길이, 넓이, 부피와 단위의 감각

측정은 '무엇으로 몇 번'인지 정하는 일

책상의 길이를 손바닥으로 재어 봅시다. 어떤 친구는 8뼘, 어떤 친구는 10뼘이라고 말할 수 있습니다. 책상은 그대로인데 왜 답이 다를까요? 손바닥의 크기가 서로 다르기 때문입니다.

이번에는 같은 클립으로 책상 길이를 재면 어떨까요? 모두 같은 클립을 사용한다면 답이 훨씬 비슷해집니다. 여기서 중요한 생각이 나옵니다. 측정은 단순히 숫자를 말하는 일이 아니라, '무엇을 단위로 삼아 몇 번 들어가는지' 세는 일입니다.

그래서 측정값에는 늘 단위가 붙어야 합니다. '12'라고만 하면 길이인지, 무게인지, 넓이인지 알 수 없습니다. '12cm', '12kg', '12cm²'처럼 단위를 붙여야 실제 크기를 떠올릴 수 있습니다. 계산은 맞았는데 단위를 잘못 쓰면 현실에서는 전혀 다른 말이 됩니다.

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손바닥에서 자로, 임의 단위에서 표준 단위로

처음에는 손바닥, 발걸음, 연필, 종이 조각처럼 주변 물건으로 길이를 잴 수 있습니다. 이런 단위를 임의 단위라고 합니다. 임의 단위는 측정의 뜻을 이해하는 데 좋습니다. 하지만 사람마다, 물건마다 크기가 달라서 멀리 있는 사람과 정확히 비교하기 어렵습니다.

그래서 모두가 함께 쓰기로 정한 표준 단위가 필요합니다. 길이에서는 mm, cm, m, km 같은 단위를 씁니다.

• 1cm는 자에서 작은 칸 10개가 모인 길이입니다.

• 1m는 100cm입니다.

• 1km는 1000m입니다.

단위는 상황에 맞게 골라야 합니다. 지우개의 길이는 cm로 재는 것이 편합니다. 교실의 길이는 m가 알맞습니다. 집에서 학교까지의 거리는 km로 말하면 더 자연스럽습니다. 만약 학교까지의 거리를 cm로 말하면 숫자가 너무 커져서 오히려 알아보기 어렵습니다.

좋은 측정은 먼저 어림하는 것에서 시작됩니다. '내 책상은 50cm쯤 될까, 1m쯤 될까?' 하고 생각한 뒤 실제로 재면 단위 감각이 자랍니다. 자의 눈금을 읽는 것도 중요하지만, 그 전에 이 길이가 어느 정도인지 머릿속에 그림이 있어야 합니다.

들이와 무게는 비슷해 보여도 다르다

우유갑에는 1L, 생수병에는 500mL라고 쓰여 있습니다. 이것은 들이를 나타냅니다. 들이는 그릇이나 병에 얼마나 담을 수 있는지를 말합니다. 물, 주스, 우유처럼 담아 보는 양을 생각할 때 자주 씁니다.

• 1L는 1000mL입니다.

• 작은 컵 한 컵이 약 200mL라면, 5컵 정도가 1L입니다.

• 500mL 물병 2개는 1L와 같습니다.

무게는 물건이 얼마나 무거운지를 나타냅니다. 무게를 잴 때는 g과 kg을 많이 씁니다.

• 1kg은 1000g입니다.

• 클립 하나는 대략 1g에 가까운 아주 가벼운 물건입니다.

• 사과 한 개는 보통 몇백 g 정도입니다.

• 쌀 한 포대는 몇 kg처럼 kg 단위로 말하는 것이 편합니다.

들이와 무게는 서로 다릅니다. 같은 크기의 상자라도 솜을 넣으면 가볍고, 돌을 넣으면 무겁습니다. 겉으로 차지하는 공간이 비슷해도 무게는 달라질 수 있습니다. 반대로 1kg의 솜과 1kg의 쇠는 무게는 같지만 차지하는 공간은 아주 다릅니다.

그래서 문제를 읽을 때 '담을 수 있는 양'을 묻는지, '얼마나 무거운지'를 묻는지 살펴야 합니다. 단위가 L, mL이면 들이이고, g, kg이면 무게입니다.

넓이는 바닥을 덮는 칸의 수

길이는 한 줄로 잽니다. 그렇다면 책상 위나 운동장 바닥처럼 평평한 부분의 크기는 어떻게 잴까요? 이때 필요한 것이 넓이입니다. 넓이는 어떤 평면을 얼마나 많이 덮는지를 나타냅니다.

가장 쉬운 방법은 똑같은 정사각형 칸으로 덮어 보는 것입니다. 한 변이 1cm인 정사각형의 넓이를 1cm²라고 합니다. 읽을 때는 '1제곱센티미터'라고 합니다.

직사각형을 칸으로 그려 봅시다.

가로로 5칸, 세로로 3칸인 직사각형이 있습니다. 맨 아래 줄에 5칸이 있고, 그런 줄이 3줄 있습니다. 그러면 전체 칸 수는

5 + 5 + 5 = 15

입니다. 이것을 곱셈으로 쓰면

5 × 3 = 15

입니다. 그래서 직사각형의 넓이는

가로 × 세로

로 구할 수 있습니다.

이 공식은 갑자기 외우라고 생긴 말이 아닙니다. 같은 크기의 칸이 가로로 몇 개, 세로로 몇 줄 있는지 세는 과정에서 나온 것입니다. 가로가 5cm, 세로가 3cm라면 넓이는 15cm²입니다. 여기서 단위가 cm가 아니라 cm²인 까닭은 길이를 잰 것이 아니라 정사각형 칸의 개수를 센 것이기 때문입니다.

넓이를 배울 때 자주 헷갈리는 것이 둘레입니다. 둘레는 도형의 가장자리를 한 바퀴 돈 길이입니다. 넓이는 안쪽을 덮는 정도입니다. 테두리에 리본을 붙이면 둘레를 생각하는 것이고, 바닥에 종이를 깔면 넓이를 생각하는 것입니다.

부피는 쌓인 정육면체의 수

넓이가 바닥을 덮는 칸의 수라면, 부피는 공간을 채우는 작은 상자의 수로 생각할 수 있습니다. 한 변이 1cm인 작은 정육면체 하나의 부피를 1cm³라고 합니다. 읽을 때는 '1세제곱센티미터'라고 합니다.

상자를 작은 정육면체로 가득 채운다고 상상해 봅시다. 가로로 4개, 세로로 3개를 놓으면 바닥 한 층에는 12개가 들어갑니다.

4 × 3 = 12

그런 층이 위로 2층 쌓이면 전체 작은 정육면체는

12 × 2 = 24

개입니다. 그래서 직육면체의 부피는

가로 × 세로 × 높이

로 구할 수 있습니다.

이 공식도 외워서만 쓰는 말이 아닙니다. 바닥에 깔린 정육면체의 개수를 세고, 그 층이 몇 층인지 세는 생각에서 나옵니다.

cm³와 m³는 모두 부피의 단위이지만 크기는 매우 다릅니다. 1cm³는 작은 주사위 한 조각처럼 아주 작은 공간입니다. 1m³는 가로, 세로, 높이가 모두 1m인 큰 정육면체만 한 공간입니다. 1m는 100cm이므로, 1m³ 안에는 가로로 100개, 세로로 100개, 높이로 100개의 1cm³ 정육면체가 들어갑니다.

100 × 100 × 100 = 1,000,000

따라서 1m³는 1,000,000cm³입니다. 숫자만 보면 1m와 100cm가 같은 길이라는 사실은 쉽게 보이지만, 부피에서는 세 방향으로 늘어나기 때문에 차이가 훨씬 커집니다.

들이와 부피는 서로 이어져 있다

들이와 부피는 완전히 떨어진 개념이 아닙니다. 물을 담는 병을 생각해 봅시다. 병 안의 빈 공간이 클수록 더 많은 물을 담을 수 있습니다. 그래서 들이는 '담을 수 있는 양'이고, 부피는 '차지하는 공간의 크기'라고 볼 수 있습니다.

초등 수학에서는 1mL가 1cm³와 같은 크기의 공간에 해당한다는 관계도 만납니다. 그래서 1000mL는 1L이고, 1000cm³와도 연결됩니다. 다만 문제에서 무엇을 묻는지에 따라 단위를 골라야 합니다. 물병의 용량은 L나 mL로 말하는 것이 자연스럽고, 상자의 공간 크기는 cm³나 m³로 말하는 것이 자연스럽습니다.

단위가 바뀌면 숫자도 바뀐다

같은 길이도 단위를 바꾸면 숫자가 달라집니다.

150cm = 1m 50cm = 1.5m

세 표현은 모두 같은 길이를 나타냅니다. 숫자가 달라졌다고 실제 길이가 달라진 것은 아닙니다. 단위가 달라졌기 때문에 숫자의 모양이 바뀐 것입니다.

단위 변환을 할 때는 '0을 붙인다', '소수점을 옮긴다'만 외우면 실수하기 쉽습니다. 먼저 더 큰 단위와 더 작은 단위의 관계를 떠올려야 합니다.

• 1m는 100cm입니다.

• 1km는 1000m입니다.

• 1L는 1000mL입니다.

• 1kg은 1000g입니다.

또한 계산할 때는 같은 단위끼리 더하고 빼야 합니다. 1m와 30cm를 더할 때 1 + 30 = 31이라고 하면 안 됩니다. 1m를 100cm로 바꾸면 100cm + 30cm = 130cm입니다. 또는 30cm를 0.3m로 바꾸면 1m + 0.3m = 1.3m입니다.

측정 문제를 풀 때의 생각 순서

측정 문제에서는 계산보다 먼저 상황을 보아야 합니다.

1. 무엇을 재는가? 길이, 들이, 무게, 넓이, 부피 중 무엇인지 확인합니다.

2. 어떤 단위가 알맞은가? 작은 물건인지, 큰 거리인지, 담는 양인지 생각합니다.

3. 실제 크기를 어림할 수 있는가? 답이 현실적으로 맞는지 살펴봅니다.

4. 같은 단위끼리 계산했는가? 단위가 다르면 먼저 맞춥니다.

5. 답에 단위를 붙였는가? 숫자만 쓰지 않습니다.

수학에서 단위는 계산 뒤에 붙이는 장식이 아닙니다. 단위는 수가 현실의 어떤 크기를 말하는지 알려 주는 이름입니다. cm를 알고, L를 알고, kg을 알고, cm²와 cm³를 구별하면 숫자가 생활 속 장면으로 바뀝니다. 측정을 잘한다는 것은 자를 잘 읽는 것만이 아니라, 실제 크기를 상상하고 알맞은 단위로 말할 수 있다는 뜻입니다.