조건을 식으로 바꾼다는 것
문자식은 상황을 간단히 나타내는 언어였다. 이제 그 문자식에 조건을 붙이면 방정식과 부등식이 된다.
예를 들어 어떤 수에 3을 더했더니 10이 되었다고 하자. 어떤 수를 x라고 하면
x + 3 = 10
이라고 쓸 수 있다. 여기서 =는 왼쪽과 오른쪽의 값이 같다는 뜻이다. 이 식을 만족시키는 x의 값은 7이다. 이처럼 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라고 한다. 방정식을 푼다는 것은 이 등식이 참이 되게 하는 값을 찾는 일이다. 그 값을 해라고 한다.
부등식은 조금 다르다. x + 3 < 10은 x에 3을 더한 값이 10보다 작다는 뜻이다. 이때 x = 1, x = 2, x = 6은 모두 가능하지만 x = 8은 가능하지 않다. 방정식의 해가 한두 개의 값으로 정해지는 경우가 많다면, 부등식의 해는 여러 값의 범위로 나타나는 경우가 많다.
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등식의 성질로 방정식 풀기
방정식은 저울과 비슷하게 생각할 수 있다. 왼쪽과 오른쪽이 같을 때, 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼도 균형은 유지된다. 양쪽에 같은 수를 곱하거나, 0이 아닌 같은 수로 나누어도 균형은 유지된다.
등식 A = B에서 다음이 성립한다.
양쪽에 같은 수를 더해도 같다:
A + c = B + c양쪽에서 같은 수를 빼도 같다:
A - c = B - c양쪽에 같은 수를 곱해도 같다:
Ac = Bc양쪽을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 같다:
A ÷ c = B ÷ c(c ≠ 0)
방정식을 풀 때는 이 성질을 이용해 미지수만 한쪽에 남기면 된다. 이때 중요한 것은 마음대로 식을 바꾸는 것이 아니라, 양쪽에 같은 계산을 해서 등식의 균형을 유지하는 것이다.
예를 들어 다음 방정식을 풀어 보자.
3x - 5 = 16
양쪽에 5를 더한다.
3x - 5 + 5 = 16 + 5
3x = 21
양쪽을 3으로 나눈다.
x = 7
여기서 끝내지 말고 검산을 해야 한다. 처음 식에 x = 7을 넣으면
3 × 7 - 5 = 21 - 5 = 16
오른쪽도 16이므로 맞다.
괄호가 있는 방정식도 원리는 같다.
2(x - 3) = x + 5
먼저 분배법칙으로 괄호를 푼다.
2x - 6 = x + 5
양쪽에서 x를 뺀다.
x - 6 = 5
양쪽에 6을 더한다.
x = 11
검산하면 왼쪽은 2(11 - 3) = 16, 오른쪽은 11 + 5 = 16이다. 따라서 해는 x = 11이다.
방정식 풀이에서 중요한 것은 계산을 빠르게 하는 것이 아니라, 등식의 균형을 유지하면서 식을 바꾸는 것이다. 계산 과정이 조금 길어도 왜 그렇게 바꾸었는지 설명할 수 있으면 좋은 풀이에 가깝다.
문장제를 방정식으로 바꾸는 순서
문장제는 길어 보여도 대부분 다음 순서로 정리할 수 있다.
구하려는 것을 문자로 둔다.
단위와 조건을 정리한다.
서로 같아지는 양을 찾는다.
방정식을 세운다.
풀고, 문제 상황에 맞는지 검산한다.
특히 3번이 중요하다. 방정식은 결국 "두 양이 같다"는 조건을 식으로 쓴 것이다. 문장을 읽자마자 계산부터 시작하기보다, 무엇과 무엇이 같아지는지 먼저 찾는 습관을 들이면 실수가 줄어든다.
거리·속력·시간 문제
거리, 속력, 시간은 다음 관계로 연결된다.
거리 = 속력 × 시간
예를 들어 어떤 사람이 자전거를 타고 시속 12km로 이동하고, 걸어서 시속 4km로 이동했다. 전체 시간은 2시간이고, 전체 거리는 16km라고 하자. 자전거를 탄 시간을 구해 보자.
자전거를 탄 시간을 x시간이라고 두면, 걸은 시간은 2 - x시간이다.
| 이동 방법 | 속력 | 시간 | 거리 |
|---|---|---|---|
| 자전거 | 12km/h | x | 12x |
| 걷기 | 4km/h | 2 - x | 4(2 - x) |
전체 거리가 16km이므로
12x + 4(2 - x) = 16
12x + 8 - 4x = 16
8x + 8 = 16
8x = 8
x = 1
따라서 자전거를 탄 시간은 1시간이다. 걸은 시간도 2 - 1 = 1시간이다. 실제 거리도 12 × 1 + 4 × 1 = 16으로 맞다.
거리 문제에서는 단위가 특히 중요하다. 속력이 km/h이면 시간은 시간 단위로 맞추고, 속력이 m/min이면 시간은 분 단위로 맞추어야 한다.
농도 문제
농도 문제에서는 "소금의 양"처럼 실제로 들어 있는 양을 기준으로 식을 세우면 쉽다.
소금의 양 = 소금물의 양 × 농도
단, 농도 10%는 계산할 때 0.10으로 바꾼다.
10% 소금물 200g에 소금 xg을 더했더니 20% 소금물이 되었다고 하자.
처음 소금의 양은
200 × 0.10 = 20(g)
소금 xg을 더하면 소금의 양은 20 + xg이고, 전체 소금물의 양은 200 + xg이다. 20% 소금물이 되었으므로
20 + x = 0.20(200 + x)
20 + x = 40 + 0.2x
0.8x = 20
x = 25
따라서 소금 25g을 더해야 한다.
농도 문제에서 자주 헷갈리는 부분은 전체 소금물의 양도 함께 변한다는 점이다. 소금만 더하면 소금의 양도 늘어나지만, 소금물 전체의 양도 늘어난다. 그래서 오른쪽에 200이 아니라 200 + x가 들어간다.
비율 문제
비율 문제에서는 공통으로 곱해지는 수를 문자로 두면 식이 간단해진다.
두 수의 비가 3 : 5이고 두 수의 합이 64라고 하자. 두 수를 각각 3x, 5x라고 둘 수 있다. 합이 64이므로
3x + 5x = 64
8x = 64
x = 8
따라서 두 수는 3 × 8 = 24, 5 × 8 = 40이다.
비율 3 : 5를 보고 바로 3과 5라고 생각하면 안 된다. 실제 수는 3과 5일 수도 있지만, 6과 10, 24와 40처럼 같은 비를 가진 여러 경우가 있다. 그래서 3x, 5x로 두는 것이다.
과부족 문제
과부족 문제에서는 "전체 개수"를 두 가지 방법으로 나타내는 것이 핵심이다.
사탕을 학생들에게 나누어 주려고 한다. 한 사람에게 3개씩 주면 8개가 남고, 5개씩 주면 6개가 부족하다. 학생 수를 구해 보자.
학생 수를 x명이라고 하자.
3개씩 주면 8개가 남으므로 전체 사탕 수는
3x + 8
5개씩 주면 6개가 부족하므로 실제 사탕 수는 필요한 수보다 6개 적다.
5x - 6
같은 전체 사탕 수를 나타낸 것이므로
3x + 8 = 5x - 6
14 = 2x
x = 7
학생은 7명이다. 사탕 수는 3 × 7 + 8 = 29개이다. 5개씩 주려면 35개가 필요하므로 6개가 부족하다. 조건과 맞다.
과부족 문제에서는 "남는다"와 "부족하다"의 방향을 잘 보아야 한다. 남는다는 것은 실제 전체 개수가 나누어 준 개수보다 많다는 뜻이고, 부족하다는 것은 실제 전체 개수가 필요한 개수보다 적다는 뜻이다.
연립방정식은 두 조건을 동시에 만족시키는 값 찾기
미지수가 두 개이면 조건도 보통 두 개가 필요하다. 두 방정식을 함께 묶어 놓은 것을 연립방정식이라고 한다. 연립방정식의 해는 두 식을 모두 참으로 만드는 한 쌍의 값이다.
예를 들어 어른 입장권은 8000원, 청소년 입장권은 5000원이다. 입장권을 모두 10장 샀고, 총금액이 68000원이라고 하자. 어른 입장권 수를 x, 청소년 입장권 수를 y라고 두면 조건은 두 가지이다.
장수 조건:
x + y = 10
금액 조건:
8000x + 5000y = 68000
첫 번째 식에서 y = 10 - x이다. 이것을 두 번째 식에 넣는다.
8000x + 5000(10 - x) = 68000
8000x + 50000 - 5000x = 68000
3000x = 18000
x = 6
y = 10 - 6 = 4
따라서 어른 입장권은 6장, 청소년 입장권은 4장이다.
이 풀이처럼 한 식에서 한 문자를 다른 문자에 대한 식으로 바꾸어 넣는 방법을 대입법이라고 한다. 대입법은 x = ..., y = ...처럼 한 문자가 쉽게 정리될 때 쓰기 좋다.
반대로 두 식을 더하거나 빼서 한 문자를 없애는 방법도 있다. 이것을 가감법이라고 한다.
2x + y = 11
3x - y = 9
두 식을 더하면 y와 -y가 사라진다.
5x = 20
x = 4
첫 번째 식에 넣으면
2 × 4 + y = 11
8 + y = 11
y = 3
따라서 해는 x = 4, y = 3이다.
대입법과 가감법 중 어느 것이 항상 더 좋은 것은 아니다.
한 문자의 계수가 1이거나 -1이면 대입법이 편하다.
같은 문자 계수가 같거나 반대이면 가감법이 편하다.
계수가 다르면 양쪽 식에 적절한 수를 곱해 한 문자를 없앨 수 있다.
연립방정식은 나중에 함수의 그래프와도 연결된다. 두 일차방정식은 각각 직선으로 나타낼 수 있고, 두 조건을 동시에 만족하는 해는 두 직선이 만나는 점으로 볼 수 있다.
부등식의 해는 범위로 나타낸다
방정식이 "같다"를 다룬다면, 부등식은 "크다", "작다", "이상", "이하"를 다룬다.
a < b: a는 b보다 작다.a > b: a는 b보다 크다.a ≤ b: a는 b보다 작거나 같다.a ≥ b: a는 b보다 크거나 같다.
부등식도 양쪽에 같은 수를 더하거나 빼는 것은 괜찮다. 양쪽에 같은 양수를 곱하거나 양수로 나누어도 부등호 방향은 그대로이다.
예를 들어
3x - 4 < 8
양쪽에 4를 더한다.
3x < 12
양쪽을 3으로 나눈다.
x < 4
해는 4보다 작은 모든 수이다. 수직선에는 4를 포함하지 않으므로 빈 동그라미로 나타내고, 왼쪽을 칠한다.
←────○
4
반면 x ≤ 4라면 4도 포함하므로 색칠한 동그라미를 쓴다.
←────●
4
부등식의 답을 쓸 때는 "하나의 값"인지 "값의 범위"인지 구별해야 한다. x < 4는 x가 4라는 뜻이 아니라, 4보다 작은 모든 수가 가능하다는 뜻이다.
음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다
부등식에서 가장 자주 하는 실수는 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 그대로 두는 것이다.
수직선에서 2 < 5이다. 그런데 두 수에 -1을 곱하면 -2와 -5가 된다. 수직선에서는 -2가 -5보다 오른쪽에 있으므로
-2 > -5
가 된다. 음수를 곱하면 수의 위치가 0을 기준으로 반대편으로 뒤집히기 때문에 크고 작음도 뒤집힌다.
예를 들어 다음 부등식을 풀어 보자.
-2x + 3 ≤ 9
양쪽에서 3을 뺀다.
-2x ≤ 6
양쪽을 -2로 나눈다. 이때 부등호 방향이 바뀐다.
x ≥ -3
해는 -3 이상인 모든 수이다. 수직선에는 -3을 포함하므로 색칠한 동그라미를 쓰고, 오른쪽을 칠한다.
-3 ●────→
여기서 만약 부등호 방향을 바꾸지 않고 x ≤ -3이라고 쓰면, 원래 부등식에 맞지 않는 값들이 포함된다. 예를 들어 x = -4를 넣으면 왼쪽은 -2 × (-4) + 3 = 11이 되어 11 ≤ 9가 아니므로 틀리다. 이렇게 간단한 값을 넣어 확인해 보면 부등호 방향 실수를 잡을 수 있다.
식을 세우기 전에 조건을 먼저 읽는다
방정식과 부등식 문제에서 계산은 마지막 단계이다. 먼저 해야 할 일은 조건을 해석하는 것이다.
다음 네 가지를 습관처럼 확인하자.
무엇을 구하는가?
어떤 양을 문자로 둘 것인가?
어떤 조건이 서로 같거나 크고 작은가?
구한 값이 문제 상황에 맞는가?
특히 사람 수, 물건 수, 날짜처럼 자연수여야 하는 값이 있다. 방정식을 풀어 x = 2.5가 나왔더라도 사람 수를 묻는 문제라면 조건에 맞지 않는다. 부등식에서도 x > 3이 나왔다고 해서 답을 그대로 끝내면 안 되는 경우가 있다. "가장 작은 자연수"를 묻는다면 답은 4이다.
또한 문제에서 묻는 것이 항상 문자로 둔 값과 같지는 않다. 예를 들어 나이를 x로 두었는데 문제는 "3년 후의 나이"를 묻고 있다면, 마지막 답은 x가 아니라 x + 3이어야 한다. 방정식을 푼 뒤에는 반드시 처음 질문으로 돌아가야 한다.
자주 생기는 실수 정리
방정식과 부등식에서 실수는 대부분 정해져 있다.
문자를 정하지 않고 바로 식을 세운다.
단위를 맞추지 않는다. 분과 시간을 섞어 쓰거나, 퍼센트를 소수로 바꾸지 않는다.
괄호 앞의 음수를 괄호 안 모든 항에 곱하지 않는다.
부등식을 음수로 나누면서 부등호 방향을 바꾸지 않는다.
구한 값이 무엇을 뜻하는지 확인하지 않는다.
좋은 풀이는 계산이 길지 않은 풀이가 아니라, 조건이 정확히 드러나는 풀이다. 문장 속 조건을 식으로 바꾸는 힘은 이후 다항식, 함수, 도형의 활용 문제에서도 계속 쓰인다. 방정식과 부등식은 답을 맞히기 위한 기술이 아니라, 복잡한 조건을 차분히 정리하는 방법이다.
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