (A), (B)에서 같은 거리에 있고, 반대로 (A), (B)에서 같은 거리에 있는 점들을 이으면 수직이등분선이 된다. 그래서 두 점 (P), (Q)를 지나는 직선은 (AB)를 수직으로 이등분한다.

작도는 손재주가 아니라 이런 거리 관계를 이용하는 과정이다. 컴퍼스를 같은 폭으로 유지한다는 말도 결국 "같은 길이"를 계속 보존한다는 뜻이다.

각의 이등분선은 같은 벌어짐을 만드는 선이다

각의 이등분선은 한 각을 크기가 같은 두 각으로 나누는 반직선이다. (angle AOB)의 이등분선을 작도해 보자.

1. 점 (O)를 중심으로 호를 그어 두 변 (OA), (OB)와 만나는 점을 각각 (C), (D)라고 한다.

2. 컴퍼스 폭을 적당히 정한 뒤, 점 (C)를 중심으로 각의 안쪽에 호를 그린다.

3. 같은 폭을 유지한 채 점 (D)를 중심으로 각의 안쪽에 호를 그린다.

4. 두 호가 만나는 점을 (P)라고 한다.

5. 반직선 (OP)를 긋는다.

그러면 (OP)는 (angle AOB)의 이등분선이다.

처음 호를 그었기 때문에

[ OC = OD ]

다음 두 호도 같은 폭으로 그었기 때문에

[ CP = DP ]

또 (OP)는 두 삼각형 (triangle OCP), (triangle ODP)가 함께 가지는 변이다.

[ OP = OP ]

세 쌍의 변의 길이가 각각 같으므로 두 삼각형 (triangle OCP)와 (triangle ODP)는 합동이다. 따라서 대응하는 각의 크기도 같다.

[ angle COP = angle POD ]

즉 (OP)는 원래 각을 똑같이 나누는 선이 된다. 이처럼 작도에는 합동의 생각이 이미 숨어 있다. 단순히 호를 몇 번 그리는 절차가 아니라, 같은 거리와 같은 도형을 만들어 원하는 결론을 얻는 과정인 것이다.

삼각형 작도와 합동 조건

삼각형은 세 변과 세 각을 가진 도형이다. 그런데 삼각형을 정확히 하나로 결정하려면 모든 정보를 다 알 필요는 없다. 몇 가지 핵심 조건만으로도 크기와 모양이 정해진다. 이것이 삼각형의 합동 조건이다.

두 도형이 포개었을 때 완전히 겹치면 합동이라고 한다. 합동인 도형은 대응하는 변의 길이가 같고, 대응하는 각의 크기도 같다.

삼각형의 대표적인 합동 조건은 세 가지이다.

SSS 작도를 생각해 보자. 세 변의 길이가 (5text{ cm}), (4text{ cm}), (3text{ cm})인 삼각형을 만들려면 먼저 길이 (5text{ cm})인 선분 (AB)를 긋는다. 그다음 점 (A)를 중심으로 반지름 (4text{ cm})인 원을 그리고, 점 (B)를 중심으로 반지름 (3text{ cm})인 원을 그린다. 작도 상황에서는 이 길이들을 눈금으로 재는 것이 아니라, 주어진 선분의 길이를 컴퍼스로 옮긴다고 생각하면 된다.

두 원이 만나는 점을 (C)라고 하면

[ AC = 4text{ cm}, quad BC = 3text{ cm} ]

이므로 (triangle ABC)가 만들어진다. 실제 그림에서는 두 원이 선분 (AB)의 위쪽과 아래쪽에서 만날 수 있다. 하지만 두 경우는 서로 뒤집힌 모양일 뿐 크기와 모양이 같으므로 합동인 삼각형이다. 그래서 세 변의 길이가 정해지면 삼각형의 크기와 모양도 정해진다고 볼 수 있다.

SAS에서는 두 변의 길이뿐 아니라 그 사이의 각이 중요하다. 예를 들어 (AB = 6text{ cm}), (AC = 4text{ cm}), (angle A = 50^circ)가 주어지면 점 (A)에서 두 변이 벌어지는 방향과 길이가 정해진다. 따라서 점 (B), 점 (C)의 위치가 정해지고 삼각형도 결정된다. 여기서 반드시 두 변 사이에 끼인 각이 주어져야 한다는 점을 기억해야 한다.

ASA에서는 먼저 한 변을 긋고, 그 양 끝에서 주어진 각만큼 반직선을 그린다. 두 반직선이 만나는 지점이 나머지 꼭짓점이다. 한 변과 양 끝 각이 정해지면 두 변이 뻗어 나가는 방향이 정해지므로 삼각형이 하나로 결정된다.

반대로 세 각만 같은 경우는 조심해야 한다. 세 각이 같으면 모양은 같지만 크기가 달라질 수 있다. 작은 정삼각형과 큰 정삼각형은 모두 각이 (60^circ, 60^circ, 60^circ)이지만 합동은 아니다. 그래서 AAA는 합동 조건이 아니다. 크기까지 같아야 합동이다.

도형 문제를 푸는 기본 순서

도형 문제는 복잡해 보여도 시작은 항상 같다. 주어진 조건을 그림 위에 표시하는 것이다.

• 같은 길이는 같은 표시를 한다.

• 같은 각은 같은 표시를 한다.

• 평행선에는 화살표를 표시한다.

• 수직이면 직각 표시를 한다.

• 구해야 할 값을 문자로 둔다.

예를 들어 평행선 문제에서 (x)를 구하라고 하면, 먼저 평행 표시를 찾는다. 그다음 동위각과 엇각을 확인한다. 바로 계산하지 말고 "왜 이 각이 같은가?"를 말할 수 있어야 한다.

합동 문제에서는 대응 관계가 중요하다. (triangle ABC cong triangle DEF)라고 쓰면 순서대로 대응한다.

[ A leftrightarrow D, quad B leftrightarrow E, quad C leftrightarrow F ]

따라서

[ AB leftrightarrow DE, quad BC leftrightarrow EF, quad CA leftrightarrow FD ]

각도 마찬가지이다.

[ angle A leftrightarrow angle D, quad angle B leftrightarrow angle E, quad angle C leftrightarrow angle F ]

합동 기호를 쓸 때 꼭짓점의 순서를 아무렇게나 쓰면 대응하는 변과 각을 잘못 읽게 된다. 도형에서 순서는 계산식의 부호만큼 중요하다.

이번 장의 핵심 정리

기본 도형 단원은 앞으로 배울 평면도형의 성질, 닮음, 피타고라스 정리, 삼각비의 출발점이다. 점, 선, 각의 표기법을 정확히 알아야 조건을 잘못 읽지 않는다. 평행선의 동위각과 엇각, 맞꼭지각을 이해하면 각의 크기를 논리적으로 찾을 수 있다.

작도는 자와 컴퍼스로 정확한 도형을 만드는 과정이지만, 더 깊게 보면 "같은 거리"와 "같은 각"을 만들어 내는 논리이다. 삼각형의 합동 조건은 도형의 크기와 모양을 결정하는 최소한의 기준이다.

도형 문제를 풀 때는 그림을 믿기 전에 조건을 읽어야 한다. 보이는 대로 판단하지 말고, 표시하고, 관계를 찾고, 이유를 붙여 결론으로 나아가자. 그것이 도형을 수학답게 다루는 방법이다.