사칙연산의 순서와 문제 해결 전략

여러 연산이 섞이면 왜 순서가 필요할까

덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 함께 쓰는 식을 보면 먼저 이런 생각이 들 수 있습니다.

"그냥 앞에서부터 차례대로 계산하면 안 될까?"

어떤 식은 앞에서부터 계산해도 맞습니다. 예를 들어 18 - 5 + 2는 왼쪽에서 오른쪽으로 차례대로 계산하면 됩니다. 하지만 모든 식이 그렇지는 않습니다.

3 + 2 × 4를 생각해 봅시다.

책상 위에 연필이 낱개로 3자루 있습니다. 그리고 연필 2자루씩 들어 있는 작은 봉지가 4개 있습니다. 전체 연필은 몇 자루일까요?

이 상황은 먼저 2 × 4를 해야 합니다. 봉지 안의 연필 수를 먼저 구해야 전체를 알 수 있기 때문입니다.

2 × 4 = 8이고, 낱개 3자루를 더하면 3 + 8 = 11입니다.

그런데 만약 앞에서부터 계산해서 3 + 2 = 5, 5 × 4 = 20이라고 하면 전혀 다른 이야기가 됩니다. 이것은 "연필 5자루씩 들어 있는 봉지가 4개 있다"는 뜻에 가깝습니다. 처음 이야기와 맞지 않습니다.

계산 순서는 단순한 규칙이 아닙니다. 식 안에 들어 있는 상황을 헷갈리지 않게 읽기 위한 약속입니다.

AI 생성 이미지

괄호는 "여기를 먼저 보세요"라는 표시

괄호는 식에서 가장 먼저 계산해야 할 부분을 알려 줍니다.

예를 들어 사과 24개와 귤 12개가 있습니다. 이것을 모두 합쳐 6명에게 똑같이 나누어 주려고 합니다. 한 사람은 과일을 몇 개씩 받을까요?

이 상황은 이렇게 쓸 수 있습니다.

(24 + 12) ÷ 6

먼저 사과와 귤을 합쳐야 합니다.

24 + 12 = 36

그다음 6명에게 나눕니다.

36 ÷ 6 = 6

한 사람은 6개씩 받습니다.

만약 괄호 없이 24 + 12 ÷ 6이라고 쓰면 계산 순서에 따라 12 ÷ 6을 먼저 합니다. 그러면 24 + 2 = 26이 됩니다. 이것은 "귤 12개만 6명에게 나누고, 사과 24개를 더한다"는 뜻처럼 읽힙니다. 처음 상황과 다릅니다.

괄호는 식의 뜻을 분명하게 해 줍니다. 문장제를 식으로 바꿀 때 "무엇을 먼저 해야 하는가?"를 생각하면 괄호가 필요한지 알 수 있습니다.

사칙연산의 기본 순서

여러 연산이 섞인 식에서는 보통 다음 순서를 따릅니다.

1. 괄호 안을 먼저 계산합니다.

2. 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산합니다.

3. 곱셈과 나눗셈끼리만 있거나, 덧셈과 뺄셈끼리만 있으면 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다.

예를 들어 봅시다.

40 - 6 × 3

곱셈을 먼저 합니다.

6 × 3 = 18

그래서 40 - 18 = 22입니다.

이번에는 나눗셈과 곱셈이 함께 있습니다.

24 ÷ 3 × 2

곱셈을 무조건 먼저 하는 것이 아닙니다. 나눗셈과 곱셈은 같은 단계입니다. 그래서 왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다.

24 ÷ 3 = 8

8 × 2 = 16

덧셈과 뺄셈도 같습니다.

30 - 8 + 5

왼쪽에서 오른쪽으로 계산합니다.

30 - 8 = 22

22 + 5 = 27

여기서 중요한 것은 순서를 외우는 데서 끝나지 않는 것입니다. 식을 볼 때마다 "이 식은 어떤 상황을 나타낼까?", "먼저 묶어 보아야 할 것은 무엇일까?"를 함께 생각해야 합니다.

문장제는 긴 글이 아니라 구조를 읽는 문제

문장제가 어렵게 느껴지는 까닭은 글이 길어서만은 아닙니다. 숫자가 여러 개 나오고, 어떤 연산을 해야 할지 바로 보이지 않기 때문입니다.

하지만 문장제에는 보통 세 가지가 들어 있습니다.

• 이미 알고 있는 정보

• 정보들 사이의 관계

• 구해야 할 값

문제를 읽을 때는 이 세 가지를 나누어 보는 것이 좋습니다.

예를 들어 다음 문제를 봅시다.

민수는 색종이 8장씩 들어 있는 봉지를 3봉지 샀습니다. 집에 있던 색종이 6장을 더했습니다. 그중 10장을 사용했습니다. 남은 색종이는 몇 장일까요?

먼저 숫자만 보지 말고 상황을 읽습니다.

색종이 8장씩 들어 있는 봉지가 3봉지입니다. 이것은 같은 수의 묶음이 반복되므로 곱셈입니다.

8 × 3

집에 있던 6장을 더했으니 덧셈입니다.

8 × 3 + 6

그중 10장을 사용했으니 뺄셈입니다.

8 × 3 + 6 - 10

계산하면

8 × 3 = 24

24 + 6 = 30

30 - 10 = 20

남은 색종이는 20장입니다.

이 문제를 잘 푼다는 것은 8, 3, 6, 10을 모두 아무렇게나 계산하지 않는다는 뜻입니다. "8장씩 3봉지"는 곱셈 구조이고, "더했습니다"는 덧셈, "사용했습니다"는 뺄셈이라는 관계를 읽어야 합니다.

필요한 정보와 필요 없는 정보 구분하기

문장제에는 가끔 답을 구하는 데 필요 없는 정보가 들어 있습니다. 이것은 문제를 어렵게 만들기 위한 장난이 아니라, 상황을 잘 읽는 힘을 기르기 위한 장치입니다.

다음 문제를 봅시다.

지우는 오전 10시에 문구점에 갔습니다. 공책을 5권 샀고, 한 권의 가격은 800원입니다. 연필도 3자루 샀습니다. 지우가 공책값으로 낸 돈은 얼마일까요?

여기에는 여러 정보가 있습니다.

• 오전 10시에 갔다.

• 공책을 5권 샀다.

• 공책 한 권은 800원이다.

• 연필도 3자루 샀다.

• 구해야 할 것은 공책값이다.

공책값만 구하려면 필요한 정보는 5권과 800원입니다. 오전 10시와 연필 3자루는 이 질문에서는 필요하지 않습니다.

식은 이렇게 됩니다.

800 × 5 = 4000

공책값은 4000원입니다.

문장제를 풀 때 모든 숫자를 반드시 사용해야 한다고 생각하면 실수하기 쉽습니다. 먼저 질문을 보아야 합니다. "무엇을 구하라고 했는가?"를 확인하면 필요한 정보가 더 잘 보입니다.

그림, 표, 거꾸로 풀기, 규칙 찾기

문제 해결에는 한 가지 길만 있는 것이 아닙니다. 문제의 모양에 따라 알맞은 전략이 다릅니다.

그림 그리기

그림은 양의 관계가 잘 보이지 않을 때 도움이 됩니다.

예를 들어 "사탕 24개를 4명에게 똑같이 나누어 준다"는 문제는 사탕을 하나씩 그리지 않아도 됩니다. 4개의 상자를 그리고, 24개가 똑같이 들어가야 한다고 생각하면 됩니다. 그림은 나눗셈의 뜻을 눈으로 보여 줍니다.

그림은 특히 분수, 나눗셈, 비교 문제에서 좋습니다. 다만 숫자가 아주 커지면 모든 것을 자세히 그리기보다 막대 그림이나 간단한 표시로 나타내는 것이 좋습니다.

표 만들기

표는 값이 차례로 변할 때 유용합니다.

예를 들어 "버스가 한 정거장마다 3명씩 더 탑니다. 처음에 5명이 타고 있었다면 정거장 수에 따라 사람 수는 어떻게 변할까요?"라는 문제를 생각해 봅시다.

표를 만들면 매번 3씩 늘어난다는 규칙이 보입니다. 나중에 식으로 나타내는 기초도 됩니다.

거꾸로 풀기

마지막 결과가 주어지고 처음을 구해야 할 때는 거꾸로 풀기가 도움이 됩니다.

예를 들어 "어떤 수에 5를 더한 뒤 3을 곱했더니 36이 되었습니다. 어떤 수는 무엇일까요?"를 봅시다.

앞으로 한 일은 5를 더하고, 3을 곱한 것입니다.

거꾸로 가려면 반대로 해야 합니다.

36 ÷ 3 = 12

12 - 5 = 7

어떤 수는 7입니다.

거꾸로 풀기는 덧셈과 뺄셈, 곱셈과 나눗셈이 서로 반대 관계라는 것을 잘 보여 줍니다.

규칙 찾기

반복되는 모양이나 수의 변화가 있을 때는 규칙을 찾습니다.

예를 들어 성냥개비로 정사각형을 이어 붙인다고 해 봅시다. 정사각형 1개에는 성냥개비 4개가 필요합니다. 정사각형 2개를 옆으로 붙이면 8개가 아니라 7개가 필요합니다. 가운데 한 변을 함께 쓰기 때문입니다.

정사각형 수가 늘어날 때 성냥개비 수를 표로 정리하면 규칙이 보입니다.

처음은 4개이고, 그다음부터는 3개씩 늘어납니다. 이런 규칙 찾기는 나중에 식과 함수의 생각으로 이어집니다.

한 문제를 여러 방법으로 풀어 보기

다음 문제를 여러 방법으로 풀어 봅시다.

한 상자에 쿠키가 6개씩 들어 있습니다. 그런 상자가 4상자 있습니다. 여기에 낱개 쿠키 8개를 더했습니다. 이 쿠키를 4명에게 똑같이 나누어 주면 한 사람은 몇 개씩 받을까요?

식으로 풀기

먼저 상자 속 쿠키 수를 구합니다.

6 × 4 = 24

낱개 8개를 더합니다.

24 + 8 = 32

4명에게 나눕니다.

32 ÷ 4 = 8

한 줄 식으로 쓰면 이렇게 됩니다.

(6 × 4 + 8) ÷ 4 = 8

여기서 괄호는 "전체 쿠키 수를 먼저 구한다"는 뜻입니다.

그림으로 풀기

상자 4개를 그리고, 각 상자 안에 6개씩 있다고 표시합니다. 그러면 상자 속 쿠키가 모두 24개라는 것을 볼 수 있습니다. 여기에 낱개 8개를 더하면 32개입니다.

이제 4명에게 나누어 주는 그림을 생각합니다. 32개를 4묶음으로 똑같이 나누면 한 묶음은 8개입니다.

그림은 식의 각 부분을 눈으로 확인하게 해 줍니다.

말로 설명하기

"상자 쿠키는 6개씩 4상자이므로 24개입니다. 낱개 8개를 더하면 모두 32개입니다. 이것을 4명에게 똑같이 나누면 한 사람은 8개씩 받습니다."

말 설명은 풀이의 순서를 확인하게 해 줍니다. 답만 맞았는지보다 더 중요한 것은 내가 왜 그런 계산을 했는지 설명할 수 있는가입니다.

식, 그림, 말은 서로 다른 풀이가 아닙니다. 같은 생각을 다른 모습으로 나타낸 것입니다. 식은 짧고, 그림은 보이게 해 주며, 말은 이유를 드러냅니다.

문제를 풀고 나서 꼭 확인할 것

문제를 다 풀었다면 마지막으로 답이 그럴듯한지 살펴보아야 합니다.

쿠키 문제에서 전체 쿠키는 상자 쿠키 24개와 낱개 8개를 합친 32개였습니다. 4명에게 나누었으니 한 사람당 8개입니다. 8개씩 4명이 받으면 다시 32개가 됩니다.

8 × 4 = 32

처음 전체 수와 맞으므로 답은 타당합니다.

검산은 틀린 답을 잡아내는 일만이 아닙니다. 내가 세운 식이 상황과 맞는지 확인하는 과정입니다.

문장제를 잘 푸는 힘은 긴 문제를 많이 푸는 것만으로 자라지 않습니다. 문제 속 상황을 보고, 어떤 양이 묶여 있는지, 무엇이 늘어나거나 줄어드는지, 무엇을 먼저 구해야 하는지 읽는 데서 자랍니다.

사칙연산의 순서는 계산을 빠르게 하려고 만든 규칙이 아닙니다. 복잡한 상황을 모두가 같은 뜻으로 읽기 위한 약속입니다. 이 약속을 이해하면 식은 더 이상 낯선 기호가 아니라, 상황을 간단히 담아낸 문장이 됩니다.