함수와 그래프로 변화 읽기

변화는 한 숫자로 보이지 않는다

키가 자라는 과정, 물통에 물이 차는 과정, 택시 요금이 올라가는 과정은 모두 시간이 지나거나 거리가 늘어나면서 다른 양도 함께 변한다. 이때 중요한 것은 숫자 하나가 아니라 두 양이 어떻게 대응하는가이다.

예를 들어 "1분에 물이 3L씩 들어간다"는 상황을 보자.

여기서 시간 x가 정해지면 물의 양 y도 하나로 정해진다. x = 2이면 y = 6이고, x = 4이면 y = 12이다. 이렇게 한 양의 값이 정해질 때 다른 양의 값이 하나로 정해지는 관계를 함수라고 한다.

함수는 단순히 y = ... 꼴의 계산식이 아니다. 함수는 변화의 규칙을 나타내는 언어이다. 같은 함수도 표, 식, 그래프로 나타낼 수 있다.

• 표: 몇 가지 값을 직접 비교하기 좋다.

• 식: 규칙을 짧게 나타내기 좋다.

• 그래프: 전체 변화 모습을 한눈에 보기 좋다.

앞 장에서 방정식은 조건을 만족하는 값을 찾는 도구였다. 함수에서는 한 걸음 더 나아가 값이 하나씩 바뀔 때 다른 값이 어떻게 따라 바뀌는지를 본다.

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좌표평면: 두 수로 위치를 말하기

수직선은 수 하나로 위치를 나타낸다. 하지만 평면 위의 점은 수 하나만으로는 부족하다. 오른쪽으로 얼마나 갔는지, 위아래로 얼마나 갔는지를 함께 말해야 한다.

좌표평면에는 두 축이 있다.

• 가로 방향의 축: x축

• 세로 방향의 축: y축

• 두 축이 만나는 점: 원점, 좌표는 (0, 0)

점의 위치는 (x좌표, y좌표)의 순서로 쓴다. 이를 순서쌍이라고 한다. 이름 그대로 순서가 중요하다.

예를 들어 (3, 2)는 원점에서 오른쪽으로 3, 위로 2 간 점이다. 반면 (2, 3)은 오른쪽으로 2, 위로 3 간 점이다. 두 점은 다르다.

y
↑
4 |        
3 |    ● (2, 3)
2 |      ● (3, 2)
1 |
0 +----------------→ x
    0  1  2  3  4

함수에서 순서쌍 (x, y)는 단순한 위치가 아니라 두 양의 대응 관계를 나타낸다. 예를 들어 (2, 6)은 "시간이 2분일 때 물의 양은 6L"라는 뜻이 된다.

그래프 위의 점 하나하나는 이런 대응 관계 하나를 나타낸다. 그래서 그래프를 읽을 때는 점을 그냥 찍힌 위치로만 보지 말고, "이 점은 어떤 상황을 말하는가?"라고 해석해야 한다.

정비례: 일정한 비율로 변하는 관계

두 양 x, y 사이에 y = ax 꼴의 관계가 있을 때, y는 x에 정비례한다고 한다. 여기서 a는 0이 아닌 일정한 수이다.

예를 들어 1개에 800원인 공책을 산다고 하자. 공책의 개수를 x, 가격을 y원이라고 하면

y = 800x

이다.

이 표에서 볼 수 있는 변화는 분명하다.

• x가 2배가 되면 y도 2배가 된다.

• x가 3배가 되면 y도 3배가 된다.

• y ÷ x의 값은 항상 800이다. 단, x = 0일 때는 나눌 수 없다.

정비례 그래프는 원점을 지나는 직선이다. 왜 원점을 지날까? 공책을 0권 사면 가격도 0원이기 때문이다. 즉 x = 0일 때 y = 0이다.

정비례식 y = ax에서 a는 그래프가 얼마나 가파르게 올라가거나 내려가는지를 나타낸다. 위의 공책 예처럼 a가 양수인 경우에는 a가 클수록 같은 x만큼 움직였을 때 y가 더 많이 증가한다.

예를 들어 y = 2x와 y = 5x를 비교하면, x가 1 증가할 때 y = 2x는 2 증가하고 y = 5x는 5 증가한다. 그래서 y = 5x의 그래프가 더 가파르다.

반비례: 곱이 일정한 관계

이번에는 넓이가 24인 직사각형을 생각해 보자. 가로의 길이를 x, 세로의 길이를 y라고 하면

xy = 24

이다. 이 식을 y에 대해 정리하면

y = 24 ÷ x

또는

y = 24/x

이다. 이런 관계를 반비례라고 한다. 일반적으로 y = a/x 꼴이다. 여기서 x는 0이 될 수 없다. 0으로 나누는 계산은 할 수 없기 때문이다.

이 표에서는 정비례와 다른 변화가 보인다.

• x가 2배가 되면 y는 절반이 된다.

• x가 3배가 되면 y는 3분의 1이 된다.

• x × y의 값은 항상 24이다.

정비례 그래프는 원점을 지나는 직선이지만, 반비례 그래프는 휘어진 곡선이다. 위의 직사각형 예처럼 x와 y가 양수인 상황에서는 x가 커질수록 y가 작아진다. 그래프는 축에 가까워질 뿐 축과 만나지는 않는다.

정비례와 반비례를 비교하면 다음과 같다.

여기서 중요한 것은 식의 모양만 외우는 것이 아니다. 표에서 어떤 값이 일정한지, 그래프에서 어떤 변화가 보이는지 함께 읽어야 한다.

일차함수: 시작값과 증가량을 읽기

일차함수는 보통 다음과 같은 꼴로 나타낸다.

y = ax + b

여기서 a는 기울기, b는 y절편이다.

기울기는 x가 1만큼 증가할 때 y가 얼마나 변하는지를 나타낸다. y절편은 그래프가 y축과 만나는 점의 y좌표이다. 상황으로 말하면 x = 0일 때의 시작값이다.

예를 들어 이미 저금통에 5000원이 있고, 매주 2000원씩 저금한다고 하자. 저금을 시작한 뒤 지난 주 수를 x, 저금액을 y원이라고 하면

y = 2000x + 5000

이다.

이 식에서 2000은 매주 늘어나는 금액이다. 즉 기울기이다. 5000은 처음부터 있던 금액이다. 즉 y절편이다.

기울기를 계산할 때는 두 점 사이에서 y의 변화량을 x의 변화량으로 나눈다.

예를 들어 점 (1, 7000)과 (3, 11000)을 이용하면

x의 변화량 = 3 - 1 = 2

y의 변화량 = 11000 - 7000 = 4000

기울기 = 4000 ÷ 2 = 2000

따라서 x가 1 증가할 때 y는 2000 증가한다.

기울기가 양수이면 그래프는 오른쪽으로 갈수록 올라간다. 기울기가 음수이면 오른쪽으로 갈수록 내려간다. 기울기가 0이면 y값이 변하지 않으므로 수평선이 된다.

일차함수는 연립방정식과도 연결된다. 두 일차방정식을 그래프로 그리면 두 직선이 되고, 두 직선의 교점은 두 식을 동시에 만족하는 값이다. 예를 들어 두 직선이 한 점에서 만나면 그 점의 좌표가 연립방정식의 해가 된다. 식으로 풀던 해를 그래프에서는 위치로 읽는 것이다.

이차함수: 휘어진 그래프에서 구조 읽기

일차함수의 그래프가 직선이라면, 이차함수의 그래프는 포물선 모양이다. 대표적인 꼴은

y = ax²

이다. 여기서 a가 양수이면 그래프가 위로 열린다. a가 음수이면 아래로 열린다.

예를 들어 y = x²의 값을 표로 나타내 보자.

x = -2와 x = 2일 때 모두 y = 4이다. x = -3과 x = 3일 때 모두 y = 9이다. 그래서 그래프는 y축을 기준으로 좌우가 대칭이다.

이차함수를 볼 때는 네 가지를 먼저 확인하면 좋다.

1. 꼭짓점: 그래프의 가장 낮은 점 또는 가장 높은 점

2. 축: 그래프를 좌우 대칭으로 나누는 직선

3. 위아래 방향: 위로 열리는지, 아래로 열리는지

4. 폭: 그래프가 넓게 퍼지는지, 좁게 모이는지

식이 다음과 같이 주어지면 이 정보가 잘 보인다.

y = a(x - p)² + q

이때 꼭짓점은 (p, q)이고, 축은 x = p이다.

예를 들어

y = 2(x - 1)² - 3

을 보자.

• 꼭짓점은 (1, -3)이다.

• 축은 x = 1이다.

• a = 2는 양수이므로 위로 열린다.

• |a| = 2는 1보다 크므로 y = x²보다 그래프가 더 좁다.

값을 직접 넣어 확인해 보자.

표를 보면 x = 1을 기준으로 좌우의 y값이 같다. x = 0과 x = 2일 때 모두 y = -1이고, x = -1과 x = 3일 때 모두 y = 5이다. 이것이 축 x = 1을 기준으로 한 대칭이다.

이차함수에서 a의 절댓값은 폭과 관련이 있다.

• |a|가 1보다 크면 그래프가 좁아진다.

• |a|가 0과 1 사이이면 그래프가 넓어진다.

• a가 양수이면 위로 열린다.

• a가 음수이면 아래로 열린다.

여기서 주의할 점이 있다. y = ax² + bx + c 꼴에서 c는 y절편이다. 즉 x = 0일 때의 y값이다. 하지만 꼭짓점의 y좌표라고 말할 수는 없다. 꼭짓점은 식의 전체 구조를 보아야 알 수 있다.

앞 장의 인수분해도 이차함수 그래프를 읽을 때 도움이 된다. 예를 들어

y = (x - 1)(x - 3)

이라면 y = 0이 되는 때는

(x - 1)(x - 3) = 0

x - 1 = 0 또는 x - 3 = 0

x = 1 또는 x = 3

이다. 따라서 그래프는 x축과 (1, 0), (3, 0)에서 만난다. 이처럼 인수분해된 식은 x절편을 읽기 좋고, y = a(x - p)² + q 꼴은 꼭짓점과 축을 읽기 좋다. 같은 이차함수라도 식의 모양에 따라 잘 보이는 정보가 다르다.

그래프를 읽는 순서

함수 문제를 풀 때 처음부터 계산에 뛰어들면 관계를 놓치기 쉽다. 다음 순서로 읽으면 실수가 줄어든다.

1. 무엇이 x이고 무엇이 y인지 정한다.

2. x가 변할 때 y가 어떻게 변하는지 말로 설명한다.

3. 표에서 일정한 값이나 반복되는 변화를 찾는다.

4. 식의 모양을 보고 정비례, 반비례, 일차함수, 이차함수인지 판단한다.

5. 그래프에서 절편, 기울기, 꼭짓점, 축 같은 정보를 해석한다.

예를 들어 y = -3x + 12라면 다음처럼 읽을 수 있다.

• 일차함수이다.

• 기울기는 -3이다.

• x가 1 증가할 때 y는 3 감소한다.

• y절편은 12이다.

• 그래프는 (0, 12)를 지나고 오른쪽으로 갈수록 내려간다.

y = 12/x라면 다음처럼 읽는다.

• 반비례 관계이다.

• x × y = 12가 일정하다.

• 양수 범위에서는 x가 커질수록 y는 작아진다.

• x = 0은 사용할 수 없다.

• 그래프는 직선이 아니라 곡선이다.

y = -2(x + 1)² + 5라면 다음처럼 읽는다.

• 이차함수이다.

• 꼭짓점은 (-1, 5)이다.

• 축은 x = -1이다.

• 아래로 열린다.

• |a| = 2이므로 기본 그래프보다 좁다.

자주 하는 실수 정리

첫째, 좌표의 순서를 바꾸는 실수이다. (x, y)에서 앞은 x좌표, 뒤는 y좌표이다. (4, -2)와 (-2, 4)는 서로 다른 점이다.

둘째, 모든 직선이 원점을 지난다고 생각하는 실수이다. 원점을 지나는 것은 y = ax 꼴의 정비례 그래프이다. y = ax + b에서 b가 0이 아니면 그래프는 원점을 지나지 않는다.

셋째, 기울기를 단순히 "그래프가 기울어진 정도"로만 보고 계산하지 않는 실수이다. 기울기는 항상

y의 변화량 ÷ x의 변화량

으로 확인해야 한다.

넷째, 반비례 그래프가 축과 만난다고 생각하는 실수이다. y = a/x에서 x = 0은 사용할 수 없고, y = 0도 되지 않는다. 그래프는 축에 가까워질 뿐 축과 만나지 않는다.

다섯째, 이차함수의 y절편과 꼭짓점을 혼동하는 실수이다. y절편은 y축과 만나는 점이고, 꼭짓점은 그래프의 방향이 바뀌는 중심점이다. 두 점이 같을 때도 있지만 항상 같은 것은 아니다.

함수를 배우는 이유는 복잡한 식을 더 많이 계산하기 위해서만이 아니다. 변화하는 두 양의 관계를 보고, 그 관계를 표로 정리하고, 식으로 표현하고, 그래프로 해석하기 위해서이다. 표는 부분을 보여 주고, 식은 규칙을 보여 주며, 그래프는 전체 모양을 보여 준다. 이 세 가지 표현을 서로 바꿔 읽을 수 있을 때 함수는 계산 문제가 아니라 변화를 이해하는 도구가 된다.