힘은 운동 상태를 바꾸는 원인이다
앞 장에서는 위치, 속도, 가속도로 물체의 운동을 기술했다. 이제 질문을 바꾸어 보자. 물체는 왜 빨라지고, 왜 느려지며, 왜 방향을 바꿀까? 이 질문에 답하는 물리량이 힘이다.
힘은 물체의 운동 상태를 바꾸거나 모양을 변형시키는 작용이다. 손으로 책상을 밀 때, 줄이 상자를 끌 때, 지구가 사과를 잡아당길 때 모두 힘이 작용한다. 힘은 크기와 방향을 모두 가지므로 벡터량이다. 따라서 여러 힘이 동시에 작용하면 단순히 숫자만 더하지 않고, 방향을 고려해 합해야 한다.
힘의 SI 단위는 뉴턴(N)이다.
1 N = 1 kg·m/s²
즉 1 N은 질량 1 kg인 물체에 작용했을 때 1 m/s²의 가속도를 만들 수 있는 크기의 힘이다. 다시 말해 속도를 1초마다 1 m/s씩 변화시키는 정도의 힘이라고 볼 수 있다. 이 단위는 힘이 질량과 가속도에 관련된 물리량임을 보여 준다.
물체에 여러 힘이 작용할 때 그 벡터 합을 알짜힘이라고 한다. 기호로는 보통 ΣF라고 쓴다. 여기서 Σ는 "모두 더한다"는 뜻이다.
알짜힘이 0이면 물체의 운동 상태는 변하지 않는다.
알짜힘이 0이 아니면 물체는 가속한다.
여기서 가속한다는 말은 속력이 커지는 경우만 뜻하지 않는다. 속력이 줄어드는 것도, 운동 방향이 바뀌는 것도 모두 가속도이다.
AI 생성 이미지
자유물체도: 힘을 눈에 보이게 정리하기
뉴턴 법칙을 제대로 쓰려면 먼저 물체에 작용하는 힘을 빠짐없이 정리해야 한다. 이때 사용하는 그림이 자유물체도이다. 자유물체도는 분석할 물체 하나만 떼어 놓고, 그 물체에 작용하는 힘을 화살표로 표시한 그림이다.
자유물체도를 그리는 순서는 다음과 같다.
분석할 물체를 하나 정한다.
물체를 점이나 간단한 상자로 나타낸다.
그 물체에 작용하는 외부 힘만 화살표로 그린다.
좌표축의 방향을 정한다.
각 방향의 힘을 더해 알짜힘을 구한다.
중요한 점은 "그 물체가 다른 물체에 가하는 힘"을 그리지 않는다는 것이다. 자유물체도에는 오직 "다른 물체가 그 물체에 가하는 힘"만 그린다. 또한 속도나 가속도는 힘이 아니므로 자유물체도에 힘 화살표처럼 그리지 않는다. 필요하다면 따로 표시할 수는 있지만, 알짜힘을 구할 때 더하는 대상은 아니다.
예를 들어 책상 위에 놓인 책을 생각해 보자. 책에 작용하는 힘은 두 가지이다.
지구가 책을 아래로 잡아당기는 힘: 중력, 또는 무게
책상이 책을 위로 떠받치는 힘: 수직항력
책이 가만히 있다면 위쪽 힘과 아래쪽 힘의 크기는 같다. 따라서 알짜힘은 0이다. 이 상태를 힘의 평형이라고 한다.
힘의 평형은 "힘이 없다"는 뜻이 아니다. 힘은 여러 개 작용할 수 있다. 다만 그 합이 0이라는 뜻이다.
자주 등장하는 힘을 정리하면 다음과 같다.
중력: 지구가 물체를 끌어당기는 힘이다. 지구 표면 근처에서는 지구 중심을 향하며, 크기는 보통
mg로 나타낸다.수직항력: 접촉한 면이 물체를 밀어내는 힘이다. 항상 접촉면에 수직인 방향으로 작용한다.
장력: 줄이나 실이 물체를 잡아당기는 힘이다. 줄의 방향을 따라 작용한다.
마찰력: 접촉한 면 사이에서 상대 운동 또는 운동하려는 경향을 방해하는 힘이다.
마찰력과 원운동은 다음 장에서 더 자세히 다룬다. 여기서는 힘을 구별하고 알짜힘을 구하는 방법에 집중하자.
뉴턴 제1법칙: 관성의 법칙
뉴턴 제1법칙은 다음과 같이 말할 수 있다.
물체에 작용하는 알짜힘이 0이면, 정지한 물체는 계속 정지해 있고, 움직이는 물체는 일정한 속도로 계속 직선 운동한다.
이를 관성의 법칙이라고 한다. 관성은 물체가 자신의 운동 상태를 유지하려는 성질이다.
일상 경험은 때때로 이 법칙을 오해하게 만든다. 바닥 위의 공은 굴러가다가 결국 멈춘다. 그래서 "움직이려면 계속 힘이 필요하다"고 생각하기 쉽다. 하지만 공을 멈추게 하는 원인은 운동을 유지하지 못해서가 아니라, 바닥과 공 사이의 마찰력과 공기 저항 때문이다. 만약 이런 방해가 거의 없다면 공은 훨씬 오래 움직인다.
버스가 갑자기 출발할 때 몸이 뒤로 쏠리는 것도 관성 때문이다. 몸은 원래 정지 상태를 유지하려고 한다. 그런데 발은 버스 바닥과 함께 앞으로 움직이기 시작하므로 몸이 뒤로 넘어지는 것처럼 느껴진다. 반대로 버스가 급정거하면 몸은 앞으로 계속 움직이려 한다.
관성은 질량과 관련이 있다. 질량이 큰 물체일수록 운동 상태를 바꾸기 어렵다. 같은 힘으로 빈 카트보다 짐이 가득 찬 카트를 밀기 어려운 이유가 여기에 있다.
뉴턴 제1법칙은 또 하나의 중요한 기준을 제공한다. 알짜힘이 0인 물체가 정지하거나 등속 직선 운동을 하는 것으로 관찰되는 기준계를 관성 기준계라고 한다. 뉴턴 법칙은 기본적으로 관성 기준계에서 가장 단순하게 적용된다.
뉴턴 제2법칙: 힘, 질량, 가속도의 관계
뉴턴 제2법칙은 힘과 운동의 관계를 수식으로 나타낸다.
ΣF = ma
여기서 ΣF는 알짜힘, m은 질량, a는 가속도이다.
이 식은 세 가지 의미를 가진다.
첫째, 가속도는 알짜힘의 방향으로 생긴다. 오른쪽으로 알짜힘이 작용하면 물체는 오른쪽으로 가속한다.
둘째, 같은 질량에서는 알짜힘이 클수록 가속도가 크다. 같은 카트를 더 세게 밀면 속도가 더 빨리 변한다.
셋째, 같은 힘에서는 질량이 클수록 가속도가 작다. 같은 힘으로 가벼운 공과 무거운 공을 밀면 가벼운 공이 더 크게 가속한다.
예를 들어 질량 2 kg인 수레를 수평 방향으로 10 N의 힘으로 민다고 하자. 마찰이 없다면 알짜힘은 10 N이다.
a = ΣF / m = 10 N / 2 kg = 5 m/s²
수레는 힘이 작용한 방향으로 5 m/s²의 가속도를 가진다.
만약 반대 방향으로 4 N의 마찰력이 작용한다면 알짜힘은 달라진다.
ΣF = 10 N - 4 N = 6 N
a = 6 N / 2 kg = 3 m/s²
힘을 계산할 때는 언제나 방향을 먼저 정해야 한다. 오른쪽을 양의 방향으로 정했다면 오른쪽 힘은 양수, 왼쪽 힘은 음수로 놓는다. 부호는 단순한 계산 기호가 아니라 방향을 나타내는 정보이다.
성분별로 나누어 생각하기
힘은 벡터이므로 x방향과 y방향으로 나누어 계산할 수 있다. 뉴턴 제2법칙은 각 방향에 대해 따로 쓸 수 있다.
ΣF_x = m a_x
ΣF_y = m a_y
예를 들어 수평 바닥 위의 상자를 오른쪽으로 미는 상황을 생각하자. 상자가 위아래로 움직이지 않는다면 y방향 가속도는 0이다. 따라서 위쪽 수직항력과 아래쪽 중력은 서로 평형을 이룬다.
ΣF_y = 0
즉 이 경우에는 수직항력의 크기와 중력의 크기가 같다. 하지만 x방향에서는 미는 힘과 마찰력의 차이에 따라 가속도가 생길 수 있다.
이처럼 한 방향에서는 평형이고, 다른 방향에서는 가속하는 상황이 많다. 그래서 "물체가 움직인다"는 말만으로는 충분하지 않다. 어느 방향으로 힘이 평형인지, 어느 방향으로 알짜힘이 남는지 구분해야 한다.
엘리베이터 안에서 체중계에 올라선 경우도 좋은 예이다. 사람이 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이면 가속도는 0이므로 체중계가 사람을 밀어 올리는 힘은 사람의 무게와 같다. 하지만 엘리베이터가 위로 가속하면 위쪽 알짜힘이 필요하다.
N - mg = ma
따라서 체중계가 사람을 밀어 올리는 힘 N은 mg보다 커진다. 반대로 엘리베이터가 아래로 가속하면 N은 mg보다 작아진다. 이때 사람의 질량이나 실제 중력이 바뀐 것은 아니다. 체중계가 측정하는 힘이 달라진 것이다.
여기서 질량과 무게를 구별해야 한다. 질량은 물체가 가진 물질의 양이자 관성의 크기이며 단위는 kg이다. 무게는 물체에 작용하는 중력의 크기이며 단위는 N이다.
무게 = mg
지구 표면에서 g는 대략 9.8 m/s²이다.
뉴턴 제3법칙: 작용과 반작용
뉴턴 제3법칙은 두 물체 사이의 상호작용을 설명한다.
한 물체가 다른 물체에 힘을 가하면, 다른 물체도 처음 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 가한다.
이를 작용·반작용 법칙이라고 한다.
예를 들어 손으로 벽을 밀면 손은 벽에 힘을 가한다. 동시에 벽도 손을 반대 방향으로 민다. 그래서 손바닥에 압력이 느껴진다. 사람이 땅을 뒤로 밀면, 땅은 사람을 앞으로 민다. 이 힘 때문에 우리는 앞으로 걸을 수 있다.
작용·반작용 쌍에는 중요한 특징이 있다.
두 힘의 크기는 같다.
두 힘의 방향은 반대이다.
두 힘은 서로 다른 물체에 작용한다.
두 힘은 같은 상호작용에서 나온다.
마지막 두 조건이 특히 중요하다. 작용·반작용은 서로 다른 물체에 작용하므로 한 물체에 대한 알짜힘을 구할 때 서로 상쇄되지 않는다.
작용·반작용과 힘의 평형을 구분하기
많은 학생이 작용·반작용과 힘의 평형을 혼동한다. 둘 다 "크기가 같고 방향이 반대인 힘"처럼 보이기 때문이다. 그러나 결정적인 차이가 있다.
힘의 평형은 한 물체에 작용하는 여러 힘의 합이 0인 상태이다. 즉 힘들이 같은 물체에 작용한다.
작용·반작용은 두 물체가 서로에게 가하는 힘이다. 즉 두 힘은 서로 다른 물체에 작용한다.
책상 위의 책을 다시 보자. 책에는 아래쪽 중력과 위쪽 수직항력이 작용한다. 책이 가만히 있다면 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대이다. 이 두 힘은 책이라는 같은 물체에 작용하므로 힘의 평형 관계이다.
그렇다면 책에 작용하는 중력의 반작용은 무엇일까? 지구가 책을 아래로 끌어당기는 힘의 반작용은 책이 지구를 위로 끌어당기는 힘이다. 두 힘은 모두 중력 상호작용에서 나오며, 서로 다른 물체에 작용한다.
또 책상에 의한 수직항력의 반작용은 무엇일까? 책상이 책을 위로 미는 힘의 반작용은 책이 책상을 아래로 미는 힘이다.
정리하면 다음과 같다.
책에 작용하는 중력과 수직항력: 같은 물체에 작용하므로 평형을 이룰 수 있다.
지구가 책을 당기는 힘과 책이 지구를 당기는 힘: 서로 다른 물체에 작용하므로 작용·반작용 쌍이다.
책상이 책을 미는 힘과 책이 책상을 미는 힘: 서로 다른 물체에 작용하므로 작용·반작용 쌍이다.
이 구분은 자유물체도를 그릴 때 특히 중요하다. 한 물체의 자유물체도에는 그 물체에 작용하는 힘만 그린다. 반작용 힘은 다른 물체에 작용하므로 그 자유물체도에는 포함하지 않는다.
뉴턴 법칙으로 문제를 푸는 순서
뉴턴 법칙 문제는 공식을 먼저 찾기보다 상황을 정리하는 것이 중요하다. 다음 순서를 따르면 실수를 줄일 수 있다.
분석할 물체를 정한다.
자유물체도를 그린다.
좌표축의 양의 방향을 정한다.
각 힘을 x방향과 y방향으로 나눈다.
방향별로
ΣF = ma를 쓴다.단위와 부호가 맞는지 확인한다.
예를 들어 상자가 정지해 있다면 무조건 힘이 없다고 판단하면 안 된다. 정지 상태는 가속도가 0이라는 뜻이다. 따라서 알짜힘이 0일 뿐, 중력이나 수직항력 같은 힘은 여전히 작용할 수 있다.
또 물체가 일정한 속도로 움직인다면 역시 가속도는 0이다. 이 경우에도 알짜힘은 0이다. 일정한 속도로 오른쪽으로 움직이는 상자에 오른쪽 힘이 계속 작용한다면, 그와 같은 크기의 왼쪽 힘도 작용해야 한다. 그렇지 않으면 속도는 일정하게 유지되지 않고 변한다.
정리
뉴턴의 세 가지 운동 법칙은 힘과 운동을 연결하는 기본 원리이다.
뉴턴 제1법칙은 알짜힘이 0일 때 물체가 자신의 운동 상태를 유지한다고 말한다. 이것이 관성이다.
뉴턴 제2법칙은 알짜힘이 물체의 가속도를 만든다고 말한다. 관계식은 ΣF = ma이며, 가속도의 방향은 알짜힘의 방향이다.
뉴턴 제3법칙은 힘이 항상 두 물체 사이의 상호작용으로 나타난다고 말한다. 작용과 반작용은 크기가 같고 방향이 반대이지만, 서로 다른 물체에 작용한다.
힘을 해석할 때 가장 중요한 도구는 자유물체도이다. 물체를 하나 정하고, 그 물체에 작용하는 힘만 그린 뒤, 방향별로 합을 구한다. 이 과정을 정확히 하면 일상적인 물체의 움직임부터 행성의 운동까지 같은 원리로 이해할 수 있다.
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