운동의 기술과 그래프 해석

운동을 말하려면 먼저 기준을 정한다

물체가 움직인다는 말은 위치가 시간에 따라 변한다는 뜻이다. 그런데 위치는 혼자 정해지지 않는다. 먼저 어디를 원점으로 할지, 어느 방향을 양의 방향으로 할지 정해야 한다. 예를 들어 직선 도로에서 오른쪽을 +방향으로 정하면 오른쪽으로 이동한 변위는 양수, 왼쪽으로 이동한 변위는 음수이다.

여기서 위치는 원점으로부터 물체가 어디에 있는지를 나타내는 값이고, 변위는 처음 위치에서 나중 위치까지의 변화량이다.

• 위치: x

• 변위: Δx = 나중 위치 − 처음 위치

• 걸린 시간: Δt = 나중 시각 − 처음 시각

변위와 이동 거리는 다르다. 집에서 학교까지 갔다가 다시 집으로 돌아오면 이동 거리는 왕복 거리만큼 있지만, 처음과 끝의 위치가 같으므로 변위는 0이다. 물리학에서 운동을 분석할 때는 먼저 거리인지 변위인지 구별해야 한다.

속력과 속도도 구별한다. 속력은 얼마나 빠른지만 말하는 스칼라이고, 속도는 빠르기와 방향을 함께 말하는 벡터이다. 직선 운동에서는 부호가 방향을 대신한다. +속도는 +방향으로 움직임을, −속도는 −방향으로 움직임을 뜻한다.

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위치-시간 그래프에서 속도를 읽는다

위치-시간 그래프는 가로축에 시간 t, 세로축에 위치 x를 놓은 그래프이다. 이 그래프에서 가장 중요한 것은 기울기이다.

평균 속도는 다음과 같다.

v평균 = Δx / Δt

즉 위치-시간 그래프에서 두 점을 이은 직선의 기울기가 평균 속도이다. 그래프가 오른쪽 위로 올라가면 속도는 양수이고, 오른쪽 아래로 내려가면 속도는 음수이다. 그래프가 수평이면 위치가 변하지 않으므로 속도는 0이다.

순간 속도는 아주 짧은 시간 동안의 속도이다. 그래프에서는 한 점에서 그은 접선의 기울기로 생각할 수 있다. 이때 실제 자동차의 속도계가 보여 주는 값은 방향을 포함한 속도라기보다 그 순간의 속력에 가깝다. 직선 운동 문제에서는 방향을 부호로 정해 두었을 때, 그 순간 그래프의 접선 기울기를 순간 속도로 읽는다.

위치-시간 그래프의 모양을 해석할 때는 다음을 확인한다.

여기서 '기울기의 절댓값'이라고 한 이유는 방향 때문이다. 기울기가 +3에서 +6으로 변하면 +방향 속력이 커지는 것이고, 기울기가 −3에서 −6으로 변해도 속도의 크기는 커진다. 반대로 기울기가 −6에서 −3으로 변하면 속도 값은 커지지만, 속도의 크기인 속력은 작아진다. 따라서 그래프를 볼 때는 기울기의 부호와 크기를 함께 보아야 한다.

주의할 점이 있다. 위치-시간 그래프가 아래로 내려간다고 해서 물체가 실제 공간에서 아래로 떨어진다는 뜻은 아니다. 세로축은 실제 높이가 아니라 우리가 정한 위치 좌표이다. 그래프의 기울기가 속도를 뜻한다는 점이 핵심이다.

속도-시간 그래프에서 가속도와 변위를 읽는다

속도-시간 그래프는 가로축에 시간 t, 세로축에 속도 v를 놓은 그래프이다. 이 그래프에서는 두 가지를 읽을 수 있다.

첫째, 기울기는 가속도이다.

a = Δv / Δt

가속도는 속도가 얼마나 빨리 변하는지를 나타내는 물리량이다. 단위는 m/s²이다. 1 m/s²는 1초마다 속도가 1 m/s씩 변한다는 뜻이다. 가속도가 양수이면 속도가 +방향으로 변하고, 가속도가 음수이면 속도가 −방향으로 변한다.

이 말이 곧바로 "가속도가 양수이면 항상 더 빨라진다"는 뜻은 아니다. 예를 들어 물체가 −방향으로 움직이고 있는데 가속도가 +방향이라면, 속도 값은 +방향으로 변하지만 물체의 속력은 줄어들 수 있다. 속도가 커지는지 작아지는지를 판단할 때는 속도와 가속도의 부호를 함께 보아야 한다.

둘째, 속도-시간 그래프와 시간축 사이의 부호 있는 면적은 변위이다.

Δx = 속도-시간 그래프의 부호 있는 면적

예를 들어 속도가 4 m/s로 3초 동안 일정하다면 그래프는 높이 4, 밑변 3인 직사각형이다. 면적은 12이므로 변위는 12 m이다. 만약 그래프가 시간축 아래에 있다면 속도가 음수이므로 그 부분은 음의 변위로 해석한다.

이때 면적은 이동 거리가 아니라 변위이다. +방향으로 10 m 갔다가 −방향으로 6 m 돌아오면 변위는 4 m이지만 이동 거리는 16 m이다. 속도-시간 그래프에서 이동 거리를 구하려면 시간축 위와 아래의 면적을 모두 양수로 더해야 한다.

등속도 운동: 속도가 일정한 운동

등속도 운동은 속도가 변하지 않는 운동이다. 따라서 가속도는 0이다. 직선 도로에서 같은 방향으로 같은 빠르기를 유지하는 자동차가 좋은 예이다.

등속도 운동의 식은 간단하다.

x = x₀ + vt

여기서 x₀는 처음 위치, v는 일정한 속도, t는 지난 시간이다. 이 식은 위치가 시간에 비례하여 변한다는 뜻이다. 위치-시간 그래프는 직선이고, 그 기울기가 속도이다.

예를 들어 어떤 물체가 x₀ = 2 m에서 출발하여 +방향으로 3 m/s의 속도로 움직이면 4초 뒤 위치는

x = 2 m + (3 m/s)(4 s) = 14 m

이다. 단위를 함께 계산하면 m/s와 s가 곱해져 m가 남는다. 식을 외우기보다 단위가 맞는지 확인하면 실수를 줄일 수 있다.

등가속도 운동: 속도가 일정하게 변하는 운동

등가속도 운동은 가속도가 일정한 운동이다. 속도가 매초 같은 양만큼 증가하거나 감소한다. 공기 저항을 무시한 자유낙하, 일정한 힘을 받는 수레의 운동 등이 대표적인 예이다.

등가속도 운동에서는 다음 식들을 자주 쓴다.

v = v₀ + at

x = x₀ + v₀t + 1/2 at²

v² = v₀² + 2a(x − x₀)

각 식은 쓰임이 조금 다르다.

문제를 풀 때는 먼저 좌표축을 정하고, 주어진 값을 부호와 함께 쓴다. 그다음 모르는 양이 무엇인지 확인하여 식을 고른다. 운동 방정식은 숫자를 넣는 기계가 아니다. 방향과 조건을 정리한 뒤 사용해야 의미가 있다.

간단한 예를 보자. 정지해 있던 자전거가 +방향으로 2 m/s²의 일정한 가속도로 출발한다. 5초 뒤 속도는

v = 0 + (2 m/s²)(5 s) = 10 m/s

이고, 이동한 변위는

Δx = 0·t + 1/2(2 m/s²)(5 s)² = 25 m

이다. 이 예처럼 처음 속도가 0이고 가속도가 일정하면 속도는 시간에 비례해 증가하지만, 변위는 시간의 제곱에 비례해 더 빠르게 증가한다.

자유낙하와 수직 던지기: 부호가 핵심이다

자유낙하는 중력만을 받아 떨어지는 운동이다. 공기 저항을 무시하면 지표면 근처의 모든 물체는 같은 크기의 중력가속도 g를 가진다. 보통 g ≈ 9.8 m/s²로 둔다.

중요한 것은 g의 크기보다 부호이다. 위쪽을 +방향으로 정하면 중력가속도는 아래쪽이므로

a = −g = −9.8 m/s²

이다. 반대로 아래쪽을 +방향으로 정하면

a = +g = +9.8 m/s²

이다. 어느 쪽을 양의 방향으로 정해도 된다. 다만 한 문제 안에서는 끝까지 같은 기준을 써야 한다.

위로 던진 공을 생각해 보자. 위쪽을 +방향으로 정하면 처음 속도 v₀는 양수이고, 가속도 a는 음수이다. 공은 올라가는 동안에도 계속 아래쪽 가속도를 받는다. 그래서 속도는 점점 줄어들고, 최고점에서 순간적으로 v = 0이 된다. 그러나 가속도는 0이 아니다. 최고점에서도 여전히 중력가속도 −g를 가진다.

이 점은 자주 헷갈린다. 속도가 0이라는 말은 그 순간 멈추었다는 뜻이고, 가속도가 0이라는 뜻은 아니다. 최고점에서 공의 속도는 위쪽에서 아래쪽으로 바뀌며, 그 변화를 만드는 가속도는 계속 아래쪽을 향한다.

예를 들어 공을 위로 19.6 m/s의 속도로 던졌다고 하자. 위쪽을 +방향으로 잡으면 최고점에서 v = 0, a = −9.8 m/s²이다.

v = v₀ + at

0 = 19.6 + (−9.8)t

t = 2.0 s

따라서 최고점까지 걸리는 시간은 2초이다. 같은 조건에서 처음 높이로 다시 돌아오는 데 걸리는 전체 시간은 4초이다. 올라갈 때와 내려올 때의 운동은 대칭이지만, 이 대칭은 공기 저항을 무시할 때만 정확하다.

포물선 운동: 수평과 수직을 나누어 본다

공을 비스듬히 던지면 곡선 궤적을 그리며 날아간다. 이를 포물선 운동이라고 한다. 포물선 운동은 복잡해 보이지만, 핵심은 하나이다. 수평 운동과 수직 운동을 따로 분석한다.

공기 저항을 무시하면 수평 방향에는 힘이 없다고 볼 수 있다. 따라서 수평 가속도는 0이고 수평 속도는 일정하다.

수평 방향: ax = 0, vx = 일정

수직 방향에는 중력이 작용한다. 위쪽을 +y로 잡으면 수직 가속도는 다음과 같다.

수직 방향: ay = −g

만약 아래쪽을 +y로 잡았다면 ay = +g가 된다. 자유낙하에서와 마찬가지로, 중요한 것은 한 문제 안에서 같은 부호 약속을 끝까지 지키는 것이다.

처음 속도 v₀가 비스듬히 주어졌다면 이를 수평 성분과 수직 성분으로 나눈다.

• 수평 성분 vx₀: 옆으로 나아가게 하는 속도

• 수직 성분 vy₀: 위아래 운동을 결정하는 속도

수평과 수직은 서로 독립적으로 계산하지만, 시간 t는 함께 쓴다. 같은 물체의 같은 운동이므로 수평 위치와 수직 위치는 같은 시간에 대응해야 한다.

예를 들어 탁자 끝에서 공을 수평으로 밀어 떨어뜨린다고 하자. 처음 수직 속도는 0이지만, 수평 속도는 있다. 공은 수평 방향으로는 일정한 속도로 나아가고, 수직 방향으로는 자유낙하한다. 그래서 아래로 점점 더 빨리 떨어지면서 동시에 앞으로 나아가 포물선 모양의 궤적을 만든다.

포물선 운동 문제를 풀 때는 다음 순서가 좋다.

1. 좌표축을 정한다. 보통 오른쪽을 +x, 위쪽을 +y로 둔다.

2. 처음 속도를 x성분과 y성분으로 나눈다.

3. x방향에는 등속도 운동식을 쓴다.

4. y방향에는 등가속도 운동식을 쓴다.

5. 두 방향의 결과를 같은 시간 t로 연결한다.

이 방법은 공 던지기, 물줄기의 궤적, 운동장에서 찬 공의 운동을 모두 같은 원리로 설명해 준다.

그래프와 식은 같은 이야기를 한다

운동을 분석하는 방법은 크게 두 가지이다. 하나는 그래프를 읽는 방법이고, 다른 하나는 식을 사용하는 방법이다. 둘은 서로 다른 도구처럼 보이지만 같은 내용을 담고 있다.

위치-시간 그래프의 기울기는 속도이다. 속도-시간 그래프의 기울기는 가속도이다. 속도-시간 그래프의 부호 있는 면적은 변위이다. 등속도 운동의 위치-시간 그래프는 직선이고, 등가속도 운동의 속도-시간 그래프도 직선이다.

문제를 풀 때는 다음 질문을 차례로 던져 보자.

• 원점과 양의 방향을 어떻게 정했는가?

• 주어진 값은 위치, 변위, 속도, 가속도 중 무엇인가?

• 속도와 가속도의 부호는 방향과 맞는가?

• 그래프에서 필요한 값은 기울기인가, 면적인가?

• 등속도 운동인가, 등가속도 운동인가?

운동을 정확히 기술하는 일은 이후에 배울 힘과 에너지의 출발점이다. 힘은 운동을 변화시키고, 에너지는 운동 상태와 밀접하게 연결된다. 따라서 위치, 속도, 가속도를 분명히 구별하고 그래프에서 읽어낼 수 있어야 다음 법칙들을 제대로 이해할 수 있다.