전하와 쿨롱 법칙

전하는 전자기학의 주인공이다

전자기학은 이름만 들으면 어렵게 느껴집니다. 전기장, 자기장, 전위, 플럭스, 유도, 맥스웰 방정식 같은 말들이 차례로 등장하기 때문입니다. 하지만 이 거대한 건물의 첫 벽돌은 뜻밖에 단순합니다.

서로 밀고 당기는 전하.

이것이 전자기학의 출발점입니다. 머리카락에 풍선을 문지른 뒤 벽에 붙여 본 적이 있다면, 이미 전하의 세계를 만난 것입니다. 겨울에 문고리를 잡는 순간 따끔하게 튀는 정전기를 경험했다면, 그 순간에도 전하들이 움직이고 있었습니다. 번개가 하늘을 가르는 장면도, 휴대전화가 충전되는 과정도, 컴퓨터 회로가 계산하는 일도 결국은 전하의 움직임과 전하 사이의 힘에서 시작됩니다.

이번 장에서는 전하가 무엇인지, 전하끼리는 어떤 힘을 주고받는지, 그리고 그 힘을 어떻게 계산하는지 배웁니다. 아직 전기장이나 전위 같은 더 추상적인 개념은 잠시 뒤로 미루어 둡시다. 먼저 가장 직접적인 질문부터 붙잡겠습니다.

전하 두 개가 있을 때, 서로 얼마나 세게 밀거나 당길까?

양전하와 음전하

전하는 물체가 전기적 성질을 띠게 만드는 기본적인 양입니다. 물체에 질량이 있어서 중력의 영향을 받듯이, 물체에 전하가 있으면 전기적인 힘을 주고받습니다.

전하에는 두 종류가 있습니다. 하나는 양전하, 다른 하나는 음전하입니다. 이름만 보면 양전하가 좋은 것, 음전하가 나쁜 것처럼 느껴질 수 있지만 그런 뜻은 전혀 아닙니다. 단지 서로 다른 두 종류의 전기적 성질을 구분하기 위해 붙인 이름입니다.

전하 사이의 기본 규칙은 매우 간단합니다.

• 같은 종류의 전하끼리는 서로 밀어냅니다.

• 다른 종류의 전하끼리는 서로 끌어당깁니다.

• 전하가 많을수록 전기적인 힘도 커집니다.

양전하와 양전하는 서로 밀어냅니다. 음전하와 음전하도 서로 밀어냅니다. 하지만 양전하와 음전하는 서로 끌어당깁니다. 이것은 자석에서 N극과 S극이 서로 끌리고, 같은 극끼리는 미는 현상과 조금 닮아 있습니다. 다만 전하와 자석은 같은 개념이 아니므로, 지금은 비슷한 느낌을 주는 예시 정도로만 받아들이면 됩니다.

원자 안을 들여다보면 이 구분이 더 분명해집니다. 원자핵 안의 양성자는 양전하를 띠고, 원자핵 주위를 움직이는 전자는 음전하를 띱니다. 보통의 물체는 양전하와 음전하의 양이 거의 같아서 전체적으로 전기적으로 중성입니다. 그래서 책상, 컵, 손잡이가 평소에는 서로 강하게 달라붙거나 튕겨 나가지 않습니다.

하지만 마찰이나 접촉을 통해 전자가 한쪽에서 다른 쪽으로 조금 이동하면 상황이 달라집니다. 풍선을 머리카락에 문지르면 전자가 이동하여 풍선과 머리카락이 서로 다른 전기적 상태를 갖게 됩니다. 그 결과 머리카락이 풍선 쪽으로 끌려가거나, 풍선이 벽에 달라붙는 일이 생깁니다. 우리 눈에는 작은 장난처럼 보이지만, 그 안에는 전자기학의 첫 원리가 숨어 있습니다.

전하는 새로 생기기보다 이동한다

정전기 현상을 보면 전하가 갑자기 생겨난 것처럼 보입니다. 풍선을 문지르기 전에는 아무 일도 없었는데, 문지른 뒤에는 머리카락이 곤두서고 벽에 달라붙으니 말입니다. 하지만 실제로는 전하가 무에서 갑자기 만들어진 것이 아닙니다. 대부분의 일상적인 전기 현상에서 전하는 한 물체에서 다른 물체로 이동합니다.

이것을 전하 보존이라고 합니다. 전하 보존은 어떤 과정이 일어나도 전체 전하량은 일정하게 유지된다는 뜻입니다. 한쪽 물체가 음전하를 더 얻었다면, 다른 쪽 물체는 그만큼 음전하를 잃은 것입니다. 전체를 합쳐 보면 전하의 총량은 변하지 않습니다.

예를 들어 두 물체 A와 B가 있다고 합시다. 처음에는 둘 다 중성이었습니다. 그런데 마찰 후 A가 전자를 조금 잃고, B가 그 전자를 얻었다면 A는 상대적으로 양전하를 띠고 B는 음전하를 띱니다. 이때 A에서 사라진 음전하의 양과 B가 얻은 음전하의 양은 같습니다. 어느 한쪽에서 전하가 마술처럼 창조된 것이 아니라, 자리를 옮긴 것입니다.

이 관점은 뒤에서 전류를 배울 때 매우 중요해집니다. 전류는 전하가 흐르는 현상입니다. 물이 수도관을 따라 이동하듯, 전하는 회로를 따라 이동할 수 있습니다. 다만 물과 달리 전하는 양전하와 음전하라는 부호를 갖고, 서로 밀고 당기는 힘을 만든다는 점이 특별합니다.

전하는 알갱이처럼 셀 수 있다

전하에는 또 하나의 중요한 성질이 있습니다. 전하는 아무렇게나 연속적으로 나뉘지 않고, 기본 단위의 정수배로 나타납니다. 이것을 전하의 양자화라고 합니다. 양자화라는 말이 어렵게 들릴 수 있지만, 뜻은 간단합니다. 전하가 모래알처럼 일정한 작은 단위로 세어진다는 뜻입니다.

전하의 가장 기본적인 단위로 자주 등장하는 값은 기본 전하량 e입니다.

e ≈ 1.602 × 10^-19 C

여기서 C는 쿨롱이라고 읽으며, 전하량의 단위입니다. 전자 하나는 -e의 전하를 갖고, 양성자 하나는 +e의 전하를 갖습니다. 따라서 어떤 물체의 전하량 q는 보통 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

q = n e

여기서 n은 정수입니다. 즉 전하량은 e의 1배, 2배, 3배처럼 나타납니다. 물론 e의 값이 너무 작기 때문에 일상적인 물체에서는 이 알갱이성이 잘 느껴지지 않습니다. 쌀 한 톨의 질량은 작지만, 쌀자루를 들 때는 한 톨 한 톨을 세지 않는 것과 비슷합니다. 마찬가지로 거시적인 전기 현상에서는 수많은 전자의 효과가 합쳐져 나타나므로 전하가 거의 연속적인 양처럼 보입니다.

그래도 전하가 기본 단위로 이루어져 있다는 사실은 중요합니다. 전자기학이 단지 거대한 전선과 번개만의 학문이 아니라, 원자와 전자 같은 미시 세계와도 깊이 연결되어 있음을 보여 주기 때문입니다.

점전하라는 이상화

이제 전하 사이의 힘을 계산해 봅시다. 그런데 현실의 물체는 크기가 있습니다. 풍선도 크기가 있고, 금속 구슬도 크기가 있고, 사람의 손도 크기가 있습니다. 이런 물체들 사이의 전기력을 처음부터 정확히 계산하려고 하면 꽤 복잡해집니다.

그래서 물리학은 먼저 단순한 모델을 만듭니다. 그중 하나가 점전하입니다. 점전하란 크기는 없고 전하량만 가진 점처럼 생각하는 전하입니다. 실제로 크기가 0인 물체가 있다는 뜻은 아닙니다. 물체의 크기가 두 물체 사이의 거리보다 충분히 작거나, 물체의 전하가 한 점에 모여 있다고 근사할 수 있을 때 사용하는 모델입니다.

지도에서 도시를 하나의 점으로 표시하는 것과 비슷합니다. 서울은 실제로 넓은 면적을 가진 도시지만, 전국 지도를 볼 때는 하나의 점으로 표시해도 충분합니다. 마찬가지로 전하가 놓인 위치와 전하량만 중요할 때는 점전하 모델이 매우 유용합니다.

쿨롱 법칙은 바로 이 점전하 사이의 전기력을 설명하는 법칙입니다.

쿨롱 법칙: 전하 사이의 힘을 계산하는 법

두 점전하 q1과 q2가 거리 r만큼 떨어져 있을 때, 두 전하 사이에 작용하는 전기력의 크기는 다음과 같습니다.

F = k |q1 q2| / r²

여기서 F는 전기력의 크기이고, q1과 q2는 두 전하의 전하량입니다. r은 두 전하 사이의 거리입니다. k는 쿨롱 상수라고 부르며 대략 다음 값을 갖습니다.

k ≈ 8.99 × 10^9 N·m²/C²

이 식은 겉보기보다 많은 이야기를 담고 있습니다.

먼저 전하량이 커지면 힘도 커집니다. q1이 두 배가 되면 힘도 두 배가 됩니다. q2가 세 배가 되면 힘도 세 배가 됩니다. 두 전하가 모두 커지면 그 곱만큼 힘이 커집니다.

반대로 거리가 멀어지면 힘은 약해집니다. 그런데 단순히 거리에 반비례하는 것이 아니라 거리의 제곱에 반비례합니다. 거리가 2배가 되면 힘은 1/4이 됩니다. 거리가 3배가 되면 힘은 1/9이 됩니다. 가까이 있을 때는 강하게 작용하지만, 멀어질수록 빠르게 약해지는 것입니다.

여기서 |q1 q2|처럼 절댓값을 쓰는 이유는 이 식이 힘의 크기를 나타내기 때문입니다. 크기는 음수가 될 수 없습니다. 힘의 방향은 전하의 부호를 따로 보고 판단합니다.

같은 부호의 전하라면 서로 밀어냅니다. +와 +, 또는 -와 -는 반발합니다. 다른 부호의 전하라면 서로 끌어당깁니다. +와 -는 인력으로 작용합니다. 힘의 방향은 언제나 두 전하를 잇는 직선 방향입니다. 옆으로 비스듬히 새는 것이 아니라, 두 전하가 서로 마주 보는 바로 그 선을 따라 작용합니다.

수식에 감각을 입혀 보기

수식은 처음 보면 차갑게 느껴지지만, 숫자를 넣어 보면 감각이 생깁니다. 예를 들어 +1 μC의 전하와 +1 μC의 전하가 1 m 떨어져 있다고 해 봅시다. 여기서 μC는 마이크로쿨롱이며, 1 μC = 10^-6 C입니다.

쿨롱 법칙에 넣으면 다음과 같습니다.

F = 8.99 × 10^9 × (10^-6 × 10^-6) / 1²

계산하면 약 0.009 N입니다. 1 N은 대략 100 g짜리 물체를 손에 올렸을 때 느끼는 무게 정도의 크기입니다. 그러니 0.009 N은 매우 작은 힘입니다.

하지만 두 전하 사이의 거리를 1 cm로 줄이면 어떻게 될까요? 1 cm는 0.01 m입니다. 거리가 100분의 1로 줄어들면, r²은 10000분의 1이 됩니다. 그래서 힘은 10000배 커집니다. 같은 전하량이라도 거리가 가까워지면 힘이 갑자기 커질 수 있습니다.

이 점이 전기력의 중요한 특징입니다. 전하 사이의 힘은 거리 변화에 매우 민감합니다. 작은 세계, 특히 원자와 분자 수준에서는 전하들이 매우 가까이 있기 때문에 전기력이 물질의 구조를 결정하는 핵심 역할을 합니다. 책상이 단단한 이유, 손이 벽을 통과하지 못하는 이유, 화학 결합이 생기는 이유의 깊은 바닥에는 전하 사이의 힘이 있습니다.

힘은 방향을 가진다

쿨롱 법칙을 제대로 이해하려면 힘이 단순한 숫자가 아니라는 점을 기억해야 합니다. 힘은 크기와 방향을 함께 가진 물리량입니다. 이런 물리량을 벡터라고 합니다.

예를 들어 어떤 전하가 오른쪽으로 3 N의 힘을 받고, 동시에 왼쪽으로 3 N의 힘을 받는다면 어떻게 될까요? 두 힘의 크기는 같지만 방향이 반대이므로 서로 상쇄됩니다. 결과적으로 전체 힘은 0입니다.

반대로 오른쪽으로 3 N, 또 오른쪽으로 2 N의 힘을 받는다면 전체 힘은 오른쪽으로 5 N입니다. 같은 크기의 힘이라도 방향이 어떻게 놓여 있는지에 따라 결과가 완전히 달라집니다.

전기력도 마찬가지입니다. 두 전하만 있을 때는 힘의 방향을 비교적 쉽게 판단할 수 있습니다. 하지만 전하가 세 개, 네 개, 혹은 그 이상이 되면 각 전하가 만드는 힘을 따로 계산하고 방향까지 고려해 더해야 합니다.

여기서 등장하는 원리가 중첩 원리입니다.

여러 전하가 있을 때: 중첩 원리

중첩 원리는 말 그대로 여러 효과를 겹쳐서 더한다는 뜻입니다. 어떤 전하가 여러 전하들로부터 힘을 받을 때, 전체 전기력은 각각의 전하가 따로따로 주는 전기력을 벡터로 더한 값입니다.

전하 q0가 있고, 주변에 q1, q2, q3가 있다고 합시다. q0가 받는 전체 힘은 q1이 q0에 주는 힘, q2가 q0에 주는 힘, q3가 q0에 주는 힘을 모두 더한 것입니다.

F전체 = F1 + F2 + F3 + …

이때 중요한 점은 그냥 숫자만 더하면 안 된다는 것입니다. 방향까지 함께 더해야 합니다. 한 직선 위에 전하들이 놓여 있다면 오른쪽을 +방향, 왼쪽을 -방향으로 정해서 계산할 수 있습니다. 평면 위에 놓여 있다면 힘을 x방향과 y방향으로 나누어 더해야 합니다.

전기력 문제를 풀 때는 다음 순서로 생각하면 좋습니다.

• 먼저 힘을 구하려는 대상 전하를 정합니다.

• 주변 전하 하나하나가 대상 전하를 미는지 끄는지 판단합니다.

• 각 힘의 크기를 쿨롱 법칙으로 계산합니다.

• 방향을 표시한 뒤, 벡터 합으로 전체 힘을 구합니다.

처음에는 이 과정이 번거롭게 느껴질 수 있습니다. 하지만 익숙해지면 전기력 문제의 대부분은 이 순서를 반복하는 일이라는 것을 알게 됩니다.

한 줄 위의 세 전하

간단한 예를 들어 봅시다. 가운데에 +1 μC의 전하 q0가 있고, 왼쪽 1 m 지점에 +1 μC의 전하 q1이 있습니다. 오른쪽 1 m 지점에는 -1 μC의 전하 q2가 있습니다. q0가 받는 힘은 어느 방향일까요?

먼저 왼쪽의 q1을 봅시다. q1은 양전하이고 q0도 양전하입니다. 같은 부호이므로 서로 밀어냅니다. q1은 q0의 왼쪽에 있으므로, q0를 오른쪽으로 밀어냅니다.

이번에는 오른쪽의 q2를 봅시다. q2는 음전하이고 q0는 양전하입니다. 서로 다른 부호이므로 끌어당깁니다. q2는 q0의 오른쪽에 있으므로, q0를 오른쪽으로 끌어당깁니다.

결국 두 힘은 모두 오른쪽 방향입니다. 전하량과 거리가 같으므로 두 힘의 크기도 같습니다. 따라서 전체 힘은 한 전하가 주는 힘의 두 배가 되며, 방향은 오른쪽입니다.

이 예시는 중첩 원리를 잘 보여 줍니다. 한 전하는 밀어서 오른쪽, 다른 전하는 당겨서 오른쪽입니다. 밀었는지 당겼는지만 볼 것이 아니라, 최종적으로 대상 전하가 어느 방향으로 힘을 받는지를 보아야 합니다.

이번에는 오른쪽의 q2도 +1 μC라고 바꾸어 봅시다. 그러면 왼쪽 q1은 q0를 오른쪽으로 밀고, 오른쪽 q2는 q0를 왼쪽으로 밉니다. 두 힘의 크기가 같다면 서로 상쇄되어 전체 힘은 0이 됩니다. 전하가 분명히 양쪽에 존재하고 힘도 작용하지만, 전체 효과는 사라질 수 있습니다.

이처럼 전기력에서는 대칭이 매우 중요합니다. 대칭적으로 배치된 전하들은 어떤 지점에서 힘을 상쇄시키기도 하고, 반대로 같은 방향으로 힘을 모으기도 합니다. 나중에 전기장을 배울 때 이 감각은 큰 도움이 됩니다.

중력과 전기력은 닮았지만 다르다

쿨롱 법칙을 처음 본 사람은 중력 법칙을 떠올릴 수 있습니다. 두 물체 사이의 중력은 질량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례합니다. 두 전하 사이의 전기력도 전하량의 곱에 비례하고 거리의 제곱에 반비례합니다.

형태만 보면 두 법칙은 놀랄 만큼 닮았습니다.

가장 큰 차이는 전기력에는 두 종류의 부호가 있다는 점입니다. 중력은 우리가 아는 범위에서 항상 끌어당기는 힘입니다. 지구와 사과는 서로 끌어당기고, 태양과 지구도 서로 끌어당깁니다. 중력이 서로 밀어내는 일은 일상적인 물리에서는 나타나지 않습니다.

하지만 전기력은 다릅니다. 같은 전하끼리는 밀어내고, 다른 전하끼리는 끌어당깁니다. 그래서 전기력은 상황에 따라 더 다양하고 복잡한 모습을 보입니다. 전하가 적절히 섞이면 서로의 효과를 거의 지워 버릴 수도 있습니다. 보통의 물체가 전기적으로 중성으로 보이는 이유도 양전하와 음전하가 거의 같은 양으로 들어 있기 때문입니다.

또 하나의 중요한 차이는 힘의 크기입니다. 전기력은 중력에 비해 엄청나게 강합니다. 예를 들어 전자와 양성자 사이의 전기력은 같은 두 입자 사이의 중력보다 상상하기 어려울 만큼 큽니다. 그래서 원자 내부에서 전자를 붙잡아 두는 주된 힘은 중력이 아니라 전기력입니다.

그렇다면 왜 우리는 일상에서 전기력보다 중력을 더 자주 느낄까요? 이유는 전하가 잘 상쇄되기 때문입니다. 우리 몸, 책상, 지구 주변의 물체들은 대부분 양전하와 음전하가 거의 균형을 이루고 있습니다. 그래서 큰 전기력이 숨어 있어도 바깥으로 드러나는 전체 효과는 작습니다. 반면 질량은 상쇄되지 않고 계속 더해집니다. 지구 전체의 질량이 우리를 끌어당기기 때문에 우리는 중력을 뚜렷하게 느낍니다.

이 비교는 전자기학을 이해하는 데 중요한 감각을 줍니다. 전기력은 강하지만 잘 감춰집니다. 중력은 약하지만 항상 쌓입니다.

쿨롱 법칙을 읽는 세 가지 눈

쿨롱 법칙은 단순한 공식 하나가 아닙니다. 이 식을 제대로 읽으려면 세 가지를 동시에 보아야 합니다.

첫째, 전하량을 봅니다. 전하가 클수록 힘이 큽니다. 전하량이 두 배, 세 배가 되면 힘도 그에 비례해 커집니다.

둘째, 거리를 봅니다. 거리는 제곱으로 들어갑니다. 그래서 거리 변화는 힘에 큰 영향을 줍니다. 가까운 전하가 먼 전하보다 훨씬 강한 영향을 줄 수 있습니다.

셋째, 부호와 방향을 봅니다. 크기만 계산해서는 부족합니다. 같은 부호인지 다른 부호인지, 대상 전하가 어느 방향으로 밀리거나 당겨지는지까지 판단해야 합니다.

많은 초보자가 전기력 문제에서 실수하는 지점은 공식 자체가 아닙니다. F = k |q1 q2| / r²에 숫자를 넣는 것은 비교적 쉽습니다. 어려움은 방향을 놓치는 데서 생깁니다. 전기력은 벡터이므로, 방향을 빠뜨리면 절반만 푼 셈입니다.

따라서 문제를 풀 때는 계산보다 그림을 먼저 그리는 습관이 좋습니다. 전하의 위치를 점으로 표시하고, 부호를 적고, 힘의 화살표를 그려 보세요. 화살표가 맞으면 계산은 따라옵니다. 화살표가 틀리면 아무리 계산을 잘해도 답은 엉뚱한 곳으로 갑니다.

다음 장을 위한 다리

이번 장에서는 전하 사이의 힘을 직접 계산했습니다. 두 전하가 있으면 쿨롱 법칙으로 힘을 구할 수 있고, 여러 전하가 있으면 각각의 힘을 벡터로 더하면 됩니다. 이것만으로도 많은 전기 현상을 설명할 수 있습니다.

하지만 전하가 많아질수록 매번 모든 힘을 하나하나 계산하는 일은 복잡해집니다. 그래서 물리학자들은 새로운 생각을 도입했습니다. 어떤 전하가 주변 공간에 영향을 만들어 두고, 다른 전하가 그 공간에 들어오면 힘을 받는다고 보는 방식입니다.

이 생각이 바로 전기장입니다.

전기장은 처음에는 조금 추상적으로 느껴질 수 있습니다. 하지만 사실은 쿨롱 법칙에서 자연스럽게 나온 개념입니다. 다음 장에서는 전하가 주변 공간에 어떤 보이지 않는 지도를 만들어 놓는지 살펴보겠습니다. 그 지도를 읽을 수 있게 되면, 전기력은 훨씬 더 넓은 세계로 확장됩니다.

핵심 정리

• 전하에는 양전하와 음전하가 있으며, 같은 전하끼리는 밀어내고 다른 전하끼리는 끌어당긴다.

• 전하는 새로 생기거나 사라지기보다 이동하며, 전체 전하량은 보존된다.

• 전하량은 기본 전하량 e의 정수배로 나타나며, 이를 전하의 양자화라고 한다.

• 두 점전하 사이의 전기력은 F = k |q1 q2| / r²로 주어지며, 거리의 제곱에 반비례한다.

• 전기력은 벡터이므로 크기뿐 아니라 방향도 함께 고려해야 한다.

• 여러 전하가 있을 때 전체 힘은 각각의 전기력을 벡터로 더한 값이며, 이것을 중첩 원리라고 한다.

• 전기력은 중력과 마찬가지로 거리의 제곱에 반비례하지만, 밀어내는 힘과 끌어당기는 힘이 모두 가능하다는 점에서 중력과 다르다.