다항식과 인수분해의 구조 읽기

식이 길어질수록 먼저 모양을 본다

문자식은 처음에는 짧다. 예를 들어 3x, 2a + 5, x - 7처럼 한눈에 보인다. 그런데 중학교 수학이 진행되면 식은 점점 길어진다.

3x² + 5x - 2

(x + 3)(x - 4)

x² + 6x + 9

이런 식을 볼 때 무작정 계산부터 시작하면 길을 잃기 쉽다. 다항식 단원에서 중요한 힘은 계산을 빨리하는 능력만이 아니다. 식의 모양을 보고, 어떤 조각들이 어떻게 묶여 있는지 알아보는 힘이다.

다항식은 하나 이상의 항이 덧셈과 뺄셈으로 연결된 식이다. 예를 들어 2x² - 3x + 1은 세 항으로 이루어진 다항식이다. 여기서 2x², -3x, 1이 각각 항이다. 3x²처럼 항이 하나뿐인 식도 넓게는 다항식에 포함되지만, 이 단원에서는 여러 항이 연결된 식을 계산하고 변형하는 일이 특히 중요하다. 문자가 하나뿐인 경우도 있고, a²b - 3ab + 4처럼 문자가 여러 개인 경우도 있다.

다항식 계산은 크게 두 방향으로 움직인다.

• 흩어진 것을 펼쳐서 계산하는 전개

• 펼쳐진 것을 다시 곱의 모양으로 묶는 인수분해

전개는 괄호를 푸는 일이고, 인수분해는 괄호를 만드는 일이다. 두 과정은 서로 반대 방향이다. 그래서 곱셈 공식을 이해하면 인수분해도 훨씬 자연스럽게 보인다.

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단항식 계산은 계수와 문자 부분을 나누어 본다

단항식은 하나의 항으로 이루어진 식이다. 3x², -5ab, 7a³b² 같은 식이 단항식이다. 단항식끼리 곱하거나 나눌 때는 두 부분으로 나누어 생각하면 편하다.

첫째, 숫자 부분인 계수를 계산한다. 둘째, 문자 부분은 지수법칙으로 정리한다.

예를 들어 보자.

2x² × 3x³

계수끼리 곱하면 2 × 3 = 6이다. 문자 부분은 x² × x³이다. x²는 x가 2번 곱해진 것이고, x³은 x가 3번 곱해진 것이다.

x² × x³ = x × x × x × x × x = x⁵

따라서

2x² × 3x³ = 6x⁵

이때 사용한 규칙이 지수법칙이다. 같은 문자를 곱할 때는 지수를 더한다.

x² × x³ = x²⁺³ = x⁵

나눗셈도 같은 생각으로 볼 수 있다.

12a³b² ÷ 4ab

먼저 계수부터 나눈다.

12 ÷ 4 = 3

문자 부분은 각각 나누어 정리한다.

a³ ÷ a = a²

b² ÷ b = b

따라서

12a³b² ÷ 4ab = 3a²b

같은 문자를 나눌 때는 지수를 뺀다. a³ ÷ a는 a³ ÷ a¹이므로 a²가 된다. 이 규칙을 외우기 전에 실제로 약분해 보면 이유가 보인다.

a³ ÷ a = (a × a × a) ÷ a = a × a = a²

단항식 계산에서 자주 생기는 실수는 문자마다 따로 계산하지 않는 것이다. 6a²b와 3ab²를 나눌 때도 a와 b의 지수를 따로 보아야 한다.

6a²b ÷ 3ab² = 2 × a²⁻¹ × b¹⁻² = 2a ÷ b

이 결과는 2a/b처럼 분수식으로 나타난다. 중학교 다항식 계산에서는 보통 나누어떨어지는 경우를 많이 다루지만, 지수 차이를 생각하는 습관은 이후 식의 변형에서 중요하다.

다항식의 곱셈은 분배법칙의 반복이다

다항식에 단항식을 곱할 때는 괄호 안의 모든 항에 곱해야 한다.

3x(2x - 5)

3x는 2x에도 곱해지고, -5에도 곱해진다.

3x × 2x = 6x²

3x × (-5) = -15x

따라서

3x(2x - 5) = 6x² - 15x

여기서 중요한 말은 모든 항이다. 괄호 안의 첫 항에만 곱하고 멈추면 식의 의미가 달라진다.

다항식끼리 곱할 때도 원리는 같다.

(x + 2)(x + 3)

앞의 괄호에 있는 x와 2가 각각 뒤의 괄호 전체에 곱해진다고 볼 수 있다.

(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

이 계산을 표로 보면 구조가 더 잘 보인다.

표 안의 네 칸을 모두 더하면 x² + 3x + 2x + 6이다. 그래서 가운데 항 3x와 2x가 합쳐져 5x가 된다.

다항식의 곱셈은 특별한 요령이 아니라 분배법칙을 빠뜨리지 않고 적용하는 과정이다. 곱셈 공식도 이 원리에서 나온다.

곱셈 공식은 넓이로 이해할 수 있다

곱셈 공식은 자주 나오는 전개 결과를 짧게 정리한 것이다. 하지만 결과만 외우면 부호가 조금 바뀌었을 때 쉽게 틀린다. 먼저 왜 그런 식이 나오는지 보자.

한 변의 길이가 a + b인 정사각형을 생각해 보자. 이 정사각형의 넓이는 전체로 보면 (a + b)²이다. 그런데 한 변을 a와 b로 나누면 정사각형 안에는 네 부분이 생긴다.

• a × a = a²

• a × b = ab

• b × a = ab

• b × b = b²

따라서 전체 넓이는

a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

그래서

(a + b)² = a² + 2ab + b²

가 된다. 가운데 항 2ab는 갑자기 생긴 것이 아니다. ab짜리 직사각형이 두 개 있어서 생긴다.

비슷하게 (a - b)²도 전개할 수 있다.

(a - b)² = (a - b)(a - b)

분배법칙으로 계산하면

(a - b)(a - b) = a(a - b) - b(a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²

따라서

(a - b)² = a² - 2ab + b²

여기서 조심할 점은 마지막 항이 +b²라는 것이다. -b와 -b를 곱하면 +b²가 된다. 그래서 (a - b)²를 a² - b²로 쓰면 안 된다.

또 하나 중요한 공식은 합차공식이다.

(a + b)(a - b)

전개하면

(a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b) = a² - ab + ab - b² = a² - b²

가운데의 -ab와 +ab가 서로 사라진다. 그래서

(a + b)(a - b) = a² - b²

이다. 이 공식은 두 수의 합과 차를 곱하면 제곱의 차가 된다는 뜻이다.

인수분해는 전개를 거꾸로 읽는 일이다

전개가 곱의 모양을 합의 모양으로 바꾸는 일이라면, 인수분해는 합의 모양을 곱의 모양으로 바꾸는 일이다.

3x(x + 2) = 3x² + 6x

이것을 거꾸로 읽으면

3x² + 6x = 3x(x + 2)

이다. 오른쪽처럼 곱의 모양을 이루는 3x와 x + 2를 인수라고 한다. 인수분해는 식을 여러 인수의 곱으로 나타내는 과정이다.

가장 먼저 확인할 것은 공통인수이다. 공통인수는 여러 항에 공통으로 들어 있는 인수이다.

6x² + 9x

두 항 6x²와 9x에는 3x가 공통으로 들어 있다.

6x² = 3x × 2x

9x = 3x × 3

따라서

6x² + 9x = 3x(2x + 3)

인수분해 문제를 만나면 먼저 공통인수가 있는지 확인하는 습관이 중요하다. 공통인수를 놓치면 뒤의 공식이 맞아도 완전히 인수분해한 것이 아닐 수 있다.

예를 들어

2x² - 8

을 보자. 이 식에서 x² - 4의 모양만 보고 곧바로 (x + 2)(x - 2)라고 쓰면 앞의 2가 사라져 버린다. 먼저 공통인수 2를 묶어야 한다.

2x² - 8 = 2(x² - 4)

그리고 x² - 4는 합차공식의 거꾸로이다.

x² - 4 = x² - 2² = (x + 2)(x - 2)

따라서

2x² - 8 = 2(x + 2)(x - 2)

모양에 따라 인수분해 방법을 고른다

인수분해는 무작정 시도하는 것이 아니다. 식의 모양을 보고 알맞은 방법을 고른다.

예를 들어 x² + 10x + 25를 보자.

첫째 항 x²은 x의 제곱이다. 마지막 항 25는 5의 제곱이다. 가운데 항 10x는 2 × x × 5이다.

그러므로

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

이번에는 x² - 16을 보자.

x²은 x의 제곱이고, 16은 4의 제곱이다. 두 제곱이 뺄셈으로 연결되어 있다.

x² - 16 = x² - 4² = (x + 4)(x - 4)

이번에는 x² + 7x + 12를 보자. 완전제곱식은 아니다. 이때는 두 수를 찾는다.

곱해서 12가 되고, 더해서 7이 되는 두 수는 3과 4이다.

3 × 4 = 12

3 + 4 = 7

따라서

x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)

만약 x² - x - 12라면 어떻게 될까? 곱해서 -12가 되고, 더해서 -1이 되는 두 수를 찾아야 한다. 3과 -4는 곱하면 -12이고 더하면 -1이다.

x² - x - 12 = (x + 3)(x - 4)

부호가 있는 경우에는 곱과 합을 함께 확인해야 한다. 곱만 맞거나 합만 맞으면 안 된다.

대표 실수는 가운데 항과 부호에서 생긴다

다항식과 인수분해에서 자주 나오는 실수는 몇 가지로 정리할 수 있다.

첫째, 제곱식을 두 항만으로 생각하는 실수이다.

(x + 3)² = x² + 9

이렇게 쓰면 가운데 항 6x가 빠졌다. 바르게 전개하면

(x + 3)² = x² + 6x + 9

이다. 정사각형 넓이에서 x × 3 직사각형이 두 개 생긴다고 생각하면 가운데 항을 잊기 어렵다.

둘째, (x - 3)²와 x² - 9를 혼동하는 실수이다.

(x - 3)² = x² - 6x + 9

x² - 9 = (x + 3)(x - 3)

두 식은 전혀 다르다. 앞의 식은 같은 식 x - 3을 두 번 곱한 것이고, 뒤의 식은 두 제곱의 차이다.

셋째, 공통인수를 끝까지 빼지 않는 실수이다.

4x² + 8x = 4x(x + 2)

여기서 2x만 묶어 2x(2x + 4)라고 해도 식의 값이 달라지는 것은 아니다. 하지만 괄호 안에 아직 공통인수 2가 남아 있으므로, 보통 인수분해에서는 더 이상 묶을 수 없을 때까지 정리한다.

넷째, 인수분해 뒤 확인을 하지 않는 실수이다. 인수분해가 맞는지 확인하는 가장 좋은 방법은 다시 전개해 보는 것이다.

(x - 2)(x + 5) = x² + 5x - 2x - 10 = x² + 3x - 10

전개 결과가 원래 식과 같으면 인수분해가 맞다.

인수분해는 방정식과 그래프로 이어진다

인수분해는 식을 예쁘게 바꾸는 기술에서 끝나지 않는다. 다음 단계의 수학에서 중요한 역할을 한다.

예를 들어 방정식

x² - 5x + 6 = 0

을 생각해 보자. 왼쪽을 인수분해하면

x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

이므로 방정식은

(x - 2)(x - 3) = 0

이 된다. 두 수의 곱이 0이 되려면 적어도 하나는 0이어야 한다. 따라서

x - 2 = 0 또는 x - 3 = 0

x = 2 또는 x = 3

이다. 복잡해 보이던 이차방정식이 두 개의 간단한 일차방정식으로 나뉜다. 이것이 인수분해의 힘이다.

함수와 그래프에서도 같은 구조가 보인다. y = x² - 5x + 6이라는 식을

y = (x - 2)(x - 3)

으로 쓰면 y가 0이 되는 x값을 바로 알 수 있다. x = 2일 때도 y = 0이고, x = 3일 때도 y = 0이다. 그래프에서는 이 값들이 x축과 만나는 지점이 된다.

아직 함수 그래프를 깊게 배우지 않았더라도, 인수분해가 그래프의 모양을 읽는 데 도움이 된다는 점은 기억해 둘 만하다. 하나의 식은 전개된 모양으로 볼 수도 있고, 곱으로 묶인 모양으로 볼 수도 있다. 어떤 모양이 더 좋은지는 문제의 목적에 따라 달라진다.

계산해야 할 때는 전개된 식이 편할 수 있다. 해를 찾거나 0이 되는 지점을 찾을 때는 인수분해된 식이 훨씬 편하다.

다항식 단원의 핵심은 숨은 구조 찾기이다

다항식은 계산량이 많아 보이는 단원이다. 하지만 핵심은 길게 계산하는 것이 아니라 식을 구조적으로 보는 것이다.

단항식의 곱셈과 나눗셈에서는 계수와 문자 부분을 나누어 본다. 다항식의 곱셈에서는 분배법칙으로 모든 항의 곱을 빠뜨리지 않는다. 곱셈 공식은 전개 결과를 외우기 전에 넓이와 분배법칙으로 이해한다. 인수분해에서는 먼저 공통인수를 찾고, 그다음 완전제곱식인지, 제곱의 차인지, 두 수의 곱과 합을 이용하는 형태인지 살핀다.

식은 같은 값이라도 여러 모양을 가질 수 있다.

x² + 5x + 6

은 펼쳐진 모양이고,

(x + 2)(x + 3)

은 곱으로 묶인 모양이다. 두 식은 같지만 보여 주는 정보가 다르다. 다항식을 잘 다룬다는 것은 이 두 모양 사이를 필요에 따라 오갈 수 있다는 뜻이다.

앞으로 방정식, 함수, 그래프를 배울 때 이 힘은 계속 쓰인다. 복잡한 식을 만나면 먼저 묻자.

이 식에는 어떤 구조가 숨어 있을까?

그 질문이 다항식과 인수분해를 공부하는 가장 좋은 출발점이다.