중력과 천체 운동

사과의 낙하와 달의 운동은 같은 현상이다

손에서 놓은 사과는 아래로 떨어진다. 달은 지구 표면으로 곧장 떨어져 부딪히지 않고 지구 주위를 돈다. 겉으로 보면 전혀 다른 운동처럼 보이지만, 물리학에서는 둘을 같은 원리로 설명한다. 둘 다 지구의 중력을 받는다.

사과는 수평 방향 속도가 거의 없기 때문에 지구 쪽으로 떨어진다. 달은 지구 쪽으로 끌려가면서도 옆 방향 속도가 충분히 크기 때문에 계속 지구를 비껴 간다. 그래서 달은 지구로 "떨어지고" 있지만, 동시에 지구 표면에 닿지 않는 궤도 운동을 한다.

이 장의 핵심은 간단하다. 중력은 지상의 낙하 운동과 우주의 궤도 운동을 하나의 법칙으로 연결한다. 앞에서 배운 힘, 원운동, 에너지 보존을 중력에 적용하면 행성, 위성, 탈출 속도까지 같은 틀에서 이해할 수 있다.

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만유인력 법칙

뉴턴의 만유인력 법칙은 질량을 가진 물체들이 서로 끌어당긴다는 법칙이다. 두 물체의 질량이 각각 (m_1), (m_2)이고, 두 물체 중심 사이의 거리가 (r)일 때 중력의 크기는 다음과 같다.

[ F=Gfrac{m_1m_2}{r^2} ]

여기서 (G)는 만유인력 상수이다.

[ Gapprox 6.67times10^{-11} text{N}cdottext{m}^2/text{kg}^2 ]

이 식에서 중요한 점은 세 가지이다.

첫째, 중력은 두 질량의 곱에 비례한다. 한 물체의 질량이 2배가 되면 중력도 2배가 된다. 두 물체의 질량이 모두 2배가 되면 중력은 4배가 된다.

둘째, 중력은 거리의 제곱에 반비례한다. 두 물체 사이의 거리가 2배가 되면 중력은 (1/4)배가 된다. 거리가 3배가 되면 (1/9)배가 된다. 이것을 역제곱 법칙이라고 한다.

셋째, 중력은 항상 끌어당기는 힘이다. 전기력처럼 밀어내는 경우가 없다. 두 물체는 서로를 향해 같은 크기의 힘으로 끌어당긴다. 지구가 사과를 아래로 당기면, 사과도 지구를 위로 같은 크기의 힘으로 당긴다. 다만 지구의 질량이 매우 크기 때문에 지구의 가속도는 거의 알아차릴 수 없을 만큼 작다.

여기서 거리 (r)은 보통 두 물체의 중심 사이 거리이다. 물체를 점처럼 작다고 볼 수 있거나, 지구처럼 거의 구형 대칭인 천체의 바깥에서 중력을 생각할 때는 천체의 질량이 중심에 모여 있는 것처럼 다룰 수 있다. 그래서 지구 위의 물체를 생각할 때도 물체와 지표면 사이의 높이만 쓰는 것이 아니라, 지구 중심에서 물체까지의 거리를 사용한다.

지표면의 중력과 무게

지구 근처에서 물체가 받는 중력은 익숙한 식 (mg)로 쓴다.

[ F_g=mg ]

이 식은 만유인력 법칙의 특별한 경우이다. 질량 (m)인 물체가 지구 표면 가까이에 있을 때, 지구 질량을 (M_E), 지구 반지름을 (R_E)라고 하면 중력의 크기는 다음과 같다.

[ F=Gfrac{M_Em}{R_E^2} ]

이 식을 (F=mg)와 비교하면,

[ g=Gfrac{M_E}{R_E^2} ]

이다. 즉 중력가속도 (g)는 지구가 주변 물체를 얼마나 세게 끌어당기는지를 나타내는 값이다. 지표면 가까이에서는 (gapprox9.8 text{m/s}^2)로 거의 일정하게 볼 수 있다.

하지만 높이가 지구 반지름에 비해 커지면 (g)는 더 이상 일정하지 않다. 지구를 거의 구형 대칭인 천체로 보고, 지표면 바깥에서 지구 중심으로부터 거리 (r)만큼 떨어진 곳을 생각하면

[ g(r)=Gfrac{M_E}{r^2} ]

이다. 지구에서 멀어질수록 중력가속도는 작아진다. 여기서도 거리의 제곱이 중요하다. 지구 중심에서의 거리가 2배가 되면 중력가속도는 (1/4)이 된다.

중력장: 공간에 퍼져 있는 중력의 효과

중력은 서로 닿아 있지 않은 물체 사이에도 작용한다. 지구와 달은 줄로 연결되어 있지 않지만 서로 끌어당긴다. 이런 작용을 이해하기 위해 중력장이라는 개념을 사용한다.

중력장은 어떤 위치에 질량 1 kg짜리 물체를 놓았을 때 그 물체가 받는 중력을 나타낸다. 식으로는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[ vec{g}=frac{vec{F}}{m} ]

즉 중력장은 단위 질량당 중력이다. 단위는 (text{N/kg}) 또는 (text{m/s}^2)이다. 두 단위는 같은 의미를 가진다. (1 text{N/kg})은 질량 1 kg당 1 N의 힘이 작용한다는 뜻이고, 이는 (1 text{m/s}^2)의 가속도를 만든다.

지구가 만드는 중력장은 지구 중심을 향한다. 지구 주변 어느 곳에 물체를 놓아도 중력은 지구 중심 방향으로 작용한다. 따라서 중력장은 크기뿐 아니라 방향도 가진 벡터량이다.

이 관점은 위성 운동을 이해할 때 유용하다. 위성은 엔진이 계속 밀어 주기 때문에 도는 것이 아니다. 위성은 지구가 만든 중력장 안에서 계속 가속되고 있다. 그 가속도의 방향은 항상 지구 중심 쪽이다.

중력 퍼텐셜 에너지

앞 장에서 위치 때문에 저장된 에너지를 퍼텐셜 에너지라고 했다. 지표면 가까이에서는 중력 퍼텐셜 에너지를

[ U=mgh ]

로 썼다. 이 식은 높이 (h)가 지구 반지름에 비해 매우 작을 때 좋은 근사이다. 교실, 건물, 언덕 정도의 높이에서는 (g)가 거의 변하지 않기 때문이다.

하지만 인공위성이나 행성 운동처럼 거리가 크게 변하는 경우에는 (mgh)만으로 충분하지 않다. 이때는 중력 퍼텐셜 에너지를 다음과 같이 정의한다.

[ U=-Gfrac{Mm}{r} ]

여기서 (M)은 중심 천체의 질량, (m)은 그 주위를 움직이는 물체의 질량, (r)은 두 중심 사이 거리이다. 이 식도 물체를 점질량처럼 다룰 수 있거나, 구형 대칭인 중심 천체의 바깥에서 운동을 생각할 때 잘 맞는다.

이 식에서 음수 부호가 낯설 수 있다. 기준을 무한히 먼 곳으로 잡았기 때문이다. 두 물체가 아주 멀리 떨어져 중력이 거의 작용하지 않는 곳의 퍼텐셜 에너지를 0으로 정한다. 그러면 중력에 의해 묶여 있는 상태에서는 퍼텐셜 에너지가 0보다 작다.

물체를 지구에서 멀리 올리려면 중력을 거슬러 일을 해야 한다. 따라서 (r)이 커질수록 (U)는 증가한다. 예를 들어 (-100 text{J})에서 (-40 text{J})로 바뀌는 것은 값이 커진 것이다. 음수라서 헷갈리기 쉽지만, 0에 가까워질수록 중력으로부터 더 벗어난 상태라고 보면 된다.

두 위치 (r_i), (r_f) 사이의 중력 퍼텐셜 에너지 변화는

[ Delta U=U_f-U_i=-Gfrac{Mm}{r_f}+Gfrac{Mm}{r_i} ]

이다. 지구에서 멀어질 때는 (r_f>r_i)이므로 (Delta U>0)이다. 가까워질 때는 (Delta U<0)이고, 줄어든 퍼텐셜 에너지는 운동에너지로 바뀔 수 있다.

지표면 가까이에서 쓰는 (mgh)는 이 식과 따로 떨어진 새로운 법칙이 아니다. 높이 변화가 지구 반지름에 비해 아주 작을 때, (-GMm/r)의 변화량을 간단히 나타낸 근사식이 (mgDelta h)이다.

원궤도에서 중력은 구심력이다

등속 원운동에서는 속력은 일정하지만 속도의 방향이 계속 변한다. 그래서 중심을 향한 구심 가속도가 필요하다.

[ a_c=frac{v^2}{r} ]

위성이 원궤도를 따라 움직일 때, 중심 방향의 힘은 중력이다. 따라서 중력이 구심력 역할을 한다. 여기서는 중심 천체의 질량 (M)이 위성의 질량 (m)보다 훨씬 커서, 중심 천체가 거의 정지해 있다고 보고 다룬다.

[ Gfrac{Mm}{r^2}=mfrac{v^2}{r} ]

여기서 (m)은 위성의 질량이다. 양쪽에 모두 있으므로 약분된다.

[ v=sqrt{frac{GM}{r}} ]

이 식은 중요한 사실을 알려 준다. 같은 궤도 반지름 (r)에서 원운동하는 위성의 속도는 위성의 질량에 의존하지 않는다. 무거운 위성과 가벼운 위성은 같은 높이의 원궤도에서 같은 속력으로 움직여야 한다.

또한 궤도 반지름이 클수록 원궤도 속도는 작아진다. 지구에서 멀리 떨어진 위성일수록 중력이 약하므로 같은 방식의 원궤도를 유지하는 데 필요한 속도도 작아진다. 다만 원의 둘레는 더 커지기 때문에, 멀리 있는 위성의 주기는 더 길어진다.

주기 (T)도 구할 수 있다. 원 한 바퀴의 길이는 (2pi r)이고 속력은 (v)이므로,

[ T=frac{2pi r}{v} ]

여기에 (v=sqrt{GM/r})를 넣으면

[ T=2pisqrt{frac{r^3}{GM}} ]

이다. 이 식은 궤도 반지름이 커질수록 주기가 길어진다는 것을 보여 준다. 멀리 있는 행성일수록 태양을 한 바퀴 도는 데 더 오랜 시간이 걸리는 이유도 이와 연결된다.

궤도 운동은 계속되는 자유낙하이다

인공위성 안의 우주비행사가 떠 있는 장면을 보면 중력이 없는 것처럼 보인다. 그러나 실제로 지구 중력은 여전히 작용한다. 지표면보다 약해졌을 뿐 완전히 사라지지 않는다.

우주비행사가 떠 보이는 이유는 위성, 우주비행사, 주변 물체가 모두 함께 지구를 향해 떨어지고 있기 때문이다. 바닥이 사람을 받쳐 주지 않으므로 몸무게를 느끼지 못한다. 이를 무중량 상태라고 한다. 무중량은 중력이 0이라는 뜻이 아니라, 받침힘을 느끼지 못하는 상태라는 뜻이다.

위성을 쏘아 올릴 때 중요한 것은 충분한 옆 방향 속도이다. 물체를 수평으로 천천히 던지면 곧 땅에 떨어진다. 더 빠르게 던지면 더 멀리 날아간다. 공기 저항과 지형을 무시하고 충분히 빠르게 던지면, 물체가 떨어지는 동안 지구 표면도 함께 휘어져 있어서 계속 지구를 비껴 가게 된다. 이것이 원궤도 운동의 직관적인 그림이다.

궤도 속도와 탈출 속도

원궤도 속도는 그 위치에서 원운동을 유지하는 데 필요한 속도이다.

[ v_{orbit}=sqrt{frac{GM}{r}} ]

이 속도보다 너무 작으면 물체는 더 낮은 궤도로 내려가거나 지구에 떨어질 수 있다. 반대로 속도가 더 크면 원궤도가 아니라 타원 궤도가 될 수 있다. 실제 궤도는 속도의 크기뿐 아니라 방향에도 영향을 받지만, 원궤도에서는 속도가 반지름 방향에 수직이고 크기가 위 식을 만족해야 한다.

탈출 속도는 의미가 다르다. 탈출 속도는 물체가 중력의 속박에서 벗어나 무한히 먼 곳까지 갈 수 있는 최소 속도이다. 공기 저항을 무시하고, 추가 추진이 없다고 하자. 또한 지구 표면이나 다른 물체와 충돌하지 않는 방향으로 출발한다고 생각하자. 무한히 먼 곳에서 간신히 속도가 0이 되는 경우를 최소 조건으로 잡으면 전체 역학적 에너지가 0이다.

처음 위치 (r)에서의 역학적 에너지는

[ E=K+U=frac12mv^2-Gfrac{Mm}{r} ]

탈출의 최소 조건은 (E=0)이다.

[ frac12mv^2-Gfrac{Mm}{r}=0 ]

정리하면 탈출 속도는

[ v_{esc}=sqrt{frac{2GM}{r}} ]

이다.

원궤도 속도와 비교하면

[ v_{esc}=sqrt{2},v_{orbit} ]

이다. 같은 위치에서 탈출 속도는 원궤도 속도의 (sqrt{2})배이다.

두 속도는 관점도 다르다. 원궤도 속도는 힘의 관점에서 중력이 구심력 역할을 하도록 만드는 속도이다. 탈출 속도는 에너지 관점에서 전체 역학적 에너지가 0 이상이 되도록 하는 속도이다.

지구 표면 근처에서 공기 저항과 지구 자전을 무시하면 원궤도 속도는 약 (7.9 text{km/s}), 탈출 속도는 약 (11.2 text{km/s})이다. 실제 로켓 발사는 대기 저항, 연료 소모, 지구 자전, 단계별 추진을 모두 고려해야 하므로 단순한 식보다 훨씬 복잡하다. 하지만 기본 원리는 이 두 식에서 출발한다.

예제: 위성 속도는 질량과 관계가 있을까?

질량이 (500 text{kg})인 위성과 (2000 text{kg})인 위성이 같은 높이의 원궤도를 돈다고 하자. 어느 위성이 더 빠르게 움직여야 할까?

원궤도 조건은

[ Gfrac{Mm}{r^2}=mfrac{v^2}{r} ]

이다. 위성 질량 (m)은 약분된다.

[ v=sqrt{frac{GM}{r}} ]

따라서 같은 중심 천체와 같은 궤도 반지름이라면 두 위성의 속도는 같다. 무거운 위성은 더 큰 중력을 받지만, 같은 가속도를 만들기 위해 더 큰 힘이 필요하다. 두 효과가 정확히 함께 커지기 때문에 궤도 속도는 위성 질량에 의존하지 않는다.

이것은 자유낙하에서 무거운 물체와 가벼운 물체가 공기 저항이 없을 때 같은 가속도로 떨어지는 것과 같은 원리이다.

정리

만유인력 법칙은 두 질량 사이의 끌어당김을 설명한다.

[ F=Gfrac{m_1m_2}{r^2} ]

질량이 클수록 중력은 커지고, 거리가 멀어질수록 거리의 제곱에 반비례해 작아진다. 지표면의 무게 (mg)는 이 법칙이 지구 표면 가까이에서 나타나는 특별한 형태이다.

중력장은 공간의 각 위치에서 단위 질량이 받는 중력을 나타낸다. 중력 퍼텐셜 에너지는 가까운 지표면에서는 (mgh), 천체 규모에서는 (-GMm/r)로 다룬다.

위성이 원궤도를 돌 때는 중력이 구심력이다.

[ Gfrac{Mm}{r^2}=mfrac{v^2}{r} ]

그래서 원궤도 속도는

[ v_{orbit}=sqrt{frac{GM}{r}} ]

이다. 탈출 속도는 중력의 속박에서 벗어나는 데 필요한 최소 속도이며,

[ v_{esc}=sqrt{frac{2GM}{r}} ]

이다.

낙하, 궤도, 탈출은 서로 다른 현상처럼 보이지만 모두 중력과 운동 법칙, 에너지 보존으로 연결된다. 중력은 지상의 물체와 우주의 천체를 같은 물리 법칙 안에 놓이게 하는 대표적인 힘이다.