도형을 보고, 그리고, 분류하는 힘

도형은 이름보다 성질을 먼저 본다

교실 창문은 직사각형처럼 보입니다. 바닥 타일은 정사각형일 수도 있고, 책상 위 컵의 입구는 원처럼 보입니다. 우리는 생활 속에서 이미 많은 도형을 보고 있습니다. 그런데 수학에서 도형을 배울 때는 "이름이 무엇인가?"만 묻지 않습니다. 더 중요한 질문은 이것입니다.

• 어떤 선으로 둘러싸여 있는가?

• 변은 몇 개인가?

• 꼭짓점은 몇 개인가?

• 같은 길이의 변이 있는가?

• 직각이 있는가?

• 평평한 면인가, 둥근 면인가?

도형 공부는 모양을 외우는 단원이 아닙니다. 모양 속에서 성질을 찾아내고, 그 성질에 따라 이름을 붙이는 단원입니다. 같은 사각형이라도 어떤 것은 직사각형, 어떤 것은 마름모, 어떤 것은 평행사변형이 됩니다. 이름은 먼저 있는 것이 아니라, 관찰한 성질을 정리하기 위해 붙인 약속입니다.

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점, 선, 각: 도형을 이루는 작은 재료

도형을 말하려면 먼저 기본 재료를 알아야 합니다.

점은 위치를 나타냅니다. 종이에 연필 끝을 살짝 찍으면 점을 만들 수 있습니다. 점은 크기를 재기보다 "어디에 있는가"를 나타내는 표시입니다.

두 점을 자로 곧게 이으면 선분이 됩니다. 선분에는 시작점과 끝점이 있습니다. 그래서 길이를 잴 수 있습니다. 연필 한 자루의 끝에서 끝까지, 책상 모서리의 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지는 선분으로 생각할 수 있습니다.

직선은 끝없이 곧게 뻗어 나가는 선입니다. 실제 종이에는 끝없이 그릴 수 없지만, 수학에서는 양쪽으로 계속 이어진다고 생각합니다. 선분과 직선을 구별하는 것은 중요합니다. 선분은 양 끝이 있어서 길이를 잴 수 있고, 직선은 끝이 없다고 약속하기 때문입니다.

도형의 둘레를 이루는 선분을 변이라고 합니다. 삼각형에는 변이 3개, 사각형에는 변이 4개 있습니다. 변과 변이 만나는 점은 꼭짓점입니다.

두 선분이 한 점에서 만나 벌어진 모양을 각이라고 합니다. 문을 조금 열었을 때와 많이 열었을 때를 떠올려 봅시다. 문과 문틀 사이의 벌어진 정도가 달라집니다. 각은 바로 이런 '벌어짐'을 나타냅니다. 각이 얼마나 큰지는 다음에 더 자세히 다루지만, 도형을 분류할 때도 각은 중요한 기준이 됩니다.

삼각형은 세 변으로 끝나지 않는다

삼각형은 세 개의 선분으로 둘러싸인 도형입니다. 하지만 "변이 3개다"만 알고 있으면 삼각형을 충분히 이해했다고 하기 어렵습니다. 삼각형은 변의 길이와 각의 크기에 따라 더 나누어 볼 수 있습니다.

먼저 변의 길이를 봅시다.

• 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형은 정삼각형입니다.

• 두 변의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형입니다.

• 세 변의 길이가 모두 다른 삼각형도 있습니다.

이번에는 각을 봅시다.

• 한 각이 직각인 삼각형은 직각삼각형입니다.

• 한 각이 직각보다 큰 삼각형은 둔각삼각형입니다.

• 세 각이 모두 직각보다 작은 삼각형은 예각삼각형입니다.

여기서 중요한 점은 분류 기준이 하나가 아니라는 것입니다. 어떤 삼각형은 이등변삼각형이면서 동시에 직각삼각형일 수 있습니다. 두 변의 길이가 같고, 그중 한 각이 직각이면 두 기준을 모두 만족하기 때문입니다.

도형을 분류할 때는 "이름이 하나만 있어야 한다"고 생각하지 않아도 됩니다. 사람도 '학생'이면서 '축구를 좋아하는 사람'일 수 있듯이, 도형도 여러 성질을 동시에 가질 수 있습니다. 정삼각형도 세 변의 길이가 모두 같으므로, 그중 두 변을 골라 보면 길이가 같습니다. 이처럼 어떤 이름은 다른 이름의 성질을 함께 품고 있기도 합니다.

사각형과 다각형: 기준을 세우면 관계가 보인다

사각형은 네 개의 선분으로 둘러싸인 도형입니다. 사각형을 볼 때는 변의 수만 세지 말고, 마주 보는 변이 평행한지, 변의 길이가 같은지, 각이 직각인지도 함께 살펴야 합니다.

직사각형은 네 각이 모두 직각인 사각형입니다. 창문, 공책, 스마트폰 화면에서 자주 볼 수 있는 모양입니다. 직사각형에서는 마주 보는 변의 길이가 서로 같습니다.

정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 모두 직각인 사각형입니다. 그래서 정사각형은 특별한 직사각형이라고 볼 수 있습니다. 직사각형의 성질을 가지면서, 네 변의 길이가 모두 같다는 성질까지 더 가지고 있기 때문입니다.

사다리꼴은 마주 보는 한 쌍의 변이 서로 평행한 사각형입니다. 여기서부터는 "평행한 변이 있는가?"가 중요한 관찰 기준이 됩니다.

평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형입니다. 책을 살짝 기울여 놓은 모양을 떠올리면 됩니다. 네 각이 모두 직각일 필요는 없지만, 마주 보는 변의 길이는 서로 같습니다.

마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 사각형입니다. 마름모가 반드시 정사각형처럼 네 각이 직각일 필요는 없습니다. 반대로 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모의 성질도 가지고 있습니다.

이처럼 사각형은 서로 따로 떨어진 이름들의 모음이 아닙니다. 성질이 겹치고 이어지는 관계입니다. "정사각형은 직사각형인가요?"라는 질문에는 "네 각이 모두 직각이므로 직사각형의 성질을 가지고 있다"고 설명할 수 있습니다. "정사각형은 마름모인가요?"라는 질문에도 "네 변의 길이가 모두 같으므로 마름모의 성질을 가지고 있다"고 말할 수 있습니다.

삼각형, 사각형처럼 여러 선분으로 둘러싸인 닫힌 도형을 넓게 다각형이라고 합니다. 다각형은 변의 수에 따라 오각형, 육각형처럼 이름을 붙일 수 있습니다. 하지만 여기서도 변의 수만 보는 데서 멈추지 말고, 같은 길이의 변이 있는지, 각이 모두 같은지, 대칭이 있는지까지 관찰하면 도형이 훨씬 더 잘 보입니다.

원: 한 점에서 같은 거리에 있는 점들의 모임

원은 삼각형이나 사각형처럼 변과 꼭짓점으로 이루어진 도형이 아닙니다. 원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들을 둥글게 모아 만든 도형입니다. 이때 가운데에 있는 점을 중심이라고 합니다.

중심에서 원 위의 한 점까지 이은 선분을 반지름이라고 합니다. 원 하나에서 반지름은 어느 방향으로 그어도 길이가 같습니다. 이것이 원의 가장 중요한 성질입니다.

원 위의 두 점을 이은 선분 중에서 중심을 지나는 선분을 지름이라고 합니다. 지름의 길이는 반지름 두 개를 이어 놓은 길이와 같습니다.

• 반지름이 3cm이면 지름은 6cm입니다.

• 지름이 10cm이면 반지름은 5cm입니다.

컴퍼스를 사용하면 이 관계를 손으로 느낄 수 있습니다. 컴퍼스의 바늘을 꽂은 자리가 원의 중심입니다. 연필심까지 벌린 폭이 반지름입니다. 컴퍼스를 돌리면 바늘에서 같은 거리에 있는 점들이 계속 이어지며 원이 그려집니다.

그래서 컴퍼스로 원을 그릴 때는 먼저 중심을 정하고, 반지름을 정해야 합니다. 원을 잘 그린다는 것은 단순히 둥글게 그리는 일이 아닙니다. 중심과 반지름이라는 성질을 이용해 정확한 도형을 만드는 일입니다.

입체도형은 돌려 보아야 보인다

평면도형은 종이 위에 그릴 수 있는 납작한 도형입니다. 삼각형, 사각형, 원이 여기에 속합니다. 반면 입체도형은 공간을 차지하는 도형입니다. 상자, 공, 캔, 아이스크림 콘을 떠올리면 됩니다.

입체도형을 볼 때는 한쪽에서 본 모양만으로 판단하면 안 됩니다. 앞에서 보면 직사각형처럼 보이지만, 옆에서 보면 다른 모양일 수 있습니다. 그래서 입체도형은 손에 들고 돌려 보며 관찰하는 것이 좋습니다.

입체도형을 설명할 때 자주 쓰는 말은 면, 모서리, 꼭짓점입니다.

면은 입체도형의 바깥을 이루는 평평하거나 둥근 부분입니다. 직육면체의 면은 모두 평평합니다. 원기둥에는 평평한 원 모양의 면도 있고, 옆을 감싸는 둥근 면도 있습니다.

모서리는 면과 면이 만나는 부분입니다. 직육면체에서는 곧은 선분 모양의 모서리를 쉽게 찾을 수 있습니다. 원기둥이나 원뿔에서는 둥근 경계가 보이므로, 직육면체의 곧은 모서리와 어떻게 다른지도 함께 살펴야 합니다.

꼭짓점은 모서리들이 만나는 점입니다. 직육면체와 정육면체에는 꼭짓점이 8개 있습니다. 원뿔에는 뾰족한 꼭짓점이 1개 있습니다. 구에는 꼭짓점이 없습니다.

직육면체, 정육면체, 원기둥, 원뿔, 구 비교하기

직육면체는 직사각형 모양의 면 6개로 둘러싸인 입체도형입니다. 모서리는 12개, 꼭짓점은 8개입니다. 과자 상자나 신발 상자가 대표적인 예입니다.

정육면체는 여섯 면이 모두 정사각형인 입체도형입니다. 주사위나 정육면체 블록을 떠올리면 됩니다. 정육면체도 직육면체의 한 종류로 볼 수 있습니다. 모든 면이 직사각형의 성질을 가지고 있고, 그 직사각형들이 특별히 정사각형인 경우이기 때문입니다.

원기둥은 위와 아래에 서로 같은 원 모양의 평평한 면이 있고, 옆에는 둥근 면이 있습니다. 음료수 캔이나 휴지심이 원기둥과 비슷합니다. 원기둥에는 뾰족한 꼭짓점이 없습니다.

원뿔은 원 모양의 평평한 면 하나와 둥근 옆면, 그리고 뾰족한 꼭짓점 하나를 가진 입체도형입니다. 아이스크림 콘이나 고깔 모자를 떠올리면 됩니다.

구는 어느 쪽에서 보아도 둥근 입체도형입니다. 공이 대표적인 예입니다. 구에는 평평한 면도, 곧은 모서리도, 꼭짓점도 없습니다.

입체도형을 비교할 때는 "비슷하게 생겼다"에서 멈추지 말고 이렇게 말해 봅시다.

• 직육면체와 정육면체는 모두 평평한 면 6개가 있다.

• 정육면체는 직육면체보다 조건이 더 많다. 모든 면이 정사각형이고 모든 모서리의 길이가 같다.

• 원기둥과 원뿔은 둘 다 원 모양의 면이 있지만, 원기둥은 위아래에 원이 2개이고 원뿔은 원이 1개이다.

• 구는 어느 방향으로 돌려 보아도 뾰족한 곳이나 평평한 면이 없다.

도형을 잘 아는 사람은 설명할 수 있다

도형을 배울 때 가장 좋은 연습은 "왜 그렇게 생각했는지" 말해 보는 것입니다.

"이건 정사각형이에요."라고만 말하면 이름을 맞힌 것입니다. 하지만 "네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 모두 직각이기 때문에 정사각형이에요."라고 말하면 성질을 이해한 것입니다.

"이건 원이에요."라고만 말하기보다 "중심에서 원 위의 점까지 거리가 모두 같아요."라고 설명하면 원의 핵심을 알고 있는 것입니다.

도형 공부는 눈으로 보고, 손으로 그리고, 자로 재고, 컴퍼스로 그리고, 입체를 돌려 보며 익힐 때 가장 잘 됩니다. 종이에 여러 모양을 그린 뒤 변의 수, 꼭짓점의 수, 같은 길이의 변, 직각의 개수를 표시해 봅시다. 빈 상자나 캔, 공을 모아 면과 모서리, 꼭짓점을 찾아보는 것도 좋습니다.

다음에 길이, 넓이, 부피를 배울 때도 이 힘이 필요합니다. 변이 무엇인지 알아야 길이를 잴 수 있고, 면이 무엇인지 알아야 넓이를 생각할 수 있으며, 입체도형을 이해해야 부피를 이해할 수 있습니다. 도형을 잘 본다는 것은 앞으로 배울 측정의 출발점이기도 합니다.