가능성과 확률의 첫걸음

어떤 일은 확실하고, 어떤 일은 알 수 없다

우리는 날마다 가능성을 생각합니다. 아침에 하늘이 흐리면 "오늘 비가 올까?" 하고 묻습니다. 체육 시간에 가위바위보를 할 때는 "이번에는 이길 수 있을까?" 하고 생각합니다. 주머니에서 사탕을 하나 꺼낼 때도 어떤 맛이 나올지 예상합니다.

가능성은 어떤 일이 일어날 수 있는 정도를 말합니다. 아직 결과를 보지 않았지만, 알고 있는 정보를 바탕으로 어느 일이 더 잘 일어날지 생각하는 것입니다.

먼저 일을 세 가지로 나누어 봅시다.

• 반드시 일어나는 일: 결과가 꼭 그렇게 되는 일입니다.

• 일어날 수 있는 일: 그럴 수도 있고 아닐 수도 있는 일입니다.

• 불가능한 일: 아무리 해도 일어나지 않는 일입니다.

예를 들어 보겠습니다.

주사위 하나를 던지면 1, 2, 3, 4, 5, 6 중 하나가 나옵니다. "1부터 6까지의 수 중 하나가 나온다"는 반드시 일어나는 일입니다. "3이 나온다"는 일어날 수 있는 일입니다. 하지만 "7이 나온다"는 불가능한 일입니다. 보통 주사위에는 7이 적힌 면이 없기 때문입니다.

주머니에 빨간 공만 5개 들어 있다면 공을 하나 뽑을 때 빨간 공이 나오는 일은 반드시 일어납니다. 파란 공이 나오는 일은 불가능합니다. 그런데 빨간 공 3개와 파란 공 2개가 들어 있다면 빨간 공도, 파란 공도 일어날 수 있는 결과가 됩니다.

가능성을 말할 때 중요한 것은 상황을 정확히 보는 것입니다. "그냥 운이야"라고 말하기 전에, 무엇이 들어 있는지, 어떤 결과가 가능한지, 그 결과들이 똑같이 나올 만한지 살펴보아야 합니다.

AI 생성 이미지

모든 결과가 똑같이 가능한 것은 아니다

동전을 던지면 앞면과 뒷면이 나올 수 있습니다. 보통의 동전이라면 앞면과 뒷면이 나올 가능성이 같다고 생각합니다. 동전의 두 면이 비슷하고, 특별히 한쪽으로 기울어져 있지 않기 때문입니다.

주사위도 마찬가지입니다. 보통의 정육면체 주사위는 여섯 면의 크기와 모양이 같아서 1부터 6까지가 나올 가능성이 같다고 생각합니다. 그래서 주사위를 던질 때 "1이 나올 가능성"과 "6이 나올 가능성"은 같습니다.

하지만 언제나 모든 결과가 똑같이 가능한 것은 아닙니다.

주머니에 빨간 공 4개와 파란 공 1개가 들어 있다고 합시다. 눈을 감고 공을 하나 뽑으면 빨간 공이 나올 가능성이 더 큽니다. 빨간 공이 더 많이 들어 있기 때문입니다. 이때 "빨간 공"과 "파란 공"이라는 두 가지 결과가 있다고 해서 가능성이 반반인 것은 아닙니다.

또 공의 크기가 다르면 생각이 더 복잡해집니다. 빨간 공은 작고 파란 공은 아주 크다면, 손에 잡힐 가능성이 단순히 개수만으로 정해지지 않을 수도 있습니다. 공을 잘 섞었는지, 안을 보지 않고 뽑는지도 중요합니다.

가능성을 따질 때는 다음 질문을 해 보면 좋습니다.

• 가능한 결과는 무엇 무엇인가?

• 각 결과가 나올 조건은 비슷한가?

• 어떤 결과가 더 많이 준비되어 있는가?

• 실험이 공평하게 이루어지고 있는가?

이 질문들은 찍기와 수학적 예상을 구분해 줍니다. 수학에서 가능성을 생각한다는 것은 느낌만 말하는 것이 아니라, 결과가 생기는 구조를 살피는 일입니다.

말로 나타낸 가능성

처음에는 가능성을 말로 표현할 수 있습니다.

• 반드시 일어난다.

• 일어날 가능성이 매우 크다.

• 일어날 가능성이 반반쯤이다.

• 일어날 가능성이 작다.

• 일어날 수는 있지만 거의 일어나지 않는다.

• 불가능하다.

예를 들어 주머니에 노란 공 9개와 초록 공 1개가 있다면 노란 공이 나올 가능성은 매우 큽니다. 초록 공도 일어날 수는 있지만 가능성은 작습니다. 검은 공이 하나도 없다면 검은 공이 나올 가능성은 없습니다.

말로 표현하면 상황을 쉽게 설명할 수 있습니다. 하지만 말만으로는 애매할 때가 있습니다. "가능성이 크다"가 어느 정도 큰지 사람마다 다르게 느낄 수 있습니다. 어떤 사람은 10번 중 6번쯤을 크다고 생각하고, 어떤 사람은 10번 중 9번쯤 되어야 크다고 생각할 수 있습니다.

그래서 가능성을 수로 나타내면 더 분명해집니다. 이때 분수와 비율이 등장합니다. 앞에서 배운 분수는 전체를 똑같이 나눈 조각만 뜻하지 않았습니다. 전체 중에서 어느 만큼인지 나타내는 수이기도 했습니다. 가능성도 "전체 가능한 경우 중에서 원하는 경우가 얼마나 되는가"로 생각할 수 있습니다.

가능성을 분수로 나타내기

가능한 결과들이 똑같이 일어날 수 있다고 생각할 수 있을 때, 가능성은 분수로 나타내기 쉽습니다.

동전을 한 번 던져 앞면이 나올 가능성을 생각해 봅시다. 가능한 결과는 앞면, 뒷면 두 가지입니다. 그중 앞면은 한 가지입니다.

따라서 앞면이 나올 가능성은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

[ frac{1}{2} ]

주사위를 한 번 던져 4가 나올 가능성은 어떨까요? 가능한 결과는 1, 2, 3, 4, 5, 6으로 모두 6가지입니다. 그중 4는 한 가지입니다.

[ frac{1}{6} ]

주사위를 한 번 던져 짝수가 나올 가능성도 생각해 봅시다. 짝수는 2, 4, 6입니다. 가능한 결과 6가지 중 원하는 결과가 3가지입니다.

[ frac{3}{6}=frac{1}{2} ]

이 말은 주사위를 던질 때 짝수가 나올 가능성과 홀수가 나올 가능성이 같다는 뜻입니다.

공 뽑기도 마찬가지입니다. 크기와 모양이 같은 공 5개가 주머니에 들어 있고, 그중 빨간 공이 3개, 파란 공이 2개라고 합시다. 공을 하나 뽑을 때 빨간 공이 나올 가능성은 전체 5개 중 빨간 공 3개이므로 (frac{3}{5})입니다. 파란 공이 나올 가능성은 (frac{2}{5})입니다.

여기서 조심할 점이 있습니다. 가능성을 분수로 나타낼 때는 모든 결과가 똑같이 가능한지 먼저 살펴야 합니다. 주사위의 면이 공평하지 않거나, 공의 크기가 서로 다르거나, 주머니 안을 보고 뽑는다면 단순히 개수만 세어서는 안 됩니다.

예상과 실제 결과는 다를 수 있다

동전을 10번 던지면 앞면이 꼭 5번 나오고 뒷면이 꼭 5번 나올까요? 그렇지 않습니다. 앞면이 7번 나올 수도 있고, 3번 나올 수도 있습니다. 심지어 10번 모두 앞면이 나올 수도 있습니다. 가능성은 (frac{1}{2})이지만, 짧은 실험에서는 결과가 정확히 반반으로 나오지 않을 수 있습니다.

이 점이 확률을 배울 때 매우 중요합니다. 가능성은 결과를 예측하게 도와주지만, 한 번 한 번의 결과를 반드시 맞히게 해 주지는 않습니다.

예를 들어 주사위를 던질 때 6이 나올 가능성은 (frac{1}{6})입니다. 그렇다고 해서 여섯 번 던지면 반드시 6이 한 번 나오는 것은 아닙니다. 한 번도 나오지 않을 수도 있고, 두 번 나올 수도 있습니다.

그렇다면 가능성을 왜 배울까요? 시행 횟수가 많아지면 전체적인 경향을 볼 수 있기 때문입니다. 동전을 10번 던졌을 때는 앞면이 8번 나올 수도 있습니다. 하지만 100번, 1000번처럼 많이 던지면 앞면과 뒷면의 비율은 점점 반반에 가까워지는 경향을 보입니다. 매번 정확히 같아지는 것은 아니지만, 큰 흐름이 드러나는 것입니다.

이것을 직접 해 보면 더 잘 이해할 수 있습니다.

1. 동전을 20번 던집니다.

2. 앞면과 뒷면이 나온 횟수를 표에 적습니다.

3. 친구들의 결과와 합쳐 봅니다.

4. 전체 횟수가 늘어났을 때 앞면의 비율이 어떻게 변하는지 살펴봅니다.

한 사람의 결과만 보면 들쑥날쑥할 수 있습니다. 하지만 여러 사람의 결과를 모으면 자료가 많아집니다. 앞 장에서 배운 표와 그래프를 이용하면, 가능성의 경향을 눈으로 확인할 수 있습니다. 자료와 가능성은 이렇게 연결됩니다.

앞에 나온 결과가 다음 결과를 정하지는 않는다

동전을 던졌는데 앞면이 세 번 연속 나왔다고 합시다. 그러면 다음에는 뒷면이 나올 가능성이 더 클까요? 보통의 동전이라면 그렇지 않습니다. 매번 동전을 새로 던질 때 앞면과 뒷면의 가능성은 다시 (frac{1}{2})입니다.

앞에서 앞면이 많이 나왔다고 해서 동전이 "이제 뒷면을 내야지" 하고 기억하는 것은 아닙니다. 주사위도 마찬가지입니다. 6이 여러 번 나오지 않았다고 해서 다음에는 6이 꼭 나와야 하는 것은 아닙니다.

이런 생각은 생활 속에서도 자주 필요합니다. "이번에는 운이 좋을 차례야"라고 말하고 싶을 때가 있지만, 실제로 다음 결과가 무엇으로 정해지는지 따져 보아야 합니다. 어떤 일은 이전 결과와 관계가 있고, 어떤 일은 관계가 없습니다.

예를 들어 공부를 꾸준히 하면 시험을 잘 볼 가능성이 커집니다. 이것은 노력과 결과 사이에 관계가 있기 때문입니다. 하지만 공평한 주사위를 던지는 일에서는 앞의 결과가 다음 결과를 직접 바꾸지 않습니다.

가능성을 배운다는 것은 단순히 운을 계산하는 일이 아닙니다. 어떤 정보가 결과에 영향을 주는지, 어떤 정보는 착각을 만들 뿐인지 구별하는 힘을 기르는 일입니다.

가능성은 더 현명하게 판단하게 해 준다

가능성을 알면 결과를 완전히 맞힐 수는 없어도 더 합리적으로 판단할 수 있습니다.

비가 올 가능성이 높다면 우산을 챙기는 것이 좋습니다. 주머니에 빨간 공이 훨씬 많다면 빨간 공이 나올 것이라고 예상할 수 있습니다. 주사위에서 1 하나를 바라기보다 짝수 2, 4, 6을 바라는 쪽이 가능성이 더 큽니다.

하지만 가능성이 크다고 해서 반드시 일어나는 것은 아닙니다. 가능성이 작다고 해서 절대로 일어나지 않는 것도 아닙니다. 그래서 가능성을 말할 때는 조심스럽게 말해야 합니다.

"무조건 돼."

"절대 안 돼."

이런 말보다,

"이 조건에서는 이쪽이 더 가능성이 커."

"가능성은 있지만 크지는 않아."

"결과를 더 잘 보려면 실험을 많이 해 보아야 해."

이렇게 말하는 것이 수학적인 태도입니다.

가능성과 확률은 찍기를 잘하게 해 주는 도구가 아닙니다. 우연이 섞인 상황에서 가능한 결과를 살펴보고, 공평한지 따져 보고, 말과 수로 조심스럽게 표현하게 해 주는 도구입니다. 이 힘은 앞으로 자료를 해석하고, 과학 실험을 이해하고, 생활 속 선택을 할 때도 큰 도움이 됩니다.