수의 세계 확장하기

수가 넓어지는 이유

초등학교에서 처음 만나는 수는 보통 자연수이다. 1, 2, 3처럼 물건의 개수를 셀 때 쓰는 수이다. 자연수만으로도 많은 계산을 할 수 있지만, 모든 상황을 설명하기에는 부족하다.

예를 들어 보자.

• 3개를 가지고 있는데 5개를 빼야 한다면?

• 지하 2층은 1층보다 얼마나 낮다고 표현할까?

• 피자 1판을 4명이 똑같이 나누면 한 사람은 얼마를 먹을까?

• 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이는 어떤 수일까?

이 질문들 때문에 수의 세계는 자연수에서 정수, 유리수, 무리수로 넓어진다. 중요한 것은 새 수가 갑자기 외울 대상으로 등장하는 것이 아니라, 기존의 수로 설명하기 어려운 상황을 해결하려고 만들어진다는 점이다.

이번 장에서는 수가 넓어지는 과정을 따라가며 계산 규칙이 왜 그렇게 되는지 살펴본다.

AI 생성 이미지

소인수분해: 수를 작은 재료로 나누기

자연수의 구조를 가장 잘 보여 주는 방법은 소인수분해이다. 여기서 말하는 소수는 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 1보다 큰 자연수이다. 2, 3, 5, 7, 11이 대표적인 소수이다.

소인수분해는 어떤 자연수를 소수들의 곱으로 나타내는 것이다.

예를 들어 84를 나누어 보자.

84 = 2 × 42
   = 2 × 2 × 21
   = 2 × 2 × 3 × 7
   = 2² × 3 × 7

즉 84는 2, 3, 7이라는 소수 재료로 만들어진 수이다.

소인수분해가 중요한 이유는 약수와 배수를 체계적으로 찾을 수 있기 때문이다. 무작정 나누어 보는 것보다 훨씬 안정적이다.

84 = 2² × 3 × 7이므로, 84의 약수는 다음과 같은 모양이다.

2의 지수: 0, 1, 2 중 하나
3의 지수: 0, 1 중 하나
7의 지수: 0, 1 중 하나

예를 들어 2¹ × 3⁰ × 7¹ = 14이므로 14는 84의 약수이다. 3⁰은 1이므로 계산에서 사라진 것처럼 보일 뿐이다.

약수의 개수도 알 수 있다.

84 = 2² × 3¹ × 7¹
약수의 개수 = (2 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1)
            = 3 × 2 × 2
            = 12

지수에 1을 더하는 까닭은 2²에서 2를 0번, 1번, 2번 사용하는 세 가지 선택이 있기 때문이다.

최대공약수와 최소공배수는 공통 재료를 보는 계산

두 수 60과 84의 최대공약수와 최소공배수를 구해 보자.

60 = 2² × 3 × 5
84 = 2² × 3 × 7

최대공약수는 두 수가 함께 가진 약수 중 가장 큰 수이다. 그래서 두 수가 공통으로 가진 소수 재료만 고르고, 지수는 더 작은 쪽을 선택한다.

공통 재료: 2², 3
최대공약수 = 2² × 3
          = 4 × 3
          = 12

최소공배수는 두 수의 공통 배수 중 가장 작은 수이다. 60도 나누어떨어지고 84도 나누어떨어져야 하므로, 두 수에 필요한 재료를 빠짐없이 가져야 한다. 지수는 더 큰 쪽을 선택한다.

필요한 재료: 2², 3, 5, 7
최소공배수 = 2² × 3 × 5 × 7
          = 4 × 3 × 5 × 7
          = 420

정리하면 다음과 같다.

실수하기 쉬운 부분은 최대공약수와 최소공배수를 같은 방식으로 구하는 것이다. 최대공약수는 공통 재료만 본다. 최소공배수는 필요한 재료를 모두 모은다.

정수: 0을 기준으로 방향을 가진 수

자연수에 0과 음수를 더하면 정수가 된다.

..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

정수는 수직선 위에서 이해하면 가장 자연스럽다.

← 작아짐                         커짐 →
-5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5

양수는 0보다 오른쪽에 있는 수이고, 음수는 0보다 왼쪽에 있는 수이다. 절댓값은 0에서 떨어진 거리이다.

|3| = 3
|-3| = 3

3과 -3은 방향은 다르지만 0에서 떨어진 거리는 같다. 그래서 절댓값은 항상 0 이상이다.

정수의 덧셈은 움직임으로 보면 이해하기 쉽다.

2 + 3

0에서 오른쪽으로 2칸 간 뒤, 다시 오른쪽으로 3칸 간다. 결과는 5이다.

2 + (-3)

0에서 오른쪽으로 2칸 간 뒤, 왼쪽으로 3칸 간다. 결과는 -1이다.

계산으로 쓰면 다음과 같다.

2 + (-3) = -1

이때 부호 규칙은 외울 수도 있지만, 수직선에서 방향을 생각하면 덜 헷갈린다.

• 같은 부호끼리 더하면 절댓값을 더하고, 공통 부호를 붙인다.

• 다른 부호끼리 더하면 절댓값의 차를 구하고, 절댓값이 큰 수의 부호를 붙인다.

예를 들어 보자.

(-7) + (-4) = -(7 + 4)
            = -11

(-8) + 3 = -(8 - 3)
         = -5

뺄셈은 더 헷갈리기 쉽다. 정수에서 뺄셈은 반대 방향의 덧셈으로 바꾼다.

5 - 2 = 5 + (-2) = 3
5 - (-2) = 5 + 2 = 7

왜 음수를 빼면 더하는 것처럼 될까? 빼는 수는 움직임을 취소한다는 뜻이다. -2를 빼는 것은 왼쪽으로 2칸 가는 움직임을 취소하는 것이므로, 오른쪽으로 2칸 가는 것과 같다.

유리수: 나눗셈의 결과까지 품는 수

정수만으로는 나눗셈의 결과를 모두 표현할 수 없다.

1 ÷ 2 = 1/2
3 ÷ 4 = 3/4

이처럼 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수를 유리수라고 한다. 단, 분모는 0이 될 수 없다.

유리수 = a/b 꼴로 나타낼 수 있는 수
단, a와 b는 정수이고 b ≠ 0

분수, 정수, 유한소수, 순환소수는 모두 유리수이다. 정수도 분모가 1인 분수로 볼 수 있기 때문이다.

3 = 3/1
-5 = -5/1
0 = 0/1

유리수도 수직선 위의 점으로 나타낼 수 있다. 1/2은 0과 1 사이를 똑같이 둘로 나눈 지점이다. -3/4은 0과 -1 사이를 넷으로 나누었을 때 -1에 가까운 쪽의 세 번째 지점이다.

-1      -3/4      -1/2      -1/4       0        1/4       1/2       3/4        1
|---------|---------|---------|---------|---------|---------|---------|---------|

따라서 유리수의 대소 비교도 수직선을 생각하면 쉽다. 오른쪽에 있는 수가 더 크다.

소수와 분수는 같은 수를 다르게 쓴 것

분수는 소수로 바꿀 수 있다. 이때의 소수는 0.25나 0.333...처럼 소수점이 있는 수를 말한다. 어떤 분수는 나눗셈이 끝나고, 어떤 분수는 같은 숫자가 반복된다.

1/4 = 0.25
1/3 = 0.333...

0.25처럼 끝나는 소수를 유한소수라고 한다. 0.333...처럼 일정한 숫자가 반복되는 소수를 순환소수라고 한다. 둘 다 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다.

유한소수를 분수로 바꾸는 방법은 자릿값을 이용한다.

0.25 = 25/100
     = 1/4

순환소수는 반복되는 부분을 없애도록 식을 빼면 된다.

x = 0.333...
10x = 3.333...
10x - x = 3.333... - 0.333...
9x = 3
x = 3/9
x = 1/3

다른 예도 보자.

x = 0.272727...
100x = 27.272727...
100x - x = 27.272727... - 0.272727...
99x = 27
x = 27/99
x = 3/11

반복되는 숫자가 두 자리이므로 100을 곱했다. 반복되는 부분을 소수점 왼쪽으로 똑같이 이동시켜 빼기 위해서이다.

여기서 중요한 생각은 이것이다. 소수와 분수는 서로 다른 종류의 수가 아니다. 같은 유리수를 나타내는 두 가지 표현이다. 문제에 따라 분수가 편할 때도 있고 소수가 편할 때도 있다.

제곱근: 어떤 수를 제곱해서 나오는 수 찾기

이번에는 새로운 질문을 해 보자.

어떤 수를 제곱하면 9가 될까?

3² = 9이고 (-3)² = 9이다. 따라서 9의 제곱근은 3과 -3이다. 제곱근은 어떤 수를 제곱했을 때 주어진 수가 되는 수이다.

9의 제곱근: 3, -3
16의 제곱근: 4, -4

양의 제곱근을 간단히 나타낼 때 √ 기호를 쓴다.

√9 = 3
√16 = 4

주의할 점은 √9가 3과 -3을 모두 뜻하지 않는다는 것이다. √9는 양의 제곱근인 3을 뜻한다. 9의 제곱근을 모두 쓰라고 하면 ±3이라고 쓴다.

9의 제곱근 = ±3
√9 = 3

무리수: 분수로 나타낼 수 없는 수

한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선 길이를 생각해 보자. 피타고라스 정리를 배우면 이 길이의 제곱이 2라는 것을 알 수 있다.

대각선의 길이를 x라고 하면
x² = 1² + 1²
x² = 2
x = √2

그런데 √2는 분수로 정확히 나타낼 수 없다. 소수로 쓰면 1.4142135...처럼 끝나지 않고, 일정한 반복도 없다. 이런 수를 무리수라고 한다.

유리수와 무리수를 합쳐 실수라고 한다. 중학교에서 다루는 수직선 위의 수는 실수로 생각하면 된다.

자연수 ⊂ 정수 ⊂ 유리수 ⊂ 실수
무리수도 실수에 포함된다.

수의 범위가 넓어질수록 이전 수가 사라지는 것이 아니다. 자연수는 정수 안에 있고, 정수는 유리수 안에 있다. 새로운 수는 이전 수로 해결하지 못한 상황을 설명하기 위해 추가된다.

근호가 있는 수의 크기 비교와 계산

근호가 있는 수의 크기는 제곱을 이용하면 비교하기 쉽다. 양수끼리는 제곱해도 크기의 순서가 바뀌지 않는다.

예를 들어 √5와 2를 비교해 보자.

2 = √4
√5 > √4
따라서 √5 > 2

√20과 5를 비교해 보자.

5 = √25
√20 < √25
따라서 √20 < 5

근호 안의 수가 완전제곱수를 포함하면 밖으로 꺼낼 수 있다. 완전제곱수는 1, 4, 9, 16, 25처럼 어떤 정수의 제곱인 수이다.

√12 = √(4 × 3)
    = √4 × √3
    = 2√3

√18 = √(9 × 2)
    = √9 × √2
    = 3√2

근호가 있는 수의 덧셈과 뺄셈은 근호 안이 같은 것끼리만 정리할 수 있다.

2√3 + 5√3 = 7√3

이는 사과 2개와 사과 5개를 더하면 사과 7개가 되는 것과 비슷하다. 하지만 √2와 √3은 서로 다른 종류처럼 다루어야 한다.

√2 + √3은 더 이상 간단히 합칠 수 없다.

곱셈은 다음처럼 계산할 수 있다.

√2 × √8 = √16
        = 4

또는 먼저 √8을 정리해도 된다.

√8 = √(4 × 2)
   = 2√2

√2 × √8 = √2 × 2√2
        = 2 × √2 × √2
        = 2 × 2
        = 4

두 방법 모두 같은 결과가 나온다. 계산 과정에서 근호를 무리하게 없애려고 하지 말고, 완전제곱수가 숨어 있는지 먼저 확인하는 습관이 중요하다.

자주 하는 실수 정리

수의 범위가 넓어질수록 실수도 다양해진다. 다음 네 가지를 특히 조심하자.

첫째, 음수의 덧셈과 뺄셈에서 부호만 보고 바로 계산하지 말고 수직선의 방향을 떠올린다.

-4 - 6 = -4 + (-6) = -10
-4 - (-6) = -4 + 6 = 2

둘째, 최대공약수와 최소공배수에서 지수 선택을 혼동하지 않는다.

최대공약수: 공통 소인수의 작은 지수
최소공배수: 모든 소인수의 큰 지수

셋째, 순환소수는 무리수가 아니다. 반복되는 소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다.

0.777... = 7/9

넷째, √ 기호는 양의 제곱근을 나타낸다.

√25 = 5
25의 제곱근 = ±5

수의 확장은 앞으로의 식과 그래프를 준비한다

이 장에서 배운 수들은 앞으로 계속 다시 등장한다. 정수와 유리수의 계산은 문자와 식의 계산으로 이어진다. 소인수분해는 약분, 통분, 인수분해의 감각을 만든다. 제곱근은 피타고라스 정리, 이차방정식, 도형의 길이 계산에서 필요하다.

수학에서 새 개념이 나올 때마다 이렇게 물어보면 좋다.

이 수는 어떤 상황을 설명하려고 필요한가?
기존의 수로는 무엇이 부족했는가?
계산 규칙은 수직선, 분해, 넓이 같은 그림으로 설명할 수 있는가?

수의 세계는 외워야 할 목록이 아니라 문제를 더 정확히 표현하기 위해 넓어진 도구 상자이다. 자연수에서 시작해 정수, 유리수, 제곱근과 무리수까지 이어지는 흐름을 이해하면, 이후의 문자식과 방정식도 훨씬 자연스럽게 받아들일 수 있다.