소수와 분수가 만나는 자리

소수는 1보다 작은 양까지 쓰는 방법

길이를 재다 보면 딱 3m, 딱 4cm처럼 자연수로 떨어지는 경우만 있지는 않습니다. 책상의 길이가 1m보다 조금 더 길 수도 있고, 물병에 물이 1L보다 조금 적게 들어 있을 수도 있습니다. 이때 우리는 자연수만으로는 딱 맞게 나타내기 어려운 양, 특히 1보다 작은 양까지 나타낼 수 있는 수가 필요합니다.

분수는 이런 양을 나타내는 한 가지 방법입니다. 1을 10개로 똑같이 나눈 것 중 3개라면 (frac{3}{10})이라고 쓸 수 있습니다. 그런데 같은 양을 0.3이라고도 씁니다. 이것이 소수입니다.

소수는 갑자기 새로 생긴 계산법이 아닙니다. 이미 배운 자릿값이 오른쪽으로 더 이어진 것입니다.

자연수에서는 오른쪽에서 왼쪽으로 갈수록 1, 10, 100, 1000처럼 10배씩 커졌습니다. 소수에서는 반대로 1보다 작은 쪽으로 한 칸씩 갈 때마다 10분의 1로 작아집니다.

소수점은 자연수 부분과 1보다 작은 부분을 나누어 보여 주는 표시입니다. 3.25라면 3은 일의 자리, 2는 0.1의 자리, 5는 0.01의 자리입니다. 그래서 3.25는 3과 (frac{2}{10}), 그리고 (frac{5}{100})을 합친 수입니다.

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0.1, 0.01, 0.001은 어떤 크기일까

소수를 이해하려면 먼저 작은 단위의 크기를 눈으로 떠올릴 수 있어야 합니다.

종이 띠 하나를 전체 1이라고 해 봅시다. 이 종이 띠를 똑같이 10칸으로 나누면 한 칸은 (frac{1}{10})입니다. 이것을 소수로 0.1이라고 씁니다.

다시 전체 1을 똑같이 100칸으로 나누면 한 칸은 (frac{1}{100})입니다. 이것을 0.01이라고 씁니다. 0.01은 0.1보다 훨씬 작습니다. 왜냐하면 같은 전체 1을 10조각으로 나눈 것이 아니라 100조각으로 더 잘게 나누었기 때문입니다.

전체 1을 1000칸으로 나누면 한 칸은 (frac{1}{1000})이고, 소수로는 0.001입니다.

정리하면 이렇습니다.

여기서 중요한 점은 0.1, 0.01, 0.001이 모두 서로 다른 단위라는 것입니다. 1, 10, 100이 서로 다른 자리인 것처럼 0.1, 0.01, 0.001도 서로 다른 자리입니다.

길이로 생각하면 더 쉽습니다. 1m를 10등분한 한 부분은 0.1m입니다. 1m는 100cm이므로 0.1m는 10cm입니다. 1m를 100등분한 한 부분은 0.01m이고, 이것은 1cm입니다. 1m를 1000등분한 한 부분은 0.001m이고, 이것은 1mm입니다.

소수는 측정과 잘 어울립니다. 키가 1.35m라고 할 때, 이것은 1m와 0.35m를 합친 길이입니다. 0.35m는 35cm입니다. 그래서 1.35m는 1m 35cm와 같습니다.

무게도 마찬가지입니다. 1kg을 1000g으로 나누어 생각하면 0.5kg은 500g이고, 0.25kg은 250g입니다. 미국 달러처럼 1달러를 100센트로 나누어 쓰는 경우에는 1.25달러가 1달러와 25센트를 뜻합니다. 이처럼 소수는 큰 단위를 작은 단위와 연결해 주는 편리한 표현입니다.

분수와 소수는 같은 양을 다르게 쓸 수 있다

분수와 소수는 서로 다른 세계에 있는 수가 아닙니다. 특히 분모가 10, 100, 1000인 분수는 소수와 바로 연결됩니다.

(frac{7}{10})은 1을 10개로 나눈 것 중 7개입니다. 0.1이 7개이므로 0.7입니다.

(frac{23}{100})은 1을 100개로 나눈 것 중 23개입니다. 0.01이 23개이므로 0.23입니다.

(frac{406}{1000})은 1을 1000개로 나눈 것 중 406개입니다. 0.001이 406개이므로 0.406입니다.

여기서 0.08을 잘 보아야 합니다. (frac{8}{100})은 0.8이 아닙니다. 0.8은 (frac{8}{10})입니다. 0.08은 (frac{8}{100})입니다. 소수점 오른쪽 첫째 자리는 십분의 일 자리이고, 둘째 자리는 백분의 일 자리입니다. 자리가 다르면 단위가 다릅니다.

소수는 분수보다 항상 쉬운 것도 아니고, 분수가 소수보다 항상 좋은 것도 아닙니다. 상황에 따라 편한 표현이 다릅니다. (frac{1}{2})은 0.5로 쓰면 길이나 돈에서 읽기 쉽습니다. (frac{1}{3})은 소수로 쓰면 0.333…처럼 끝없이 이어지므로 분수로 쓰는 것이 더 간단할 때가 있습니다. 초등 과정에서는 먼저 분모가 10, 100, 1000인 분수가 소수와 어떻게 만나는지 이해하는 것이 중요합니다.

자릿수가 길다고 더 큰 수는 아니다

소수를 처음 배울 때 자주 하는 실수가 있습니다. 0.8과 0.75를 보고 75가 8보다 크니까 0.75가 더 크다고 생각하는 것입니다. 하지만 소수는 숫자의 개수만 보고 비교하면 안 됩니다. 자릿값을 보아야 합니다.

0.8은 0.1이 8개입니다. 분수로 쓰면 (frac{8}{10})입니다. 0.75는 0.1이 7개, 0.01이 5개입니다. 분수로 쓰면 (frac{75}{100})입니다.

두 수를 같은 백분의 일 단위로 바꾸어 보면 더 분명합니다.

0.80은 100칸 중 80칸이고, 0.75는 100칸 중 75칸입니다. 그래서 0.8이 0.75보다 큽니다.

또 다른 예를 봅시다.

소수의 끝에 0을 붙여도 수의 크기는 변하지 않습니다. 0.5와 0.50은 같은 수입니다. 0.5는 10칸 중 5칸이고, 0.50은 100칸 중 50칸입니다. 전체에서 차지하는 양은 같습니다.

그러나 중간에 있는 0은 중요합니다. 2.05와 2.5는 같지 않습니다. 2.05는 2와 0.05이고, 2.5는 2와 0.5입니다. 0.5는 0.05보다 10배 큽니다. 그래서 2.5가 더 큽니다.

소수 비교의 좋은 방법은 세 단계입니다.

1. 자연수 부분을 먼저 비교합니다.

2. 자연수 부분이 같으면 0.1의 자리부터 차례로 비교합니다.

3. 자릿수가 다르면 뒤에 0을 붙여 같은 자리까지 맞추어 봅니다.

이 방법은 자연수의 비교와 닮았습니다. 큰 자리부터 차례로 비교한다는 원리는 같습니다.

소수의 덧셈과 뺄셈은 같은 자리끼리 계산한다

소수의 덧셈과 뺄셈에서 가장 많이 듣는 말은 소수점을 맞추라는 말입니다. 그런데 왜 맞추어야 할까요? 이유는 간단합니다. 같은 단위끼리 더하고 빼야 하기 때문입니다.

자연수에서 235 + 42를 계산할 때 5와 2를 일의 자리끼리 맞추고, 3과 4를 십의 자리끼리 맞춥니다. 일은 일끼리, 십은 십끼리 더해야 합니다.

소수도 같습니다.

2.35 + 1.4를 계산해 봅시다. 2.35는 2와 0.3과 0.05입니다. 1.4는 1과 0.4입니다. 1.4는 1.40으로 써도 같은 수입니다.

  2.35
+ 1.40
------
  3.75

여기서 소수점을 맞춘다는 것은 일의 자리, 0.1의 자리, 0.01의 자리를 맞춘다는 뜻입니다. 5와 0은 백분의 일 자리끼리 더하고, 3과 4는 십분의 일 자리끼리 더합니다.

만약 2.35와 1.4를 오른쪽 끝만 맞추어 계산하면 1.4의 4를 백분의 일 자리처럼 보게 됩니다. 그러면 1.4를 0.14처럼 다루는 셈이 되어 잘못된 계산이 됩니다.

뺄셈도 같은 원리입니다.

5.2 - 3.47을 계산하려면 5.2를 5.20으로 볼 수 있습니다.

  5.20
- 3.47
------
  1.73

0.01의 자리에서 뺄 수 없으면 0.1의 자리에서 1을 받아내립니다. 이때 0.1 하나는 0.01 열 개와 같습니다. 자연수에서 십 1개를 일 10개로 바꾸는 것과 같은 원리입니다.

소수 계산은 새 규칙을 외우는 일이 아닙니다. 자릿값을 알고, 같은 단위끼리 계산하는 일입니다.

생활 속 소수 읽기

소수는 교과서 안에만 있지 않습니다. 운동 기록, 키, 몸무게, 물의 양, 온도, 거리에서 자주 만납니다.

• 1.5L 주스는 1L와 0.5L입니다. 0.5L는 1L의 절반입니다.

• 3.25km는 3km와 0.25km입니다. 0.25km는 250m입니다.

• 36.7℃는 36℃보다 0.7℃ 높은 온도입니다.

• 0.75kg은 1kg의 (frac{75}{100})이고, 750g입니다.

이런 표현을 볼 때마다 소수점 아래 숫자를 그냥 읽고 지나가지 말고, 어떤 단위의 몇 개를 뜻하는지 생각해 봅시다. 0.75kg은 75라는 큰 수가 붙어 있지만 1kg보다 작습니다. 왜냐하면 75개가 백분의 일 단위로 모인 것이기 때문입니다.

소수는 분수와 자릿값을 이어 주는 다리

분수는 전체 1을 똑같이 나눈 부분을 보여 줍니다. 소수는 그 나눈 부분 중에서 특히 10, 100, 1000처럼 10씩 잘게 나누는 경우를 자릿값으로 나타냅니다.

그래서 소수를 잘 이해하려면 세 가지 질문을 자주 해야 합니다.

첫째, 전체 1은 무엇인가요? 1m인지, 1kg인지, 1L인지에 따라 0.5의 실제 양은 달라집니다.

둘째, 소수점 아래 숫자는 어떤 자리인가요? 0.3의 3은 십분의 일 자리이고, 0.03의 3은 백분의 일 자리입니다.

셋째, 같은 단위끼리 비교하고 계산하고 있나요? 0.7과 0.65를 비교할 때는 0.70과 0.65처럼 같은 자리까지 맞추어 볼 수 있습니다. 1.8 + 0.45를 계산할 때도 1.80 + 0.45처럼 생각하면 자리가 분명해집니다.

소수는 자연수 뒤에 붙는 작은 표시가 아닙니다. 1보다 작은 양도 자릿값으로 정확하게 나타내는 수입니다. 분수를 배웠기 때문에 소수의 뜻을 이해할 수 있고, 자릿값을 배웠기 때문에 소수 계산의 이유를 알 수 있습니다. 이렇게 소수는 분수와 자연수의 자릿값이 만나는 자리에서 시작됩니다.