축전기와 유전체

전하를 그냥 모아 두는 것이 아니라, 갈라 놓는다

지난 장에서 우리는 도체가 정전기 평형에 도달하면 내부 전기장이 0이 되고, 도체 전체가 같은 전위가 된다는 사실을 배웠다. 이제 도체를 하나가 아니라 두 개 준비해 보자. 두 도체를 가까이 마주 보게 놓고, 그 사이를 공기나 절연체로 떨어뜨려 둔다. 한쪽 도체에는 (+Q), 다른 쪽 도체에는 (-Q)가 모인다.

이 장치가 바로 축전기, 영어로는 capacitor이다.

축전기는 전하를 창고처럼 한곳에 쌓아 두는 장치라기보다, 양전하와 음전하를 서로 마주 보게 분리해 저장하는 장치에 가깝다. 전체 전하량만 보면 보통 0이다. 한쪽에 (+Q), 다른 쪽에 (-Q)가 있기 때문이다. 하지만 두 전하가 떨어져 마주 보고 있으므로 그 사이에는 전기장이 생기고, 두 도체 사이에는 전위차가 생긴다.

여기서 앞에서 배운 개념들이 한꺼번에 모인다. 전하는 전기장을 만들고, 전기장은 전위차와 연결되며, 전위차가 있는 곳에는 전기 에너지가 저장될 수 있다. 축전기는 이 모든 개념이 실제 장치가 된 대표적인 예이다.

전하량, 전압, 전기용량

축전기를 이해하는 핵심 관계식은 간단하다.

[ Q = CV ]

여기서 (Q)는 한쪽 판에 저장된 전하량의 크기, (V)는 두 도체 사이의 전위차, (C)는 전기용량이다. 전기용량은 축전기가 전하를 얼마나 잘 저장하는지를 나타내는 양이다.

같은 전압을 걸었을 때 어떤 축전기는 전하를 많이 저장하고, 어떤 축전기는 조금만 저장한다. 전하를 많이 저장하는 축전기는 전기용량이 크다. 그래서 전기용량은 다음과 같이 정의한다.

[ C = frac{Q}{V} ]

이 식은 "전압 1볼트당 전하를 얼마나 저장할 수 있는가?"라고 읽으면 된다. 전기용량의 단위는 패럿이며, 기호는 (text{F})이다.

[ 1,text{F} = 1,frac{text{C}}{text{V}} ]

1패럿은 전위차 1볼트가 걸릴 때 전하 1쿨롱을 저장하는 전기용량이다. 다만 1패럿은 일상적인 전자회로에서는 꽤 큰 값이다. 그래서 실제 부품에서는 마이크로패럿((mutext{F})), 나노패럿((text{nF})), 피코패럿((text{pF})) 같은 작은 단위를 자주 쓴다.

여기서 조심할 점이 있다. 축전기는 전하를 새로 만들어 내지 않는다. 배터리를 연결하면 배터리가 일을 해서 한쪽 도체에서 전자를 빼내고 다른 쪽 도체로 전자를 밀어 넣는다. 그 결과 두 도체가 서로 반대 전하를 띠게 된다. 축전기는 전하의 창조가 아니라 전하의 분리 상태를 유지하는 장치이다.

평행판 축전기: 가장 단순한 모형

가장 기본적인 축전기는 평행판 축전기이다. 두 개의 넓은 금속판이 서로 평행하게 마주 보고 있고, 그 사이가 비어 있거나 절연체로 채워진 구조다.

두 판의 넓이를 (A), 판 사이의 거리를 (d)라고 하자. 한쪽 판에 (+Q), 다른 쪽 판에 (-Q)가 저장되어 있다고 생각한다. 판이 충분히 넓고 두 판 사이의 거리가 충분히 작다면, 두 판 사이 가운데 영역의 전기장은 거의 일정하다고 볼 수 있다. 가장자리에서는 전기장선이 조금 휘지만, 처음 배울 때는 가운데 부분의 균일한 전기장에 집중하면 된다.

진공 또는 공기 중의 평행판 축전기에서 전기장은 대략 다음과 같다.

[ E = frac{Q}{varepsilon_0 A} ]

여기서 (varepsilon_0)는 진공의 유전율이다. 유전율은 전기장이 공간 속에서 형성되는 방식과 관련된 상수라고 생각하면 된다.

균일한 전기장에서는 전위차가 전기장과 거리의 곱으로 표현된다.

[ V = Ed ]

위의 전기장 식을 넣으면,

[ V = frac{Qd}{varepsilon_0 A} ]

따라서 전기용량 (C = Q/V)는 다음과 같다.

[ C = frac{varepsilon_0 A}{d} ]

이 식은 많은 것을 말해 준다. 판의 넓이 (A)가 커지면 전기용량이 커진다. 전하가 퍼져 있을 공간이 넓어지기 때문이다. 반대로 판 사이의 거리 (d)가 커지면 전기용량은 작아진다. 두 판이 멀리 떨어질수록 같은 전하를 분리해 두기 위해 더 큰 전위차가 필요하기 때문이다.

축전기에 저장되는 에너지

축전기를 충전하려면 배터리나 전원 장치가 일을 해야 한다. 처음에는 두 판 사이의 전위차가 0에 가까워 전하를 옮기기 쉽다. 하지만 전하가 쌓일수록 이미 만들어진 전기장과 전위차 때문에 새 전하를 더 옮기기 어려워진다.

이 과정에 들어간 에너지는 사라지지 않는다. 축전기 두 판 사이의 전기장 속에 저장된다.

축전기에 저장된 에너지 (U)는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[ U = frac{1}{2}QV ]

또는 (Q = CV)를 이용해 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있다.

[ U = frac{1}{2}CV^2 ]

또는 (V = Q/C)를 이용하면,

[ U = frac{Q^2}{2C} ]

세 식은 같은 내용을 서로 다른 형태로 쓴 것이다. 문제에서 무엇이 주어졌는지에 따라 편한 식을 골라 쓰면 된다.

왜 (frac{1}{2})가 붙을까? 축전기를 처음 충전할 때 전압은 0에서 시작한다. 충전이 진행될수록 전압이 점점 커져 최종적으로 (V)가 된다. 전체 전하 (Q)를 처음부터 끝까지 항상 최종 전압 (V)에 맞서 옮긴 것이 아니라, 평균적으로 약 (V/2)의 전압에 맞서 옮긴 셈이다. 그래서 저장 에너지는 (QV)가 아니라 (frac{1}{2}QV)가 된다.

평행판 축전기에서는 이 에너지를 전기장 자체의 에너지로 볼 수 있다. 두 판 사이의 공간에 균일한 전기장 (E)가 있을 때, 단위부피당 저장된 에너지는 다음과 같이 표현된다.

[ u = frac{1}{2}varepsilon_0 E^2 ]

여기서 (u)는 에너지 밀도이다. 전기 에너지는 금속판 표면에만 숨어 있는 것이 아니라, 두 판 사이의 전기장 속에 저장되어 있다고 볼 수 있다.

예를 들어 (100,mutext{F})짜리 축전기에 (10,text{V})의 전압을 걸었다면 저장 에너지는

[ U = frac{1}{2}CV^2 = frac{1}{2}(100 times 10^{-6})(10)^2 = 0.005,text{J} ]

이다. 숫자로는 작아 보이지만, 전자회로에서는 이런 작은 에너지가 순간적으로 전류를 공급하거나 신호를 안정시키는 데 중요한 역할을 한다.

유전체: 전기장 속에서 살짝 재배열되는 물질

평행판 축전기 사이에 공기 대신 절연체를 넣어 보자. 플라스틱, 유리, 세라믹처럼 전류가 쉽게 흐르지 않는 물질을 축전기에서는 특별히 유전체라고 부른다.

유전체는 도체처럼 자유 전자가 마음대로 이동하지 않는다. 그래서 한쪽 판에서 다른 쪽 판으로 전하가 흘러가 버리지는 않는다. 하지만 유전체 내부의 전하들이 완전히 아무 반응도 하지 않는 것은 아니다. 전기장이 걸리면 원자나 분자 안에서 양전하와 음전하의 중심이 아주 조금 어긋날 수 있다.

이 현상을 분극이라고 한다.

전기장이 걸리면 유전체 내부의 분자들은 작은 전기 쌍극자처럼 행동한다. 한쪽은 약간 양전하 쪽 성질을, 다른 쪽은 약간 음전하 쪽 성질을 띠게 된다. 이 작은 분극들이 전체적으로 정렬되면 유전체 표면에는 마치 얇은 전하층이 생긴 것처럼 보인다.

중요한 점은 이 분극이 원래 축전기 판들이 만든 전기장을 약하게 만드는 방향으로 작용한다는 것이다. 즉, 유전체 내부에는 원래 전기장에 반대되는 효과가 생긴다.

유전체를 넣으면 전기용량이 커지는 이유

축전기에 유전체를 넣으면 전기용량이 증가한다. 먼저 축전기가 배터리에서 분리되어 있다고 생각해 보자. 이 경우 한쪽 판의 전하량 (Q)는 고정되어 있다. 두 판 사이에 유전체를 밀어 넣으면 유전체가 분극되고, 그 결과 두 판 사이의 실제 전기장이 약해진다. 전기장이 약해지면 두 판 사이의 전위차 (V)도 작아진다.

그런데 전기용량은

[ C = frac{Q}{V} ]

이다. (Q)는 그대로인데 (V)가 작아지면 (C)는 커진다. 따라서 유전체를 넣으면 전기용량이 증가한다.

이번에는 축전기가 배터리에 계속 연결되어 있다고 생각해 보자. 이 경우 배터리가 전위차 (V)를 일정하게 유지한다. 유전체를 넣으면 원래라면 전기장이 약해지고 전압이 줄어들려 하지만, 배터리가 추가 전하를 판으로 밀어 넣어 전압을 다시 원래 값으로 맞춘다. 그래서 같은 전압에서 더 많은 전하 (Q)가 저장된다. 역시 전기용량은 커진다.

유전체가 들어간 평행판 축전기의 전기용량은 보통 다음과 같이 쓴다.

[ C = kappa C_0 ]

여기서 (C_0)는 유전체가 없을 때의 전기용량이고, (kappa)는 유전상수 또는 상대 유전율이다. 진공에 가까우면 (kappa approx 1)이고, 많은 유전체에서는 이 값이 1보다 크다.

평행판 축전기 식으로 쓰면 다음과 같다.

[ C = frac{kappa varepsilon_0 A}{d} ]

또는 (varepsilon = kappa varepsilon_0)라고 두고,

[ C = frac{varepsilon A}{d} ]

라고 쓰기도 한다. 여기서 (varepsilon)은 그 물질의 유전율이다.

유전체는 안전에도 중요하다

유전체는 전기용량만 키우는 물질이 아니다. 실제 축전기에서는 두 금속판이 서로 닿지 않도록 분리하는 역할도 한다. 만약 두 판이 닿아 버리면 전하는 직접 이동해 버리고, 축전기는 더 이상 전하를 분리해 저장할 수 없다. 이를 단락이라고 부른다.

또한 유전체는 어느 정도 강한 전기장을 견딜 수 있어야 한다. 전기장이 너무 강해지면 절연체도 더 이상 버티지 못하고 전하가 통과할 수 있다. 공기 중에서 번개가 치는 것도 비슷한 현상이다. 원래 공기는 절연체에 가깝지만, 전기장이 매우 강해지면 순간적으로 전하가 이동하는 길이 열린다.

축전기에는 보통 견딜 수 있는 최대 전압이 정해져 있다. 부품에 적힌 정격 전압을 넘기면 유전체가 손상될 수 있고, 심하면 축전기가 파열되거나 회로가 망가질 수 있다. 실제 회로에서 축전기를 사용할 때는 전기용량뿐 아니라 허용 전압도 반드시 고려해야 한다.

병렬 연결: 판의 넓이가 커지는 효과

여러 축전기를 연결하면 전체 전기용량이 달라진다. 먼저 병렬 연결을 보자. 병렬 연결은 축전기들의 양쪽 끝을 각각 같은 두 지점에 연결하는 방식이다. 이 경우 모든 축전기에는 같은 전위차 (V)가 걸린다.

축전기 1에는 (Q_1 = C_1V), 축전기 2에는 (Q_2 = C_2V)가 저장된다. 전체 저장 전하량은 각각의 전하량을 더한 값이다.

[ Q_{text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + cdots ]

따라서

[ Q_{text{total}} = C_1V + C_2V + C_3V + cdots ]

전체 전기용량을 (C_{text{eq}})라고 하면 (Q_{text{total}} = C_{text{eq}}V)이므로,

[ C_{text{eq}} = C_1 + C_2 + C_3 + cdots ]

병렬 연결에서는 전기용량이 더해진다. 직관적으로는 축전기 판의 넓이가 커지는 효과라고 생각하면 좋다. 평행판 축전기에서 넓이 (A)가 커지면 전기용량이 커졌듯이, 병렬 연결은 전하를 저장할 수 있는 공간을 옆으로 더 붙이는 것과 비슷하다.

예를 들어 (2,mutext{F}), (3,mutext{F}), (5,mutext{F}) 축전기를 병렬로 연결하면 전체 전기용량은

[ C_{text{eq}} = 2 + 3 + 5 = 10,mutext{F} ]

이다.

직렬 연결: 판 사이 거리가 멀어지는 효과

이번에는 직렬 연결을 보자. 직렬 연결은 축전기들을 한 줄로 이어 붙이는 방식이다. 이때 각 축전기에는 같은 크기의 전하 (Q)가 저장된다.

처음에는 이 말이 이상하게 느껴질 수 있다. 하지만 직렬로 연결된 가운데 도체 부분을 생각해 보면 이해할 수 있다. 가운데 연결부는 외부에서 전체적으로 전하가 계속 들어오거나 빠져나가는 곳이 아니라, 인접한 축전기 판들의 영향으로 한쪽에는 (+), 다른 쪽에는 (-)가 유도된다. 그래서 직렬 연결된 축전기들은 같은 크기의 전하를 나누어 갖는 형태가 된다.

직렬 연결에서는 전체 전압이 각 축전기에 걸린 전압의 합이다.

[ V_{text{total}} = V_1 + V_2 + V_3 + cdots ]

각 축전기에 대해 (V = Q/C)이므로,

[ V_{text{total}} = frac{Q}{C_1} + frac{Q}{C_2} + frac{Q}{C_3} + cdots ]

전체 전기용량을 (C_{text{eq}})라고 하면 (V_{text{total}} = Q/C_{text{eq}})이므로,

[ frac{1}{C_{text{eq}}} = frac{1}{C_1} + frac{1}{C_2} + frac{1}{C_3} + cdots ]

두 개만 직렬로 연결되어 있다면 자주 쓰는 형태로 바꿀 수 있다.

[ C_{text{eq}} = frac{C_1C_2}{C_1 + C_2} ]

직렬 연결에서는 전체 전기용량이 어느 하나보다도 작아진다. 평행판 축전기를 떠올리면 자연스럽다. 직렬 연결은 전하를 저장하는 판 사이의 유효 거리가 멀어지는 효과와 비슷하다. 거리 (d)가 커지면 전기용량 (C = varepsilon A/d)가 작아졌던 것과 같은 방향이다.

예를 들어 (2,mutext{F})와 (3,mutext{F}) 축전기를 직렬로 연결하면,

[ C_{text{eq}} = frac{2 times 3}{2 + 3} = frac{6}{5} = 1.2,mutext{F} ]

이다. 두 축전기 중 더 작은 값인 (2,mutext{F})보다도 작다.

짧은 계산 연습

계산에 익숙해지려면 식을 외우는 것보다 상황을 먼저 말로 해석하는 연습이 중요하다. 다음 세 문제를 천천히 따라가 보자.

• 넓이가 (A)이고 판 사이 거리가 (d)인 평행판 축전기에서 판의 넓이를 2배로 키우면 전기용량은 어떻게 될까?

• (4,mutext{F})와 (6,mutext{F}) 축전기를 병렬로 연결하면 전체 전기용량은 얼마일까?

• 같은 두 축전기를 직렬로 연결하면 전체 전기용량은 얼마일까?

첫 번째 문제에서는 (C = varepsilon_0 A/d)를 보면 된다. (A)가 2배가 되면 (C)도 2배가 된다. 판이 넓어져 전하를 더 많이 저장할 수 있기 때문이다.

두 번째 문제는 병렬 연결이다. 병렬에서는 전기용량이 그대로 더해진다.

[ C_{text{eq}} = 4 + 6 = 10,mutext{F} ]

세 번째 문제는 직렬 연결이다.

[ C_{text{eq}} = frac{4 times 6}{4 + 6} = frac{24}{10} = 2.4,mutext{F} ]

같은 부품을 사용해도 연결 방식에 따라 전체 성질이 크게 달라진다.

축전기를 보는 네 가지 관점

축전기는 단순한 회로 부품이지만, 그 안에는 전자기학의 핵심 생각이 많이 들어 있다. 하나의 장치를 네 가지 관점으로 볼 수 있다.

• 전하의 관점에서는 양전하와 음전하가 두 도체에 분리되어 저장된다.

• 전위의 관점에서는 두 도체 사이에 전위차가 만들어지고, 전기용량은 (C = Q/V)로 정의된다.

• 전기장의 관점에서는 두 판 사이 공간에 전기장이 생기며, 에너지는 그 전기장 속에 저장된다.

• 물질의 관점에서는 유전체가 분극되어 전기장을 약하게 만들고, 그 결과 같은 구조의 축전기가 더 큰 전기용량을 갖게 된다.

이 네 가지 관점은 서로 따로 노는 설명이 아니다. 모두 같은 현상을 다른 언어로 말한 것이다. 초보자에게 전자기학이 어렵게 느껴지는 이유는 이 여러 언어가 동시에 등장하기 때문이다. 하지만 반대로 생각하면, 한 현상을 여러 방식으로 설명할 수 있다는 뜻이기도 하다. 축전기는 그 연습을 하기에 아주 좋은 장치이다.

다음 장으로 가는 길

지금까지 우리는 주로 전하가 정지해 있는 상황을 다루었다. 축전기도 충전이 끝나면 전하가 멈춰 있는 장치처럼 보인다. 그러나 배터리와 도선을 연결하는 순간, 전하는 움직이기 시작한다. 전하의 움직임이 바로 전류이다.

다음 장에서는 전하가 흐를 때 어떤 일이 일어나는지 살펴본다. 전압은 어떻게 전류를 만들고, 저항은 그 흐름을 어떻게 방해할까? 그리고 우리가 흔히 보는 회로도 속 선과 부품들은 전자기학의 언어로 어떻게 해석될까? 이제 정전기의 세계에서 조금씩 움직이는 전기의 세계로 들어갈 차례이다.