문자와 식으로 생각 표현하기

문자는 반복되는 계산을 한 번에 쓰는 도구

초등학교에서는 주로 수를 직접 계산했다. 예를 들어 공책 한 권이 800원일 때 3권의 가격은 이렇게 구한다.

800 × 3 = 2400

그런데 공책을 몇 권 살지 아직 정해지지 않았다면 어떻게 나타낼 수 있을까? 1권, 2권, 3권, 10권을 모두 따로 쓰면 다음과 같다.

마지막 줄에서 n은 '공책의 수'를 나타내는 문자이다. 이때 n은 이상한 기호가 아니라, 아직 정해지지 않았거나 여러 값으로 바뀔 수 있는 수를 대신 쓰는 이름이다.

수학에서 문자를 쓰는 까닭은 계산을 어렵게 만들기 위해서가 아니다. 같은 구조가 반복될 때 그 구조를 한 번에 표현하기 위해서이다.

곱셈 기호는 문자식에서 보통 생략한다.

• 800 × n = 800n

• 5 × x = 5x

• a × b = ab

• 1 × x = x

• -1 × x = -x

단, 숫자끼리의 곱셈에서는 곱셈 기호를 함부로 생략하지 않는다. 3 × 5를 35라고 쓰면 전혀 다른 수가 된다.

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생활 속 관계를 식으로 나타내기

문자식은 생활 속 수량 관계를 짧게 나타낼 때 힘을 발휘한다.

올해 나이를 x살이라고 하자. 그러면 3년 후의 나이는 x + 3살이고, 2년 전의 나이는 x - 2살이다. 여기서 x는 특정한 한 사람의 나이일 수도 있고, 여러 사람의 나이를 한꺼번에 나타내는 자리일 수도 있다.

가격도 마찬가지이다. 사과 한 개의 가격이 a원, 배 한 개의 가격이 b원일 때 사과 3개와 배 2개의 가격은 다음과 같다.

3a + 2b

만약 여기에서 1000원을 할인받는다면 실제로 내는 돈은

3a + 2b - 1000

이다.

거리 관계도 식으로 나타낼 수 있다. 속력이 시속 60km이고 t시간 동안 이동했다면 이동 거리는

60t km

이다. '거리 = 속력 × 시간'이라는 관계를 문자로 표현한 것이다.

도형에서도 문자는 자주 쓰인다. 가로가 a, 세로가 b인 직사각형의 둘레는

2a + 2b

이다. 이것은 가로가 두 번, 세로가 두 번 더해진다는 뜻이다.

2a + 2b = 2(a + b)

라고도 쓸 수 있다. 두 식은 모양은 다르지만 같은 관계를 나타낸다. 하나는 더해지는 부분을 그대로 보여 주고, 다른 하나는 공통으로 2가 묶여 있음을 보여 준다. 나중에 도형, 함수, 방정식을 배울 때도 이런 식의 해석이 계속 필요하다.

식을 정확히 읽기: 항, 계수, 차수, 동류항

문자식을 잘 다루려면 먼저 식을 정확히 읽어야 한다. 다음 식을 보자.

3x + 2y - 5x + 7

이 식은 덧셈으로 연결된 여러 조각으로 볼 수 있다. 이 조각을 항이라고 한다. 뺄셈은 음수를 더하는 것으로 생각하면 항을 더 정확히 나눌 수 있다.

3x + 2y - 5x + 7 = 3x + 2y + (-5x) + 7

따라서 항은 3x, 2y, -5x, 7이다.

계수는 문자에 곱해진 수이다. 3x에서 계수는 3이고, -5x에서 계수는 -5이다. 계수는 부호까지 포함해서 읽어야 한다.

차수는 문자가 몇 번 곱해져 있는지를 나타낸다. x는 x가 한 번 있으므로 차수가 1이다. x²은 x가 두 번 곱해진 것이므로 차수가 2이다.

4x² - 3x + 2

에서 4x²의 차수는 2, -3x의 차수는 1이다. 문자 없이 숫자만 있는 항을 상수항이라고 하며, 2는 이 식의 상수항이다. 상수항은 문자 부분이 없으므로 보통 차수를 0으로 본다.

동류항은 문자 부분이 완전히 같은 항이다. 3x와 -5x는 둘 다 문자 부분이 x이므로 동류항이다. 하지만 3x와 2y는 다르다. 2x와 2x²도 다르다. 문자 x가 들어 있다는 점은 같지만, 차수가 다르기 때문이다.

동류항을 구별하는 기준은 계수가 아니라 문자 부분이다.

• 7x와 -2x는 동류항이다.

• 5a와 5b는 동류항이 아니다.

• 3x²과 -x²은 동류항이다.

• x와 x²은 동류항이 아니다.

식 정리하기: 같은 종류끼리 모으기

식 정리는 동류항을 모아 더하는 과정이다. 다음 식을 정리해 보자.

3x + 2y - 5x + 7 + y - 2

먼저 동류항끼리 묶는다.

3x + 2y - 5x + 7 + y - 2 = (3x - 5x) + (2y + y) + (7 - 2)

각 묶음을 계산한다.

3x - 5x = -2x

2y + y = 2y + 1y = 3y

7 - 2 = 5

따라서 전체 식은

3x + 2y - 5x + 7 + y - 2 = -2x + 3y + 5

이다.

여기서 중요한 점은 문자 부분은 그대로 두고 계수만 계산한다는 것이다.

3x - 5x는 x가 3개 있는 것에서 x가 5개 있는 것을 빼는 것과 같다. 같은 종류끼리 계산하므로 3 - 5 = -2가 되어 -2x가 된다.

하지만 3x + 2는 5x가 될 수 없다. 3x는 x가 3개 있다는 뜻이고, 2는 그냥 숫자 2이다. 종류가 다르므로 더 이상 합칠 수 없다.

예를 들어 x = 10이라면

3x + 2 = 3 × 10 + 2 = 32

이고,

5x = 5 × 10 = 50

이다. 값이 다르므로 3x + 2를 5x로 바꾸면 안 된다.

괄호 풀기와 분배법칙

괄호는 '먼저 한 덩어리로 보라'는 표시이다. 3(x + 4)를 생각해 보자. 이것은 x + 4라는 묶음이 3개 있다는 뜻이다.

3(x + 4) = (x + 4) + (x + 4) + (x + 4) = x + x + x + 4 + 4 + 4 = 3x + 12

그래서 다음 규칙이 나온다.

a(b + c) = ab + ac

이것을 분배법칙이라고 한다. 괄호 안의 각 항에 바깥의 수나 문자를 각각 곱해 주는 법칙이다.

예를 들어 보자.

2(3x - 5) = 2 × 3x + 2 × (-5) = 6x - 10

괄호 앞에 음수가 있을 때는 특히 조심해야 한다.

-(x - 4) = -1(x - 4) = (-1) × x + (-1) × (-4) = -x + 4

마이너스는 괄호 안의 첫 항에만 붙는 것이 아니다. 괄호 안의 모든 항에 영향을 준다.

다음 식을 정리해 보자.

3(x + 2) - 2(x - 5)

먼저 괄호를 푼다.

3(x + 2) - 2(x - 5) = 3x + 6 - 2x + 10

왜 마지막이 +10인지 확인하자. -2(x - 5)는 -2 × x + (-2) × (-5)이므로 -2x + 10이다.

이제 동류항을 모은다.

3x + 6 - 2x + 10 = (3x - 2x) + (6 + 10) = x + 16

괄호 풀기는 단순한 계산 기술이 아니라, 식의 구조를 바꾸어 보기 쉽게 만드는 방법이다. 나중에 인수분해를 배울 때는 이 과정을 거꾸로 사용한다.

6x + 9 = 3(2x + 3)

처럼 공통으로 들어 있는 수를 다시 묶어 내는 것이다.

식의 값 구하기: 대입은 괄호로 시작한다

문자에 특정한 수를 넣어 식의 값을 구하는 일을 대입이라고 한다. 대입할 때는 문자를 지우고 숫자를 넣는다고만 생각하면 실수가 생긴다. 특히 음수와 분수는 괄호를 사용해 넣는 습관이 필요하다.

다음 식의 값을 구해 보자.

2x² - 3x + 1, x = -2

x 자리에 -2를 넣는다.

2x² - 3x + 1 = 2 × (-2)² - 3 × (-2) + 1

거듭제곱을 먼저 계산한다.

(-2)² = (-2) × (-2) = 4

따라서

2 × (-2)² - 3 × (-2) + 1 = 2 × 4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15

여기서 흔한 실수는 (-2)²을 -4로 계산하는 것이다. (-2)²은 -2 전체를 두 번 곱하므로 양수 4이다. 반면 -2²은 -(2²)로 해석되어 -4가 된다. 괄호 하나가 값 전체를 바꿀 수 있다.

분수 대입도 차분히 계산해야 한다.

4x - 6, x = 1/2

4x - 6 = 4 × (1/2) - 6 = 2 - 6 = -4

분수를 대입할 때도 곱셈 기호를 되살려 쓰면 실수가 줄어든다. 4x를 4 × x로 읽는 습관이 중요하다.

대표 유형: 문장 조건을 식으로 바꾸기

문제에서 식을 세울 때는 먼저 무엇을 문자로 둘지 정해야 한다.

예를 들어 한 자루에 a원인 볼펜 4자루와 한 권에 b원인 공책 3권을 사고, 500원을 할인받았다고 하자. 실제로 낸 돈을 식으로 나타내면 다음과 같다.

볼펜 4자루의 가격: 4a

공책 3권의 가격: 3b

할인: -500

따라서 실제로 낸 돈은

4a + 3b - 500

이다.

만약 a = 700, b = 1200이라면 식의 값은

4a + 3b - 500 = 4 × 700 + 3 × 1200 - 500 = 2800 + 3600 - 500 = 6400 - 500 = 5900

이다.

이 과정에서 중요한 것은 계산보다 해석이다. 4a는 'a를 4번 더한 가격'이고, 3b는 'b를 3번 더한 가격'이다. 할인은 전체 가격에서 빼야 하므로 -500이 붙는다.

실수하기 쉬운 지점 정리

문자식에서 자주 생기는 실수는 대부분 의미를 놓칠 때 생긴다.

첫째, 동류항이 아닌 항을 합치면 안 된다.

3x + 2는 더 이상 간단히 할 수 없다.

둘째, 계수의 부호를 빼먹으면 안 된다.

4x - 7x는 4x + 7x가 아니라

4x - 7x = -3x

이다.

셋째, 괄호 앞의 음수는 괄호 안의 모든 항에 곱해진다.

5 - (2x - 3) = 5 - 2x + 3 = 8 - 2x

이다. 5 - 2x - 3으로 쓰면 괄호 안의 -3에 붙은 부호 변화를 놓친 것이다.

넷째, 대입할 때 음수와 분수는 괄호를 사용한다.

x = -3일 때 x²은

(-3)² = 9

이다. 괄호 없이 계산하면 다른 식이 될 수 있다.

문자를 쓰면 생각이 넓어진다

문자는 하나의 답을 쓰기 위한 도구가 아니다. 여러 경우를 한꺼번에 다루기 위한 도구이다.

정사각형을 성냥개비로 한 줄로 이어 붙인다고 하자. 정사각형 1개에는 성냥개비 4개가 필요하다. 그런데 정사각형을 하나 더 붙이면 한 변을 함께 쓰므로 4개가 아니라 3개만 더 필요하다.

처음 1개에 4개가 필요하고, 그 뒤로는 정사각형이 하나 늘 때마다 3개씩 늘어난다. 정사각형이 n개라면 성냥개비 수는

4 + 3(n - 1)

이다. 괄호를 풀면

4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1

이다.

따라서 정사각형이 n개일 때 성냥개비는 3n + 1개 필요하다.

이 식 하나에는 1개, 2개, 10개, 100개인 경우가 모두 들어 있다. 이것이 문자의 힘이다. 문자는 계산을 숨기는 기호가 아니라, 규칙을 드러내는 언어이다. 앞으로 배우는 방정식, 함수, 다항식은 모두 이 언어를 더 정확하고 넓게 사용하는 방법이다.