기대값으로 판단하기

가능성만 보면 선택을 잘못한다

"당첨 확률 10%!"라는 문구를 보면 꽤 그럴듯해 보입니다. 열 번 중 한 번은 된다는 뜻이니까요. 그런데 당첨되면 무엇을 받는지에 따라 이야기는 완전히 달라집니다. 10% 확률로 100원을 받는 행사와 10% 확률로 100만 원을 받는 행사는 같은 10%가 아닙니다. 확률은 같지만 결과의 크기가 다르기 때문입니다.

반대로 "성공 확률 1%"라는 말도 무조건 낮게만 볼 수 없습니다. 1% 확률로 1,000원을 얻는 일이라면 별 의미가 없지만, 1% 확률로 인생이 바뀔 만큼 큰 기회를 얻는 일이라면 누군가는 도전할 만하다고 판단할 수 있습니다. 물론 그 도전에 드는 비용과 실패했을 때의 손실도 함께 봐야 합니다.

지난 장에서 우리는 확률이 '일어날 가능성'을 숫자로 표현한 것이라고 배웠습니다. 그런데 현실의 선택은 가능성만으로 결정되지 않습니다. 어떤 일이 일어날 가능성과, 그 일이 일어났을 때의 결과가 함께 중요합니다. 이 둘을 한 번에 보는 도구가 바로 기대값입니다.

기대값은 어른의 수학에서 아주 강력한 개념입니다. 복권을 살지 말지, 보험에 가입할지 말지, 이벤트에 참여할지 말지, 투자나 사업에서 어떤 선택지를 고를지 판단할 때 기대값 사고가 필요합니다. 기대값은 미래를 맞히는 마법은 아니지만, 막연한 느낌을 숫자로 바꾸어주는 좋은 출발점입니다.

기대값이란 무엇인가

기대값은 간단히 말해 각 결과의 값에 그 결과가 일어날 확률을 곱한 뒤 모두 더한 값입니다. 말은 조금 길지만 구조는 어렵지 않습니다.

예를 들어 동전을 던져서 앞면이 나오면 1만 원을 받고, 뒷면이 나오면 4천 원을 잃는 게임이 있다고 해봅시다. 앞면과 뒷면이 나올 확률은 각각 50%입니다.

계산은 이렇게 합니다.

기대값 = 1만 원 × 50% + (-4천 원) × 50%

50%는 소수로 0.5입니다. 그러므로 계산하면 다음과 같습니다.

10,000원 × 0.5 + (-4,000원) × 0.5 = 5,000원 - 2,000원 = 3,000원

이 게임의 기대값은 3,000원입니다. 이것은 한 번 게임을 할 때마다 반드시 3,000원을 번다는 뜻이 아닙니다. 실제로 한 번만 하면 1만 원을 벌거나 4천 원을 잃습니다. 3,000원이라는 결과는 나오지 않습니다.

기대값은 "이 게임을 아주 많이 반복한다면, 한 번당 평균적으로 어느 정도의 결과가 나올까?"를 말해주는 숫자입니다. 그래서 기대값은 반복되는 선택을 평가할 때 특히 유용한 평균적 결과입니다.

여기서 중요한 점이 있습니다. 기대값은 결과를 보장하지 않습니다. 기대값은 가능성과 결과값을 함께 고려한 평균적인 방향을 보여줍니다. 한 번의 선택에서는 운이 크게 작용하지만, 같은 구조가 반복될수록 기대값은 점점 힘을 갖습니다.

기대값 계산의 기본 구조

기대값을 계산할 때는 먼저 가능한 결과를 나누어야 합니다. 그다음 각 결과가 일어날 확률과 그때의 이익 또는 손실을 적습니다. 마지막으로 곱해서 더합니다.

예를 들어 어떤 이벤트에서 1등은 10만 원 상품권, 2등은 1만 원 상품권, 꽝은 아무것도 없다고 해봅시다. 1등 확률은 1%, 2등 확률은 9%, 꽝 확률은 90%입니다. 참가비는 없다고 하겠습니다.

이 이벤트의 기대값은 1,900원입니다.

이 말은 이 이벤트에 한 번 참여하면 평균적으로 1,900원어치의 가치를 기대할 수 있다는 뜻입니다. 물론 실제로는 10만 원 상품권을 받을 수도 있고, 1만 원 상품권을 받을 수도 있고, 아무것도 못 받을 수도 있습니다. 하지만 수학적으로 보면 이 이벤트 한 번의 평균 가치는 1,900원입니다.

만약 이 이벤트에 참여하기 위해 3,000원짜리 물건을 반드시 추가로 사야 한다면 어떨까요? 원래 살 생각이 없던 물건이라면, 1,900원짜리 기대 혜택을 얻으려고 3,000원을 더 쓰는 셈입니다. 기대값만 보면 손해입니다. 반대로 어차피 살 물건이라면 이야기가 달라집니다. 추가 비용이 없다면 기대값 1,900원의 이벤트는 꽤 괜찮은 혜택입니다.

기대값 계산은 그래서 단순한 산수가 아닙니다. "내가 원래 하려던 행동인가?", "추가로 드는 돈은 얼마인가?", "받는 혜택은 실제로 나에게 가치가 있는가?"를 함께 묻는 판단법입니다.

복권은 왜 대부분의 사람에게 불리한 게임인가

복권은 기대값을 설명하기에 가장 좋은 사례입니다. 사람들은 복권을 살 때 당첨금의 크기를 먼저 봅니다. "1등 20억", "이번 주 누적 당첨금 50억" 같은 숫자는 눈을 번쩍 뜨이게 합니다. 그런데 기대값으로 보려면 당첨금만 보면 안 됩니다. 당첨 확률과 복권 가격을 함께 봐야 합니다.

아주 단순한 복권을 하나 상상해봅시다. 복권 한 장 가격은 1,000원입니다. 1등 당첨금은 10억 원이고, 당첨 확률은 1,000만 분의 1이라고 하겠습니다. 다른 등수는 일단 없다고 단순화해보겠습니다.

1등 당첨의 기대값은 이렇게 계산합니다.

10억 원 × 1/10,000,000 = 100원

당첨금만 놓고 보면 한 장의 기대 당첨금은 100원입니다. 그런데 복권을 사려면 1,000원을 냅니다. 그러면 순기대값은 다음과 같습니다.

기대 당첨금 100원 - 구매 비용 1,000원 = -900원

즉 이 단순한 복권은 한 장 살 때마다 평균적으로 900원을 잃는 구조입니다. 물론 실제 복권에는 여러 등수의 당첨금이 있습니다. 그래서 실제 계산은 더 복잡합니다. 하지만 기본 원리는 같습니다. 각 등수의 당첨금에 각 등수의 당첨 확률을 곱하고 모두 더한 뒤, 복권 구매 비용을 빼면 됩니다.

복권이 많은 사람에게 매력적인 이유는 기대값이 좋아서가 아닙니다. 아주 작은 돈으로 아주 큰 상상을 살 수 있기 때문입니다. 1,000원이나 5,000원을 내고 "혹시 나도?"라는 가능성을 사는 것입니다. 이것은 오락으로 볼 수 있습니다. 영화표를 사듯, 커피 한 잔을 사듯, 작은 즐거움으로 복권을 산다면 그것은 개인의 선택입니다.

하지만 복권을 돈을 버는 전략으로 생각하면 문제가 생깁니다. 기대값이 음수인 게임을 반복하면, 운 좋은 몇 명을 제외한 대부분은 돈을 잃습니다. 특히 "이번에는 될 것 같다"는 감정으로 구매 금액을 늘리면 복권은 오락이 아니라 위험한 지출이 됩니다.

복권 앞에서 필요한 질문은 간단합니다.

"나는 지금 투자를 하는가, 아니면 재미를 사는가?"

이 질문에 솔직히 답할 수 있으면 복권에 휘둘릴 가능성이 줄어듭니다.

보험은 왜 손해처럼 보여도 필요할 수 있는가

기대값만 보면 보험은 이상해 보일 수 있습니다. 보험료를 내는 사람 전체가 낸 돈보다 보험사가 지급하는 돈이 항상 더 크다면 보험사는 유지될 수 없습니다. 보험사는 직원 월급, 운영비, 이익을 감당해야 합니다. 그러므로 많은 보험 상품은 가입자 개인의 기대값만 단순 계산하면 "낸 돈보다 받을 돈의 평균이 적은" 구조일 가능성이 큽니다.

그렇다면 보험은 무조건 나쁜 선택일까요? 그렇지 않습니다. 보험은 돈을 벌기 위한 도구가 아니라 감당하기 어려운 손실을 피하기 위한 장치이기 때문입니다.

예를 들어 어떤 사고가 날 확률이 1%이고, 사고가 나면 3,000만 원의 손실이 생긴다고 해봅시다. 이 사고의 기대손실은 다음과 같습니다.

3,000만 원 × 1% = 30만 원

수학적으로 보면 이 사고의 평균 손실은 30만 원입니다. 그런데 보험료가 1년에 50만 원이라면 어떨까요? 기대값만 보면 손해입니다. 평균적으로 30만 원의 손실을 피하기 위해 50만 원을 내는 셈이니까요.

하지만 현실은 평균으로만 살 수 없습니다. 사고가 나지 않으면 손실은 0원이지만, 사고가 나면 한 번에 3,000만 원이 필요합니다. 만약 내 통장에 여유 자금이 충분하지 않다면 이 손실은 생활 전체를 흔들 수 있습니다. 대출을 받아야 할 수도 있고, 치료나 회복을 포기해야 할 수도 있고, 가족의 계획이 무너질 수도 있습니다.

그래서 보험의 핵심은 기대값이 아니라 최악의 경우를 감당 가능한 수준으로 바꾸는 것입니다. 기대값은 평균을 말하지만, 보험은 파산과 붕괴를 막는 역할을 합니다.

이 차이를 이해하면 보험을 볼 때도 기준이 생깁니다. 작은 손실을 보상받기 위해 지나치게 많은 보험료를 내는 것은 조심해야 합니다. 반대로 한 번 발생하면 삶이 크게 흔들리는 위험에 대해서는 보험이 필요할 수 있습니다. 스마트폰 액정 파손처럼 감당 가능한 손실과, 큰 질병이나 사고처럼 감당하기 어려운 손실은 다르게 봐야 합니다.

기대값은 보험을 거절하라고 가르치지 않습니다. 오히려 이렇게 묻도록 도와줍니다.

"이 돈은 평균적으로 이득을 보려는 돈인가, 아니면 큰 위험을 작게 나누기 위한 돈인가?"

이 질문을 할 수 있다면 보험 상품을 훨씬 차분하게 볼 수 있습니다.

이벤트와 포인트 뽑기의 속마음

쇼핑몰, 게임, 카페 앱에는 기대값이 숨어 있습니다. "랜덤 쿠폰 지급", "최대 5만 포인트 당첨", "룰렛 돌리기", "상자 열기" 같은 이벤트는 모두 확률과 보상의 조합입니다. 겉으로는 행운처럼 보이지만, 운영하는 쪽에서는 대체로 계산된 구조입니다.

예를 들어 어떤 쇼핑몰에서 구매 후 룰렛을 돌리면 포인트를 준다고 해봅시다.

이 이벤트의 기대값은 230원입니다. "최대 10,000포인트"라는 문구는 커 보이지만, 평균적으로는 한 번 참여할 때 230원 정도의 혜택입니다.

여기서 한 가지를 더 봐야 합니다. 포인트는 현금과 같지 않을 수 있습니다. 1,000포인트를 받았지만 3만 원 이상 구매할 때만 쓸 수 있다면 실제 가치는 줄어듭니다. 유효기간이 짧거나 특정 상품에만 쓸 수 있어도 마찬가지입니다. 기대값을 계산할 때는 표시된 금액이 아니라 내가 실제로 쓸 수 있는 가치로 바꾸어야 합니다.

게임 아이템 뽑기도 비슷합니다. 1% 확률로 희귀 아이템이 나오고, 한 번 뽑는 데 1,000원이 든다고 해봅시다. 희귀 아이템 하나를 얻기 위해 평균적으로 몇 번 정도 뽑아야 할까요? 확률이 1%라면 단순 평균으로는 약 100번입니다. 비용은 10만 원입니다.

그런데 여기서도 조심해야 합니다. 100번 뽑으면 반드시 나온다는 뜻이 아닙니다. 어떤 사람은 10번 만에 얻을 수도 있고, 어떤 사람은 200번을 해도 못 얻을 수 있습니다. 기대값은 평균의 언어이지 보장의 언어가 아닙니다.

이벤트와 뽑기 앞에서 기대값을 계산하면 광고 문구의 크기와 실제 혜택 사이의 거리가 보입니다. "최대", "무려", "선착순", "랜덤" 같은 단어가 마음을 흔들 때, 속으로 이렇게 계산해보면 됩니다.

"평균적으로 나는 얼마를 받는 구조인가?"

이 질문 하나만으로도 많은 충동 소비가 힘을 잃습니다.

기대값은 반복될수록 강해진다

기대값을 이해할 때 꼭 기억해야 할 말이 있습니다. 한 번의 결과는 운에 가깝고, 반복된 결과는 구조에 가까워진다는 것입니다.

동전을 한 번 던지면 앞면이 나올 수도 있고 뒷면이 나올 수도 있습니다. 두 번 던졌는데 둘 다 앞면이 나올 수도 있습니다. 그렇다고 동전이 이상하다고 말할 수는 없습니다. 하지만 1만 번 던졌는데 앞면이 9,900번 나온다면 이야기가 달라집니다. 그때는 동전이나 던지는 방식에 문제가 있는지 의심해야 합니다.

기대값도 마찬가지입니다. 기대값이 좋은 선택이라도 한 번은 실패할 수 있습니다. 기대값이 나쁜 선택이라도 한 번은 성공할 수 있습니다. 복권에 당첨된 사람은 실제로 존재합니다. 카지노에서 크게 딴 사람도 있습니다. 하지만 그 몇 번의 성공이 게임의 구조를 바꾸지는 않습니다.

사업, 투자, 마케팅, 영업처럼 비슷한 선택이 반복되는 영역에서는 기대값 사고가 특히 중요합니다. 예를 들어 광고비 10만 원을 쓰면 평균적으로 13만 원의 이익이 돌아오는 구조라면, 한두 번은 손해가 나도 반복할 이유가 있습니다. 반대로 광고비 10만 원을 쓰면 평균적으로 7만 원밖에 돌아오지 않는 구조라면, 가끔 대박이 나더라도 계속할수록 불리합니다.

물론 현실에서는 기대값을 정확히 알기 어렵습니다. 그래서 데이터를 모읍니다. 몇 명에게 광고를 보여줬는지, 몇 명이 클릭했는지, 몇 명이 구매했는지, 구매한 사람의 평균 결제액은 얼마인지 기록합니다. 기대값은 책상 위 공식이 아니라, 반복되는 현실을 읽기 위한 언어입니다.

기대값만으로 결정하면 안 되는 경우

기대값은 매우 유용하지만 전부는 아닙니다. 평균적으로 이득인 선택이 항상 좋은 선택은 아니고, 평균적으로 손해인 선택이 항상 나쁜 선택도 아닙니다. 인간의 삶에는 평균으로 해결되지 않는 문제가 있기 때문입니다.

먼저 감정의 가치가 있습니다. 가족과의 여행에 쓰는 돈은 기대값으로만 계산하기 어렵습니다. 여행비 100만 원을 썼다고 해서 그 돈이 몇 퍼센트 수익을 내야 하는 것은 아닙니다. 추억, 휴식, 관계 회복 같은 가치는 숫자로 완전히 환산되지 않습니다. 기대값은 돈과 확률이 분명한 선택에서 강하지만, 모든 행복을 계산할 수는 없습니다.

다음으로 생존의 문제가 있습니다. 기대값이 아무리 좋아도 한 번 실패했을 때 다시 일어날 수 없다면 조심해야 합니다. 예를 들어 90% 확률로 돈이 두 배가 되지만 10% 확률로 전 재산을 잃는 선택이 있다고 해봅시다. 기대값만 보면 꽤 좋아 보일 수 있습니다. 하지만 실패했을 때 삶이 무너진다면 그 선택은 좋은 선택이 아닐 수 있습니다.

마지막으로 최악의 손실을 봐야 합니다. 기대값은 평균을 보여주지만, 최악의 경우가 얼마나 큰지는 따로 확인해야 합니다. 평균 수익률이 좋아도 한 번의 큰 손실로 회복 불가능해질 수 있습니다. 그래서 다음 장에서 다룰 리스크 사고가 필요합니다. 기대값은 "평균적으로 어디가 유리한가"를 묻고, 리스크는 "나쁜 일이 생겼을 때 얼마나 버틸 수 있는가"를 묻습니다.

다시 말해 기대값은 좋은 출발점이지만 마지막 판단자는 아닙니다. 좋은 선택은 기대값, 감정, 생존 가능성, 최악의 손실을 함께 봅니다.

손실이 너무 큰 게임은 피해야 한다

기대값이 양수인 게임이라도 모든 사람이 참여할 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 60% 확률로 2억 원을 벌고, 40% 확률로 1억 원을 잃는 선택이 있다고 해봅시다.

기대값은 다음과 같습니다.

2억 원 × 60% + (-1억 원) × 40% = 1억 2천만 원 - 4천만 원 = 8천만 원

기대값은 무려 8천만 원입니다. 평균적으로는 아주 유리한 게임입니다. 그런데 참가하려면 실패했을 때 실제로 1억 원을 잃어야 합니다. 자산이 100억 원인 사람에게는 해볼 만한 선택일 수 있습니다. 하지만 전 재산이 1억 원인 사람에게는 전혀 다릅니다. 실패하면 끝입니다.

이것이 기대값의 한계입니다. 기대값은 같은 숫자를 보여주지만, 사람의 상황에 따라 그 의미는 달라집니다. 100만 원의 손실은 누군가에게는 한 달 생활비이고, 누군가에게는 하루 외식비일 수 있습니다. 같은 확률, 같은 금액이라도 감당 능력이 다르면 선택도 달라져야 합니다.

그래서 어른의 수학은 단순히 "기대값이 플러스인가?"에서 멈추지 않습니다. 반드시 이렇게 물어야 합니다.

"최악의 경우에도 나는 계속 살아남을 수 있는가?"

이 질문은 투자, 창업, 대출, 보증, 계약에서 특히 중요합니다. 기대값이 좋아 보여도 실패했을 때 회복 불가능한 선택은 신중해야 합니다. 반대로 손실이 제한되어 있고 여러 번 시도할 수 있는 선택이라면 기대값이 조금만 좋아도 반복을 통해 큰 차이를 만들 수 있습니다.

생활 속 기대값 계산법

기대값을 생활에서 쓰려면 거창한 공식보다 작은 습관이 필요합니다. 숫자를 완벽히 알 수 없어도 대략적인 계산은 가능합니다. 중요한 것은 감정에 끌려가기 전에 구조를 보는 것입니다.

예를 들어 "리뷰 이벤트 참여 시 추첨으로 100명에게 1만 원 쿠폰 지급"이라는 문구를 봤다고 해봅시다. 참여자가 1만 명 정도일 것 같다면 당첨 확률은 100/10,000, 즉 1%입니다. 기대값은 1만 원 × 1% = 100원입니다. 리뷰를 쓰는 데 10분이 걸린다면, 100원의 기대값을 위해 10분을 쓰는 셈입니다. 물론 리뷰 쓰기가 재미있거나 원래 쓰려던 것이라면 괜찮습니다. 하지만 순전히 돈 때문에 하는 것이라면 그리 매력적인 선택은 아닙니다.

또 다른 예를 봅시다. 어떤 서비스가 "친구 초대 시 5,000원 지급" 이벤트를 합니다. 내가 초대한 친구 10명 중 2명 정도가 가입할 것 같다면 성공 확률은 20%입니다. 친구 한 명을 초대할 때 기대 보상은 5,000원 × 20% = 1,000원입니다. 친구에게 메시지를 보내는 부담, 관계의 어색함, 실제 소요 시간을 생각해보면 할지 말지 더 현실적으로 판단할 수 있습니다.

기대값 계산은 모든 선택을 차갑게 만들기 위한 도구가 아닙니다. 오히려 내 시간과 돈을 함부로 빼앗기지 않기 위한 도구입니다. 광고는 가장 큰 보상을 보여주고, 우리는 평균적인 결과를 봐야 합니다. 광고는 "될 수도 있다"고 말하고, 우리는 "평균적으로 어떠한가"를 물어야 합니다.

기대값 사고가 만드는 어른의 판단력

기대값을 아는 사람은 확률 앞에서 조금 덜 흔들립니다. "이번 기회 놓치면 손해"라는 말에도 한 걸음 물러설 수 있습니다. "최대 100만 원 혜택"이라는 문구를 보고도 실제 평균 혜택을 계산할 수 있습니다. "성공 확률이 낮다"는 말만 듣고 포기하지 않고, 성공했을 때의 결과와 실패 비용을 함께 볼 수 있습니다.

기대값 사고의 핵심은 단순합니다.

좋은 선택은 가능성만 보지 않고, 그 일이 일어났을 때의 결과까지 함께 본다.

확률이 높아도 결과가 작으면 큰 의미가 없을 수 있습니다. 확률이 낮아도 결과가 크고 비용이 작다면 시도할 만할 수 있습니다. 기대값이 좋아도 최악의 손실을 감당할 수 없다면 피해야 합니다. 기대값이 나빠도 큰 위험을 막는 보험처럼 필요할 수 있습니다.

이제 숫자를 볼 때 이렇게 질문해봅시다.

"일어날 확률은 얼마인가?"

"일어나면 나는 얼마를 얻거나 잃는가?"

"그 선택을 반복하면 평균적으로 어떤 결과가 되는가?"

"최악의 경우에도 나는 버틸 수 있는가?"

이 네 가지 질문을 던지는 순간, 우리는 운에 끌려가는 사람이 아니라 운의 구조를 읽는 사람이 됩니다. 기대값은 미래를 맞히게 해주지는 않습니다. 하지만 적어도 미래 앞에서 눈을 감고 선택하지 않게 해줍니다. 그것만으로도 수학은 이미 우리의 생활을 바꾸기 시작합니다.