각도, 둘레, 넓이를 활용하는 도형 문제

도형 문제는 재고, 나누고, 다시 보는 일

도형 문제를 풀 때 많은 학생이 먼저 공식을 떠올립니다. 삼각형의 넓이, 직사각형의 둘레, 사각형의 각의 합처럼 외워 둔 말이 머릿속에 떠오르지요. 공식은 분명 도움이 됩니다. 하지만 공식은 출발점이라기보다, 도형을 살펴본 뒤 정리한 생각의 결과에 가깝습니다.

도형 문제에서 중요한 질문은 세 가지입니다.

• 무엇을 재고 있는가?

• 어떤 단위를 쓰고 있는가?

• 도형을 어떻게 나누거나 붙여 볼 수 있는가?

각도는 한 점에서 만나는 두 선이 얼마나 벌어져 있는지를 재는 것입니다. 둘레는 도형의 가장자리를 따라 한 바퀴 도는 길이입니다. 넓이는 도형의 안쪽을 얼마나 덮는지를 나타냅니다. 같은 도형을 보더라도 무엇을 묻는지에 따라 전혀 다른 생각이 필요합니다.

예를 들어 직사각형 모양의 운동장이 있습니다. 운동장 가장자리에 울타리를 치려면 둘레를 구해야 합니다. 운동장 바닥에 잔디를 깔려면 넓이를 구해야 합니다. 울타리는 테두리의 길이이고, 잔디는 바닥을 덮는 양입니다. 이 둘을 구별하는 것만으로도 도형 문제의 절반은 훨씬 쉬워집니다.

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각도기를 제대로 놓는 것이 먼저다

각도를 잴 때는 각도기 눈금만 잘 읽으면 된다고 생각하기 쉽습니다. 하지만 눈금을 읽기 전에 각도기를 정확히 놓아야 합니다. 각도기를 조금만 삐뚤게 놓아도 답이 달라집니다.

각도기를 사용할 때는 먼저 두 곳을 맞춥니다.

1. 각의 꼭짓점과 각도기의 중심을 맞춥니다.

2. 각의 한 변과 각도기의 기준선을 맞춥니다.

각의 꼭짓점은 두 변이 만나는 점입니다. 각도기의 중심은 보통 작은 구멍이나 표시로 나타나 있습니다. 이 둘이 어긋나면 각의 벌어진 정도를 제대로 잴 수 없습니다. 그다음 한 변을 각도기의 0도 선, 곧 기준선 위에 놓습니다.

이제 눈금을 읽습니다. 여기서 자주 하는 실수가 안쪽 눈금과 바깥쪽 눈금을 헷갈리는 것입니다. 각도기에는 보통 두 줄의 숫자가 있습니다. 한쪽은 왼쪽에서 오른쪽으로 커지고, 다른 한쪽은 오른쪽에서 왼쪽으로 커집니다. 어느 눈금을 읽어야 할지는 기준선이 어느 쪽 0도에서 시작했는지 보면 됩니다.

기준선이 오른쪽 0도에 맞춰져 있다면 오른쪽 0도에서 시작해 커지는 눈금을 읽습니다. 기준선이 왼쪽 0도에 맞춰져 있다면 왼쪽 0도에서 시작해 커지는 눈금을 읽습니다. 처음 숫자가 0에서 출발하는지 확인하면 눈금 선택이 쉬워집니다.

각도를 잰 뒤에는 어림으로 한 번 더 확인합니다. 직각은 90도입니다. 잰 각이 직각보다 작아 보이면 90도보다 작아야 합니다. 직각보다 크게 벌어져 보이면 90도보다 커야 합니다. 예각처럼 보이는데 130도라고 읽었다면 눈금을 반대로 읽었을 가능성이 큽니다.

삼각형의 세 각을 모으면 어떤 일이 생길까

삼각형의 세 각의 크기를 모두 더하면 180도입니다. 이 말을 그냥 외우면 오래 기억하기 어렵습니다. 직접 잘라 보거나 접어 보면 왜 그런지 눈으로 확인할 수 있습니다.

종이에 삼각형을 하나 그립니다. 세 꼭짓점의 각을 서로 다른 색으로 표시합니다. 그런 다음 세 각 부분을 잘라 한 점에 모아 붙여 봅니다. 세 각이 나란히 모이면 곧은 선을 이룹니다. 곧은 선이 만드는 각은 180도입니다. 그래서 삼각형의 세 각을 모두 더하면 180도가 됩니다.

접기로도 확인할 수 있습니다. 삼각형의 세 꼭짓점을 차례로 접어 한곳에 모아 보면, 세 각이 한 줄 위에 놓이는 모습을 볼 수 있습니다. 종이를 완전히 정확하게 접기는 어렵지만, 세 각이 곧은 각을 만든다는 사실을 눈으로 느낄 수 있습니다.

이 생각은 문제 해결에도 쓰입니다. 삼각형에서 두 각이 50도와 70도라면, 나머지 한 각은 얼마일까요? 세 각을 모두 더하면 180도이므로 먼저 알고 있는 두 각을 더합니다.

50도 + 70도 = 120도

180도에서 120도를 빼면 남은 각은 60도입니다.

중요한 것은 180이라는 숫자만 외우는 것이 아닙니다. 삼각형의 세 각을 모으면 곧은 각이 된다는 장면을 떠올리는 것입니다. 그러면 문제 속 삼각형이 기울어져 있거나 뒤집혀 있어도 당황하지 않습니다.

사각형의 네 각은 삼각형 두 개로 볼 수 있다

사각형의 네 각의 합은 360도입니다. 이것도 잘라서 확인할 수 있습니다. 사각형의 네 각을 잘라 한 점에 모아 보면 한 바퀴를 이룹니다. 한 바퀴는 360도입니다.

또 다른 방법은 사각형에 대각선을 하나 긋는 것입니다. 대각선은 마주 보는 두 꼭짓점을 이은 선분입니다. 사각형에 대각선을 하나 그으면 삼각형 두 개로 나뉩니다.

삼각형 하나의 세 각의 합은 180도입니다. 삼각형 두 개가 있으므로 180도 + 180도 = 360도입니다. 그래서 사각형의 네 각의 합은 360도입니다.

이 방법은 단순히 각의 합을 구하는 데서 끝나지 않습니다. 도형을 잘라 더 쉬운 도형으로 바꾸는 생각을 길러 줍니다. 어려운 사각형도 삼각형 두 개로 나누면 이미 아는 지식을 사용할 수 있습니다.

예를 들어 어떤 사각형의 세 각이 80도, 100도, 70도라고 합시다. 네 각의 합은 360도입니다. 알고 있는 세 각을 더하면 250도입니다. 따라서 나머지 한 각은 360도 - 250도 = 110도입니다.

계산보다 먼저 확인할 것도 있습니다. 답이 20도처럼 너무 작거나 200도처럼 너무 크다면 도형의 모양과 맞는지 살펴보아야 합니다. 각도 문제에서도 어림은 계산 실수를 찾는 좋은 도구입니다.

둘레는 가장자리, 넓이는 안쪽

둘레와 넓이는 모두 도형의 크기를 다루지만, 전혀 다른 양입니다. 둘레는 길이이고, 넓이는 면입니다.

책상 위에 직사각형 종이를 놓아 봅시다. 손가락으로 종이의 가장자리를 따라 한 바퀴 돌면 둘레를 느낄 수 있습니다. 색종이로 종이 위를 빈틈없이 덮는다고 생각하면 넓이를 느낄 수 있습니다.

둘레의 단위는 cm, m처럼 길이 단위를 씁니다. 넓이의 단위는 cm², m²처럼 제곱 단위를 씁니다. 단위를 보면 내가 무엇을 구했는지 확인할 수 있습니다.

직사각형의 둘레를 구할 때는 네 변의 길이를 모두 더합니다. 가로가 6cm, 세로가 4cm인 직사각형이라면 둘레는 6 + 4 + 6 + 4 = 20cm입니다. 같은 길이가 두 번씩 나오므로 (6 + 4) × 2로 구할 수도 있습니다.

넓이는 다릅니다. 직사각형 안을 1cm²짜리 작은 정사각형으로 덮는다고 생각합니다. 가로로 6칸, 세로로 4줄이 놓이면 모두 6 × 4 = 24칸입니다. 그래서 넓이는 24cm²입니다.

둘레가 크다고 해서 넓이가 반드시 큰 것은 아닙니다. 길고 가느다란 모양은 둘레가 길어도 안쪽 넓이는 작을 수 있습니다. 반대로 비슷한 둘레라도 모양이 더 넓게 퍼져 있으면 넓이가 커질 수 있습니다. 그러므로 문제에서 울타리, 끈, 테두리, 가장자리라는 말이 나오면 둘레를 떠올리고, 바닥, 벽, 색칠, 덮기, 타일이라는 말이 나오면 넓이를 떠올려 봅니다.

복합도형은 익숙한 도형으로 바꾸어 본다

복합도형은 직사각형, 삼각형, 정사각형 같은 도형이 여러 개 붙어 있는 모양입니다. 처음 보면 복잡해 보이지만, 잘라 보면 익숙한 도형이 숨어 있습니다.

복합도형의 넓이를 구하는 방법은 여러 가지입니다.

첫째, 잘라서 더하기입니다. ㄱ자 모양 도형을 직사각형 두 개로 나누어 각각의 넓이를 구한 뒤 더합니다. 이때 나누는 방법은 하나만 있는 것이 아닙니다. 세로로 자를 수도 있고 가로로 자를 수도 있습니다. 어느 쪽이든 빠진 부분 없이, 겹친 부분 없이 나누면 됩니다.

둘째, 큰 도형에서 빼기입니다. ㄱ자 모양을 큰 직사각형 안에 들어 있는 모양으로 볼 수 있습니다. 먼저 큰 직사각형의 넓이를 구하고, 비어 있는 작은 직사각형의 넓이를 뺍니다. 복잡한 모양이 오히려 한 번에 보일 때 이 방법이 편합니다.

셋째, 옮겨 붙이기입니다. 도형의 한 부분을 잘라 다른 곳에 붙였다고 생각하면 익숙한 직사각형이나 평행사변형이 될 때가 있습니다. 실제로 종이를 잘라 움직여 보면 넓이는 변하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 모양은 달라져도 덮는 양이 같다면 넓이는 같습니다.

예를 들어 계단 모양 도형이 있다고 합시다. 작은 직사각형 여러 개로 나누어 더할 수도 있고, 전체를 감싸는 큰 직사각형에서 빈칸을 뺄 수도 있습니다. 두 방법의 답은 같아야 합니다. 서로 다른 방법으로 같은 답이 나오면 풀이가 맞는지 확인하는 데 도움이 됩니다.

복합도형 문제에서 실수하기 쉬운 부분은 보이지 않는 길이입니다. 그림에 모든 변의 길이가 적혀 있지 않아도, 전체 길이와 부분 길이의 관계를 이용해 빈 길이를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 가로 전체가 10cm이고 그중 한 부분이 6cm라면, 나머지 가로 길이는 4cm입니다. 이때 마음대로 길이를 정하면 안 됩니다. 가로 전체 길이와 나누어진 부분들의 합, 세로 전체 길이와 나누어진 부분들의 합이 서로 맞는지 확인해야 합니다.

공식보다 먼저 도형에 말을 걸기

도형 문제를 풀 때는 바로 계산하지 말고 도형에 말을 걸어 보듯이 질문해 봅니다.

• 이 문제는 각도, 둘레, 넓이 중 무엇을 묻고 있을까?

• 기준이 되는 선, 꼭짓점, 단위는 무엇일까?

• 이 도형을 삼각형이나 직사각형으로 나눌 수 있을까?

• 큰 도형에서 빈 부분을 빼면 더 쉬울까?

• 답의 단위는 cm일까, cm²일까, 도일까?

이 질문들은 공식을 대신하는 것이 아니라, 공식을 제대로 쓰게 도와줍니다. 직사각형의 넓이를 가로 × 세로로 구하는 까닭은 가로 칸 수와 세로 줄 수를 곱해 전체 칸 수를 세기 때문입니다. 삼각형의 세 각의 합이 180도인 까닭은 세 각을 모으면 곧은 각이 되기 때문입니다. 사각형의 네 각의 합이 360도인 까닭은 삼각형 두 개로 나누어 볼 수 있기 때문입니다.

공식은 외워야 할 짐이 아닙니다. 여러 번 재고, 접고, 자르고, 붙여 보며 발견한 규칙을 짧게 적어 둔 말입니다. 그래서 도형 문제를 잘 푸는 힘은 손으로 해 본 경험에서 자랍니다. 종이를 접어 각을 모아 보고, 모눈종이에 넓이를 세어 보고, 복잡한 도형을 색연필로 나누어 보세요. 그러면 도형은 어려운 그림이 아니라, 생각을 펼쳐 볼 수 있는 수학의 장면이 됩니다.