모든 사람에게 물어볼 수 없다면
선거가 가까워지면 뉴스에는 여론조사 결과가 자주 나온다. A 후보 지지율 42%, B 후보 지지율 38%. 숫자만 보면 A 후보가 앞서는 것처럼 보인다. 그런데 잠깐 멈춰 생각해보자. 정말 모든 유권자에게 물어본 걸까?
그럴 리 없다. 전국의 모든 유권자에게 일일이 전화를 걸고, 모두가 성실하게 대답하게 만들고, 그 결과를 매일 집계하는 일은 거의 불가능하다. 그래서 우리는 일부 사람에게 묻는다. 그리고 그 일부의 대답을 바탕으로 전체의 생각을 추정한다.
이것이 통계의 출발점이다. 통계는 전체를 다 보지 못할 때, 일부를 잘 관찰해서 전체에 대해 조심스럽게 말하는 기술이다.
마트에서 큰 냄비에 끓고 있는 국을 생각해보자. 국 전체의 간을 보려고 냄비를 통째로 마실 필요는 없다. 숟가락으로 조금 떠서 맛보면 된다. 하지만 여기에는 조건이 있다. 국이 잘 섞여 있어야 한다. 위쪽만 싱겁고 아래쪽에 소금이 가라앉아 있다면, 한 숟가락 맛만으로 전체 맛을 판단하기 어렵다.
표본도 마찬가지다. 일부를 본다고 해서 자동으로 전체를 알 수 있는 것은 아니다. 중요한 것은 얼마나 많이 보았는가만이 아니다. 어디서, 어떻게 골랐는가가 함께 중요하다.
모집단과 표본: 알고 싶은 전체와 실제로 본 일부
통계에서 우리가 정말 알고 싶은 전체를 모집단이라고 한다. 실제로 조사한 일부는 표본이라고 한다. 예를 들어 '서울 시민의 대중교통 만족도'를 알고 싶다면 모집단은 서울 시민 전체다. 그중 실제 설문에 응답한 1,000명이 표본이다.
여기서 조심해야 할 점이 있다. 표본은 모집단의 작은 조각이지만, 아무 조각이나 가져오면 안 된다. 케이크의 맛을 보겠다고 크림만 긁어 먹고 전체 케이크 맛을 평가할 수는 없다. 표본은 전체의 특징을 가능한 한 닮아 있어야 한다.
통계의 기본 언어를 간단히 정리하면 이렇다.
모집단: 우리가 알고 싶은 전체 집단
표본: 실제로 관찰하거나 조사한 일부
모수: 모집단 전체가 가진 진짜 값
통계량: 표본에서 계산한 값
예를 들어 어떤 도시의 실제 평균 통근 시간이 42분이라고 하자. 이것은 도시 전체 사람을 모두 조사해야 알 수 있는 값이므로 모수에 가깝다. 그런데 우리가 500명을 조사해 평균 통근 시간이 39분이라고 계산했다면, 이것은 표본에서 나온 통계량이다.
통계에서 자주 생기는 오해는 표본에서 나온 숫자를 곧바로 전체의 진실처럼 받아들이는 것이다. 표본 평균 39분은 중요한 정보지만, 그것이 곧 도시 전체의 정확한 평균이라고 단정할 수는 없다. 표본은 전체를 향해 던지는 손전등이지, 전체를 완전히 비추는 태양은 아니다.
표본 크기는 왜 중요할까
친구 두 명에게만 물어보고 '요즘 사람들은 다 매운 음식을 좋아한다'고 말하면 불안하다. 우연히 매운 음식을 좋아하는 친구만 물어봤을 수 있기 때문이다. 반대로 1,000명에게 물어봤다면 조금 더 믿을 만해진다. 표본이 커질수록 우연한 흔들림은 줄어드는 경향이 있다.
동전을 던져 앞면이 나올 확률은 1/2이다. 하지만 동전을 4번 던졌을 때 앞면이 꼭 2번 나오는 것은 아니다. 4번 모두 앞면이 나올 수도 있다. 그러나 1,000번 던지면 앞면의 비율은 대체로 1/2 근처로 가까워진다. 표본 크기가 커질수록 우연한 치우침이 완화되는 것이다.
하지만 표본 크기가 전부는 아니다. 10만 명에게 물어봤더라도 그 10만 명이 모두 특정 온라인 커뮤니티 이용자라면, 그 결과를 전체 시민의 생각이라고 보기 어렵다. 반대로 1,000명이라도 성별, 연령, 지역, 직업 등이 모집단과 비슷하게 뽑혔다면 훨씬 더 좋은 표본이 될 수 있다.
표본을 볼 때는 두 질문을 함께 던져야 한다.
얼마나 많이 조사했는가?
누구를 조사했는가?
어떤 방식으로 조사했는가?
응답하지 않은 사람들은 누구인가?
표본 크기는 숫자의 안정성을 높여준다. 그러나 표본 추출 방식은 숫자의 방향을 결정한다. 많이 조사했는데 한쪽으로 치우쳐 있다면, 그 숫자는 정교하게 틀릴 수 있다.
추출 방식: 표본은 어떻게 뽑혔는가
좋은 표본은 모집단을 닮아야 한다. 그래서 통계에서는 가능한 한 무작위로 표본을 뽑으려 한다. 무작위라는 말은 아무렇게나 한다는 뜻이 아니다. 특정한 사람이 뽑힐 가능성을 조사자의 마음대로 조정하지 않는다는 뜻이다.
예를 들어 회사 직원 만족도를 조사한다고 해보자. 점심시간에 휴게실에 있는 사람에게만 설문을 돌리면 어떨까? 바쁜 부서 사람들은 빠질 수 있다. 야근이 많은 팀은 점심시간에도 회의 중일 수 있다. 그러면 조사 결과는 실제보다 긍정적으로 나올 수도, 부정적으로 나올 수도 있다. 중요한 것은 그 표본이 회사 전체를 닮았는지다.
온라인 설문도 비슷하다. 참여가 쉬워 보이지만, 실제로는 '응답하고 싶은 사람'만 응답하는 경우가 많다. 강한 의견을 가진 사람일수록 설문에 참여할 가능성이 높다. 매우 만족한 사람과 매우 불만족한 사람은 목소리를 내지만, 그럭저럭 괜찮았던 다수는 조용히 지나갈 수 있다.
이런 현상을 표본 편향이라고 한다. 표본이 모집단을 제대로 대표하지 못하고 한쪽으로 기울어진 상태다. 표본 편향이 있으면 숫자가 아무리 깔끔해 보여도 해석은 위험해진다.
여기서 중요한 통계 감각이 하나 나온다. 숫자의 정확성은 계산기에서 시작되지 않는다. 질문을 누구에게 던졌는지에서 시작된다.
설문조사는 질문이 결과를 바꾼다
여론조사와 설문조사는 단순히 대답을 모으는 일이 아니다. 질문을 어떻게 구성하느냐에 따라 결과가 달라질 수 있다.
예를 들어 같은 정책을 두고 이렇게 물을 수 있다.
세금 부담을 늘릴 수 있는 복지 확대에 찬성하십니까?
사회 안전망을 강화하기 위한 복지 확대에 찬성하십니까?
현재 수준의 세금을 유지하면서 복지 지출을 조정하는 방안에 찬성하십니까?
세 질문은 비슷한 주제를 다루지만, 응답자가 떠올리는 장면은 다르다. 첫 번째 질문은 부담을 강조한다. 두 번째 질문은 보호와 안전을 강조한다. 세 번째 질문은 조정과 균형을 강조한다. 같은 사람도 문항에 따라 다르게 대답할 수 있다.
선택지도 중요하다. 만족도를 묻는 설문에서 선택지가 '매우 만족, 만족, 보통, 불만족, 매우 불만족'인지, 아니면 '만족, 보통, 불만족'인지에 따라 결과의 세부 모습이 달라진다. '잘 모르겠다'라는 선택지가 있는지도 영향을 준다. 선택지가 없으면 사람들은 억지로 찬성이나 반대 중 하나를 고를 수 있다.
질문 순서도 영향을 준다. 먼저 경제 불안을 떠올리게 한 뒤 소비 계획을 물으면 응답은 더 보수적으로 나올 수 있다. 반대로 최근의 즐거운 경험을 먼저 묻고 같은 질문을 던지면 소비 의향이 조금 달라질 수도 있다.
설문조사의 결과를 읽을 때는 숫자만 보지 말고 질문지를 상상해야 한다. 어떤 단어로 물었는가, 어떤 선택지를 주었는가, 어떤 순서로 물었는가. 설문조사의 숫자는 사람들의 생각만 반영하지 않는다. 질문의 모양도 함께 반영한다.
응답 편향: 사람은 늘 솔직하게 답하지 않는다
조사에서 또 하나 중요한 문제는 응답 편향이다. 표본에 포함된 사람이 실제 생각이나 행동과 다르게 대답하는 현상이다.
사람들은 때로 자신을 더 좋게 보이게 만드는 방향으로 답한다. 운동을 얼마나 하느냐는 질문에는 실제보다 조금 더 많이 한다고 말할 수 있다. 독서량, 기부 경험, 친환경 소비, 투표 참여 같은 질문도 마찬가지다. 사회적으로 바람직해 보이는 대답을 고르는 경향이 생긴다.
반대로 민감한 질문에는 답을 피하거나 축소할 수 있다. 소득, 부채, 건강 상태, 정치 성향, 직장 내 불만 같은 주제는 쉽게 드러내기 어렵다. 이때 조사 결과는 실제보다 조심스럽고 평평하게 나올 수 있다.
응답하지 않은 사람들도 문제다. 설문에 응답한 30%의 의견이 응답하지 않은 70%와 같다고 보장할 수 없다. 특히 바쁘거나 불만이 있거나 조사 자체를 신뢰하지 않는 사람들이 빠졌다면 결과는 달라질 수 있다.
그래서 통계 자료를 볼 때 '몇 명이 응답했는가'만큼 '응답률은 얼마인가'도 중요하다. 응답한 사람들의 숫자 뒤에는 응답하지 않은 사람들의 침묵이 숨어 있다.
통계는 추측이지만, 아무 말은 아니다
이쯤 되면 이런 생각이 들 수 있다. 표본도 흔들리고, 질문도 영향을 주고, 응답도 편향될 수 있다면 통계는 믿을 수 없는 것 아닐까?
그렇지는 않다. 통계는 불완전하기 때문에 쓸모없는 것이 아니라, 불완전함을 알고 다루기 때문에 쓸모 있다. 좋은 통계는 '이 숫자가 절대적으로 맞다'고 말하지 않는다. 대신 '이런 방식으로 조사했을 때, 이 정도 범위에서 이렇게 볼 수 있다'고 말한다.
통계적 사고는 겸손한 사고다. 전체를 다 보지 못한다는 사실을 인정한다. 표본에 오차가 있을 수 있음을 인정한다. 그래도 아무 근거 없이 감으로 판단하는 것보다는, 제한된 자료를 체계적으로 해석하는 편이 낫다.
어른의 수학 감각은 숫자를 무조건 믿는 태도가 아니다. 숫자를 보되, 숫자가 만들어진 과정을 함께 보는 태도다.
상관관계: 함께 움직인다는 뜻
이제 표본에서 한 걸음 더 나아가 보자. 데이터 분석에서 매우 자주 등장하는 말이 있다. 바로 상관관계다.
상관관계는 두 값이 함께 움직이는 정도를 말한다. 한 값이 커질 때 다른 값도 함께 커지는 경향이 있으면 양의 상관관계라고 한다. 한 값이 커질 때 다른 값은 작아지는 경향이 있으면 음의 상관관계라고 한다. 둘 사이에 뚜렷한 움직임이 없으면 상관관계가 약하다고 말한다.
예를 들어 공부 시간이 늘어날수록 시험 점수가 높아지는 경향이 있다면 양의 상관관계다. 상품 가격이 오를수록 구매량이 줄어드는 경향이 있다면 음의 상관관계일 수 있다. 물론 현실은 늘 깔끔하지 않다. 공부 시간이 길어도 비효율적으로 공부하면 점수가 오르지 않을 수 있고, 가격이 올라도 꼭 필요한 물건은 계속 살 수 있다.
상관관계를 볼 때 가장 좋은 그림은 산점도다. 산점도는 가로축에 하나의 값, 세로축에 다른 값을 놓고 각 대상을 점으로 찍은 그래프다. 점들이 오른쪽 위로 모이면 양의 상관관계가 보인다. 오른쪽 아래로 내려가면 음의 상관관계가 보인다. 점들이 구름처럼 흩어져 있으면 관계가 약하다.
상관관계는 관계의 냄새를 맡게 해준다. 하지만 그것만으로 원인과 결과를 확정하지는 못한다.
상관관계는 인과관계가 아니다
데이터 해석에서 가장 유명하면서도 가장 자주 무시되는 문장이 있다. 상관관계는 인과관계가 아니다.
아이스크림 판매량이 늘어나는 시기에는 물놀이 사고도 늘어날 수 있다. 그렇다고 아이스크림이 사고를 일으킨다고 말할 수는 없다. 두 현상 뒤에는 여름철 기온이라는 숨은 변수가 있다. 날씨가 더워지면 사람들은 아이스크림을 더 많이 사고, 물놀이도 더 많이 한다. 두 값은 함께 움직이지만 하나가 다른 하나의 직접 원인이라고 보기는 어렵다.
광고비와 매출도 조심해야 한다. 광고비를 많이 쓴 달에 매출이 높았다면 광고가 매출을 올렸을 수도 있다. 하지만 반대로 회사가 매출이 늘어날 것으로 예상되는 성수기에 광고비를 늘렸을 수도 있다. 또는 신제품 출시, 할인 행사, 경쟁사의 품절 같은 다른 요인이 함께 작용했을 수도 있다.
상관관계를 인과관계로 착각하는 방식은 크게 세 가지다.
숨은 변수: 두 값 모두에 영향을 주는 제3의 요인이 있다.
역인과: 원인과 결과의 방향이 반대일 수 있다.
우연한 상관: 실제 의미 있는 관계가 없는데 우연히 함께 움직인 것처럼 보인다.
데이터가 많아질수록 우연한 상관도 많아진다. 수많은 변수 중에서 비슷하게 움직이는 두 가지를 찾는 일은 생각보다 쉽다. 하지만 비슷하게 움직였다는 이유만으로 이야기를 만들면 위험하다. 인간의 뇌는 패턴을 좋아한다. 점 몇 개만 봐도 선을 긋고 싶어 한다. 그래서 데이터 시대에는 숫자를 믿는 능력만큼 숫자를 의심하는 능력도 필요하다.
현실 예시: 만족도 82%를 어떻게 읽을까
어떤 앱 회사가 이렇게 발표했다고 하자.
'고객 만족도 82% 달성.'
좋아 보이는 숫자다. 하지만 이제 우리는 바로 믿기보다 먼저 물어볼 수 있다.
모집단은 누구인가? 전체 가입자인가, 최근 이용자인가, 유료 고객인가?
표본은 몇 명인가? 50명인가, 500명인가, 5,000명인가?
표본은 어떻게 뽑았는가? 무작위인가, 자발적 응답인가?
질문은 어떻게 되어 있었는가? '만족하십니까?'였는가, '서비스 개선에 만족하십니까?'였는가?
만족의 기준은 무엇인가? 매우 만족만 포함했는가, 보통 이상을 포함했는가?
응답하지 않은 사람들은 누구인가? 불만족해서 이미 앱을 지운 사람들은 빠진 것 아닌가?
이 질문들을 던진다고 해서 82%가 거짓이라는 뜻은 아니다. 숫자를 공격하는 것이 아니라 숫자의 의미를 확인하는 것이다. 같은 82%라도 조사 방식에 따라 매우 강한 근거가 될 수도 있고, 홍보 문구에 가까운 숫자가 될 수도 있다.
숫자는 혼자 서 있지 않다. 숫자에는 항상 배경이 있다. 조사 대상, 질문 방식, 기간, 기준, 계산 방법이 숫자의 의미를 만든다.
데이터 해석에서 던져야 할 질문들
통계와 상관관계를 읽을 때는 계산 실력보다 질문 실력이 중요하다. 특히 뉴스, 광고, 보고서, 투자 자료, 업무 지표를 볼 때 다음 질문들이 큰 도움이 된다.
이 숫자의 모집단은 무엇인가?
표본은 얼마나 크고 어떻게 뽑혔는가?
빠진 사람이나 빠진 데이터는 없는가?
질문이나 측정 방식이 결과에 영향을 주지 않았는가?
절대값인가, 비율인가, 증가율인가?
두 값이 함께 움직인다면 원인의 방향은 분명한가?
숨은 변수나 계절적 요인은 없는가?
그래프나 숫자가 특정 인상을 주도록 편집되지는 않았는가?
이 질문들은 통계를 부정하기 위한 질문이 아니다. 오히려 통계를 제대로 존중하기 위한 질문이다. 좋은 숫자는 질문을 견딘다. 약한 숫자는 질문을 받을수록 흐려진다.
숫자를 의심한다는 것의 진짜 의미
'숫자를 의심하라'는 말은 아무 숫자도 믿지 말라는 뜻이 아니다. 그것은 오히려 감정과 인상만으로 판단하지 않기 위해 숫자를 더 정확히 읽으라는 뜻이다.
통계는 우리에게 전체를 상상하게 해준다. 표본은 보이지 않는 모집단을 향해 창을 낸다. 상관관계는 데이터 속에서 함께 움직이는 관계를 발견하게 해준다. 그러나 이 모든 도구는 조심스럽게 써야 한다. 창이 작으면 보이는 장면도 제한된다. 함께 움직이는 두 그림자가 있다고 해서 하나가 다른 하나를 밀었다고 말할 수는 없다.
수학 감각이 있는 사람은 숫자를 보고 곧장 결론으로 뛰지 않는다. 먼저 기준을 묻고, 표본을 묻고, 관계를 묻고, 원인의 방향을 묻는다. 그리고 마지막에 조심스럽게 말한다. '이 숫자는 이런 조건에서는 이렇게 해석할 수 있다.'
그 태도가 바로 데이터 시대의 수학 문해력이다.
한 줄 정리: 통계는 일부로 전체를 추정하는 기술이고, 상관관계는 함께 움직임을 보여줄 뿐 원인과 결과를 증명하지 않는다.
생각 문제
다음 문장을 읽고, 바로 믿기 전에 어떤 질문을 던져야 할지 생각해보자.
한 온라인 설문에서 응답자의 76%가 재택근무를 선호한다고 답했다. 이 결과를 모든 직장인의 의견으로 볼 수 있을까?
어느 지역에서 카페 수가 많은 동네일수록 집값도 높았다. 카페가 집값을 올린다고 말할 수 있을까?
어떤 교육 앱이 '사용자 평균 점수 15점 상승'을 홍보한다. 점수가 오른 이유가 앱 때문인지 확인하려면 무엇을 더 알아야 할까?
고객 만족도 조사에서 '보통'까지 만족으로 포함해 만족도 90%라고 발표했다. 이 숫자를 어떻게 해석해야 할까?
이 문제들의 목적은 정답을 맞히는 것이 아니다. 숫자 앞에서 멈춰 서는 연습을 하는 것이다. 수학은 때로 빠르게 계산하는 힘보다, 성급한 결론을 늦추는 힘에 더 가깝다.
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