운동량과 충돌

충돌을 다른 눈으로 보기

빠르게 달려온 공이 방망이에 맞아 튕겨 나간다. 자동차가 벽에 부딪힌다. 총에서 탄환이 발사되면 총이 뒤로 밀린다. 이런 상황의 공통점은 상호작용 시간이 매우 짧다는 것이다. 충돌하는 동안 힘은 순간적으로 커졌다가 사라지고, 그 크기도 일정하지 않다.

뉴턴 제2법칙 (sum F=ma)를 직접 쓰려면 매 순간의 힘을 알아야 한다. 하지만 충돌 순간의 힘을 자세히 측정하기는 어렵다. 이때 유용한 물리량이 운동량이다. 운동량은 충돌 전과 후의 상태만 비교해도 중요한 결론을 얻을 수 있게 해 준다.

에너지가 운동의 가능성과 전환을 보여 주는 도구라면, 운동량은 물체들이 서로 밀고 당길 때 전체 움직임이 어떻게 나뉘는지를 보여 주는 도구이다.

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운동량: 질량과 속도를 함께 보는 양

운동량은 물체의 질량과 속도를 곱한 물리량이다.

[ vec p=mvec v ]

여기서 (vec p)는 운동량, (m)은 질량, (vec v)는 속도이다. 단위는 (mathrm{kgcdot m/s})이다.

운동량은 벡터량이다. 즉, 크기뿐 아니라 방향도 가진다. 같은 속도로 움직여도 질량이 큰 물체는 운동량이 크다. 같은 질량이라면 더 빠른 물체가 더 큰 운동량을 가진다.

예를 들어 오른쪽을 양의 방향으로 정하자.

• 질량 (2,mathrm{kg})인 물체가 오른쪽으로 (3,mathrm{m/s})로 움직이면 운동량은 (+6,mathrm{kgcdot m/s})이다.

• 질량 (1,mathrm{kg})인 물체가 왼쪽으로 (4,mathrm{m/s})로 움직이면 운동량은 (-4,mathrm{kgcdot m/s})이다.

부호는 방향을 나타낸다. 따라서 여러 물체의 전체 운동량을 구할 때는 단순히 크기만 더하면 안 된다. 방향을 고려해 벡터 합을 구해야 한다.

[ vec p_{text{전체}}=vec p_1+vec p_2+vec p_3+cdots ]

한 방향 직선 운동에서는 부호를 붙여 더하면 된다. 평면에서 운동한다면 x방향과 y방향으로 나누어 각각 운동량을 더한다. 운동량 보존도 각 방향별로 따로 적용된다.

충격량: 힘이 시간 동안 남긴 효과

충돌에서 중요한 것은 힘의 크기만이 아니다. 힘이 얼마나 오랫동안 작용했는지도 중요하다. 같은 힘이라도 더 오래 작용하면 물체의 운동 상태를 더 크게 바꾼다.

힘과 시간이 함께 만드는 효과를 충격량이라고 한다. 일정한 힘이 시간 (Delta t) 동안 작용할 때 충격량은 다음과 같다.

[ vec J=vec FDelta t ]

힘이 일정하지 않을 때도 충격량을 생각할 수 있다. 이 경우 힘-시간 그래프에서 그래프 아래의 면적이 충격량이다. 충돌하는 동안 힘은 보통 처음에는 작고, 접촉이 강해지며 커졌다가, 다시 작아진다. 힘의 모양은 복잡해도 그래프 아래 면적은 전체 효과를 나타낸다. 실제 충돌 문제에서는 이렇게 변하는 힘을 평균힘으로 바꾸어 생각하기도 한다.

충격량의 단위는 (mathrm{Ncdot s})이다. 그런데 (1,mathrm{N}=1,mathrm{kgcdot m/s^2})이므로 (mathrm{Ncdot s})는 (mathrm{kgcdot m/s})와 같다. 즉, 충격량의 단위는 운동량의 단위와 같다.

실제로 충격량은 운동량 변화량과 같다.

[ vec J=Delta vec p=vec p_f-vec p_i ]

이를 충격량-운동량 정리라고 한다. 물체에 힘이 작용하면 운동량이 변한다. 힘이 크거나, 힘이 오래 작용하거나, 둘 다이면 운동량 변화가 커진다.

예를 들어 질량 (0.15,mathrm{kg})인 공이 오른쪽으로 (20,mathrm{m/s})로 날아가다가 벽에 부딪혀 왼쪽으로 (10,mathrm{m/s})로 튕겨 나왔다고 하자. 오른쪽을 양의 방향으로 정하면

[ p_i=0.15times 20=3.0,mathrm{kgcdot m/s} ]

[ p_f=0.15times (-10)=-1.5,mathrm{kgcdot m/s} ]

따라서 운동량 변화량은

[ Delta p=p_f-p_i=-1.5-3.0=-4.5,mathrm{kgcdot m/s} ]

충격량도 (-4.5,mathrm{Ncdot s})이다. 음수라는 것은 벽이 공에 왼쪽 방향의 충격량을 주었다는 뜻이다.

운동량 보존: 충돌 전후를 연결하는 법칙

두 물체가 충돌할 때, 두 물체는 서로에게 힘을 준다. 뉴턴 제3법칙에 따라 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다. 또한 두 힘은 같은 시간 동안 작용한다. 그래서 두 물체가 서로에게 주는 충격량도 크기가 같고 방향이 반대이다.

이 말은 한 물체의 운동량이 증가하면 다른 물체의 운동량은 그만큼 감소한다는 뜻이다. 두 물체를 하나의 계로 묶어 보면, 두 물체 사이에서 주고받는 힘은 내부 힘이므로 계 전체의 운동량을 바꾸지 못한다.

외부에서 작용한 전체 충격량이 0이거나 무시할 수 있을 때, 계의 전체 운동량은 보존된다.

[ vec p_{text{처음 전체}}=vec p_{text{나중 전체}} ]

두 물체의 직선 충돌에서는 다음과 같이 쓴다.

[ m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f} ]

여기서 (i)는 처음, (f)는 나중을 뜻한다.

운동량 보존을 적용할 때 가장 먼저 해야 할 일은 계를 정하는 것이다. 두 수레가 충돌한다면 두 수레를 하나의 계로 잡을 수 있다. 충돌 시간이 매우 짧으면 바닥 마찰이나 공기 저항이 주는 외부 충격량은 작다고 볼 수 있다. 이때 두 수레의 전체 운동량은 거의 보존된다.

반대로 외부 힘이 오랫동안 크게 작용한다면 운동량 보존을 그대로 적용할 수 없다. 예를 들어 자동차가 브레이크를 밟아 긴 시간 동안 멈추는 경우에는 도로가 자동차에 주는 마찰의 충격량이 중요하다. 이때는 자동차만을 계로 잡으면 운동량이 보존되지 않는다.

탄성 충돌과 비탄성 충돌

충돌을 분석할 때 자주 하는 실수는 운동량 보존과 에너지 보존을 같은 것으로 생각하는 것이다. 둘은 다르다.

운동량은 외부 충격량이 없으면 보존된다. 그러나 운동에너지는 충돌 과정에서 열, 소리, 변형 에너지로 바뀔 수 있다. 그래서 모든 충돌에서 운동에너지가 보존되는 것은 아니다.

탄성 충돌은 외부 충격량을 무시할 수 있는 상황에서 전체 운동량과 전체 운동에너지가 모두 보존되는 충돌이다. 당구공의 충돌이나 공기 레일 위 수레의 충돌은 탄성 충돌에 가깝게 볼 수 있다. 완전히 이상적인 탄성 충돌에서는 충돌 전후의 운동에너지 합이 같다.

[ K_{text{처음 전체}}=K_{text{나중 전체}} ]

비탄성 충돌은 외부 충격량을 무시할 수 있을 때 전체 운동량은 보존되지만, 운동에너지는 보존되지 않는 충돌이다. 실제 생활의 많은 충돌은 비탄성 충돌이다. 찰흙 덩어리가 바닥에 붙거나, 자동차가 충돌하며 찌그러지는 경우가 여기에 해당한다.

특히 두 물체가 충돌한 뒤 서로 붙어서 함께 움직이면 완전 비탄성 충돌이라고 한다. 이때는 나중 속도가 하나이므로 운동량 보존식을 다음과 같이 쓴다.

[ m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=(m_1+m_2)v_f ]

예를 들어 질량 (0.20,mathrm{kg})인 수레가 (3.0,mathrm{m/s})로 움직이다가 정지해 있던 질량 (0.30,mathrm{kg})인 수레와 붙어 함께 움직인다고 하자. 마찰을 무시하면

[ 0.20times 3.0+0.30times 0=(0.20+0.30)v_f ]

[ 0.60=0.50v_f ]

[ v_f=1.2,mathrm{m/s} ]

운동량은 충돌 전후에 같다. 하지만 운동에너지는 줄어든다. 처음 운동에너지는

[ K_i=frac12(0.20)(3.0)^2=0.90,mathrm{J} ]

나중 운동에너지는

[ K_f=frac12(0.50)(1.2)^2=0.36,mathrm{J} ]

줄어든 (0.54,mathrm{J})는 사라진 것이 아니다. 소리, 열, 수레의 변형, 내부 진동 등 다른 형태의 에너지로 바뀐 것이다.

반동과 폭발도 운동량으로 설명된다

총을 쏘면 탄환은 앞으로 나가고 총은 뒤로 밀린다. 처음에 총과 탄환이 정지해 있었다면 전체 운동량은 0이다. 발사 후에도 외부 충격량을 무시하면 전체 운동량은 0이어야 한다.

[ m_{text{탄환}}v_{text{탄환}}+m_{text{총}}v_{text{총}}=0 ]

탄환이 앞으로 큰 속도를 얻으면, 총은 반대 방향의 운동량을 가져야 한다. 총의 질량은 탄환보다 훨씬 크므로 총의 속도는 탄환보다 작다. 하지만 방향은 반대이다. 이것이 반동이다.

폭발도 같은 원리로 이해할 수 있다. 정지해 있던 물체가 폭발해 여러 조각으로 나뉘면, 외부 충격량이 무시될 때 각 조각의 운동량 벡터 합은 여전히 0이다. 어떤 조각이 오른쪽으로 큰 운동량을 가지면 다른 조각들은 왼쪽 또는 다른 방향의 운동량을 가져 전체 합을 맞춘다.

여기서 운동에너지는 증가할 수 있다. 폭발에서는 화학 에너지나 내부 에너지가 운동에너지로 바뀌기 때문이다. 따라서 운동량 보존은 에너지 보존과 모순되지 않는다. 전체 에너지는 형태를 바꾸며 보존되고, 전체 운동량은 외부 충격량이 없을 때 보존된다.

안전장치와 스포츠의 공통 원리

자동차의 에어백, 안전벨트, 범퍼, 헬멧, 체조 매트는 모두 충격을 줄이기 위한 장치이다. 이 장치들의 핵심 원리는 충격 시간을 늘리는 것이다.

움직이던 사람이 멈추려면 운동량이 변해야 한다. 같은 속도에서 멈춘다면 운동량 변화량 (Delta p)는 이미 정해져 있다. 충격량-운동량 정리에 따라 필요한 충격량도 정해져 있다.

[ vec F_{text{평균}}Delta t=Delta vec p ]

따라서 같은 (Delta p)에 대해 충돌 시간이 길어지면 평균 힘의 크기는 작아진다.

[ F_{text{평균}}=frac{|Delta p|}{Delta t} ]

딱딱한 바닥에 떨어질 때보다 매트 위에 떨어질 때 덜 다치는 이유가 여기에 있다. 매트는 몸이 멈추는 시간을 늘려 평균 힘을 줄이고, 보통 순간적으로 작용하는 최대 힘도 줄여 준다. 자동차의 찌그러지는 부분도 마찬가지이다. 차체 일부가 변형되며 충돌 시간을 늘리고, 사람이 받는 힘을 줄인다.

스포츠에서도 같은 원리가 나타난다. 야구공을 잡을 때 글러브를 뒤로 빼면 공이 멈추는 시간이 길어져 손에 작용하는 힘이 줄어든다. 반대로 공을 멀리 보내고 싶을 때는 큰 힘을 가능한 한 긴 시간 동안 작용시켜 공의 운동량을 크게 바꾼다. 테니스 라켓을 끝까지 휘두르거나 축구공을 찰 때 발을 따라 밀어 주는 동작은 공에 더 큰 충격량을 주는 데 도움이 된다.

힘-시간 그래프로 보면 안전장치는 그래프의 면적, 즉 충격량은 비슷하게 유지하면서 그래프를 옆으로 넓힌다. 그러면 그래프의 높이에 해당하는 힘이 작아진다. 스포츠에서 강한 타격은 그래프 아래 면적 자체를 크게 만드는 과정이다.

운동량 문제를 푸는 순서

운동량 문제는 다음 순서로 접근하면 실수를 줄일 수 있다.

1. 분석할 계를 정한다. 어떤 물체들을 함께 볼 것인지 먼저 결정한다.

2. 양의 방향을 정한다. 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙인다.

3. 외부 충격량이 무시 가능한지 판단한다. 가능하면 운동량 보존을 쓴다.

4. 충돌 종류를 확인한다. 탄성 충돌이면 운동에너지도 보존되고, 비탄성 충돌이면 일반적으로 운동에너지는 보존되지 않는다.

5. 식을 세운 뒤 단위를 확인한다. 운동량의 단위는 (mathrm{kgcdot m/s}), 충격량의 단위는 (mathrm{Ncdot s})이다.

운동량 보존은 힘의 세부 과정을 몰라도 충돌 전후를 연결해 준다. 그래서 짧고 복잡한 상호작용을 다룰 때 매우 강력하다. 핵심은 방향을 포함해 전체 운동량을 더하는 것, 그리고 운동량 보존과 운동에너지 보존을 구별하는 것이다.