평균은 생각보다 위험하다

2부에서 우리는 돈의 숫자를 읽었습니다. 수익률, 이자, 물가처럼 생활에 바로 닿는 숫자들이었습니다. 이제부터는 뉴스, 보고서, 설문조사, 그래프에서 자주 만나는 숫자를 읽어볼 차례입니다. 그 첫 번째 주인공은 너무 익숙해서 오히려 의심하지 않는 숫자, 바로 평균입니다.

평균은 친절해 보입니다. 복잡한 숫자 여러 개를 하나로 줄여주기 때문입니다. 평균 연봉, 평균 자산, 평균 성적, 평균 수명, 평균 이용 시간. 세상은 평균으로 가득합니다. 그런데 바로 그 점 때문에 평균은 위험합니다. 숫자를 하나로 줄이는 순간, 많은 이야기가 사라지기 때문입니다.

평균을 그대로 믿는 순간, 숫자는 사실이 아니라 착각이 될 수 있습니다.

평균은 전체를 한 줄로 압축한 숫자다

평균의 기본 의미는 단순합니다.

평균 = 전체 합 ÷ 개수

예를 들어 네 사람이 카페에서 각각 4,000원, 5,000원, 5,000원, 6,000원을 썼다고 해봅시다. 네 사람이 쓴 돈의 합은 20,000원입니다. 이것을 네 명으로 나누면 5,000원입니다. 그러면 우리는 "이 모임의 1인당 평균 지출은 5,000원"이라고 말할 수 있습니다.

이때 평균은 꽤 좋은 설명입니다. 실제로 네 사람의 지출이 4,000원에서 6,000원 사이에 모여 있기 때문입니다. 평균 5,000원은 이 모임의 분위기를 크게 왜곡하지 않습니다. 누군가는 조금 덜 썼고, 누군가는 조금 더 썼지만, 대체로 그 정도 썼다고 말해도 무리가 없습니다.

평균이 가장 잘 작동하는 순간은 숫자들이 서로 비슷할 때입니다. 반 학생들의 키가 대부분 160cm에서 175cm 사이에 있다면 평균 키는 꽤 쓸 만합니다. 한 달 식비가 매달 45만 원, 48만 원, 52만 원 정도라면 평균 식비는 예산을 세우는 데 도움이 됩니다.

문제는 숫자들이 고르게 모여 있지 않을 때입니다. 누군가 하나가 너무 크거나, 너무 작거나, 사람들이 양쪽으로 갈라져 있을 때 평균은 갑자기 이상한 말을 하기 시작합니다.

평균은 거짓말을 하지는 않습니다. 계산은 맞습니다. 다만 너무 많은 것을 숨깁니다.

평균은 '보통'을 뜻하지 않을 수 있다

우리는 평균이라는 말을 들으면 자연스럽게 '보통'을 떠올립니다. 평균 연봉이라고 하면 "대부분 그 정도 버는구나"라고 생각하고, 평균 자산이라고 하면 "보통 사람들은 그 정도 가지고 있구나"라고 느낍니다.

하지만 수학에서 평균은 반드시 보통을 뜻하지 않습니다. 평균은 그저 전체 합을 개수로 나눈 값입니다. 사람들의 실제 경험과 가까운지는 별개의 문제입니다.

다섯 사람의 월급이 다음과 같다고 해봅시다.

다섯 사람의 월급 합은 6,150만 원입니다. 이것을 5명으로 나누면 평균 월급은 1,230만 원입니다.

계산은 정확합니다. 그런데 이 숫자를 듣고 다섯 사람 중 네 명은 고개를 갸웃할 것입니다. "나는 300만 원 안팎을 버는데, 평균이 1,230만 원이라고?" 평균은 맞지만, 다수의 감각과는 멀리 떨어져 있습니다.

왜 이런 일이 생겼을까요? 마지막 한 사람의 월급이 너무 크기 때문입니다. 이처럼 아주 큰 값이나 아주 작은 값을 극단값이라고 합니다. 극단값은 평균을 강하게 끌고 갑니다. 특히 연봉, 자산, 주택 가격처럼 일부 값이 매우 커질 수 있는 숫자에서는 평균이 현실을 크게 왜곡할 수 있습니다.

자산 평균도 마찬가지입니다. 어떤 동네에 열 가구가 살고 있는데 아홉 가구는 2억 원의 자산을 가지고 있고, 한 가구는 102억 원의 자산을 가지고 있다고 해봅시다. 전체 자산은 120억 원이고, 평균은 12억 원입니다. 하지만 열 가구 중 아홉 가구는 12억 원과 거리가 멉니다. 이 동네의 평균 자산은 12억 원이지만, 그 숫자가 보통 가구의 모습을 설명한다고 보기는 어렵습니다.

평균은 전체 규모를 볼 때 유용합니다. 그러나 보통 사람의 위치를 알고 싶을 때는 평균만으로 부족합니다.

평균, 중앙값, 최빈값은 서로 다른 질문에 답한다

숫자들을 대표하는 방법은 평균만 있는 것이 아닙니다. 대표적인 값으로 평균, 중앙값, 최빈값이 있습니다. 이름은 낯설 수 있지만 생각보다 쉽습니다.

평균은 전체 합을 개수로 나눈 값입니다. 중앙값은 숫자를 작은 것부터 큰 것까지 줄 세웠을 때 한가운데 있는 값입니다. 최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다.

아까 본 월급 예시를 다시 보겠습니다.

250만 원, 270만 원, 300만 원, 330만 원, 5,000만 원

이 다섯 숫자의 평균은 1,230만 원입니다. 중앙값은 가운데 있는 300만 원입니다. 최빈값은 이 예시에서는 없습니다. 모두 한 번씩만 나왔기 때문입니다.

이제 세 숫자가 각각 어떤 질문에 답하는지 살펴봅시다.

평균은 전체 합이 중요할 때 좋습니다. 회사 전체 인건비를 직원 수로 나누어 1인당 인건비를 보려는 경우, 학교 전체 시험 점수의 총량을 학생 수로 나누려는 경우에는 평균이 쓸모 있습니다.

중앙값은 '보통의 위치'를 보고 싶을 때 유용합니다. 특히 소득, 자산, 집값처럼 극단적으로 큰 값이 섞일 수 있는 자료에서는 중앙값이 평균보다 현실에 가까운 경우가 많습니다. 열 명을 줄 세웠을 때 다섯 번째나 여섯 번째 사람이 어디에 있는지를 보면, 적어도 한두 명의 매우 큰 숫자에 덜 흔들립니다.

최빈값은 가장 흔한 선택이나 상태를 알고 싶을 때 좋습니다. 신발 가게에서 가장 많이 팔리는 사이즈, 식당에서 가장 많이 주문되는 메뉴, 고객센터에 가장 자주 들어오는 문의 유형을 파악할 때는 최빈값이 중요합니다. 평균 신발 사이즈가 258mm라고 해서 258mm 신발만 잔뜩 준비하면 곤란합니다. 실제 매장에서는 250mm, 260mm, 270mm처럼 자주 팔리는 사이즈가 더 중요할 수 있습니다.

평균, 중앙값, 최빈값은 누가 더 우월한지가 아니라 서로 다른 질문에 답하는 도구입니다. 문제는 우리가 질문을 구분하지 않은 채 평균 하나만 붙잡는 데 있습니다.

연봉 평균이 내 현실과 다르게 느껴지는 이유

연봉 평균을 볼 때 많은 사람이 이상한 기분을 느낍니다. 뉴스에서 "평균 연봉이 얼마"라고 나오면, 내 연봉과 비교하게 됩니다. 그런데 꽤 자주 이런 생각이 듭니다. "정말 사람들이 그렇게 많이 번다고?"

여기에는 몇 가지 이유가 있습니다.

첫째, 고소득자가 평균을 끌어올립니다. 연봉은 아래로는 0에 가까워질 수 있지만, 위로는 매우 크게 올라갈 수 있습니다. 연봉 3,000만 원인 사람과 4,000만 원인 사람의 차이는 1,000만 원이지만, 연봉 3,000만 원인 사람과 30억 원을 버는 사람의 차이는 비교 자체가 어렵습니다. 이런 자료에서는 상위 몇 명의 숫자가 평균에 큰 영향을 줍니다.

둘째, 평균은 분포를 보여주지 않습니다. 분포란 숫자들이 어떻게 퍼져 있는지를 뜻합니다. 같은 평균 4,000만 원이라도 실제 모습은 완전히 다를 수 있습니다.

예를 들어 A회사와 B회사의 직원 5명 연봉이 다음과 같다고 해봅시다.

두 회사의 평균 연봉은 모두 4,000만 원입니다. 하지만 두 회사의 분위기는 다릅니다. A회사는 직원 대부분이 평균 근처에 있습니다. B회사는 한 명의 높은 연봉이 평균을 끌어올렸고, 다수는 평균보다 낮습니다.

평균만 보면 두 회사가 비슷해 보입니다. 그러나 실제 직원이 체감하는 현실은 크게 다릅니다. 그래서 평균을 볼 때는 반드시 이렇게 물어야 합니다. "사람들이 평균 근처에 모여 있는가, 아니면 멀리 흩어져 있는가?"

셋째, 평균은 집단의 구성을 숨깁니다. 전체 평균 연봉 안에는 정규직과 비정규직, 신입과 임원, 지역 차이, 업종 차이, 근속연수 차이가 섞여 있을 수 있습니다. 서로 다른 집단을 한 냄비에 넣고 끓이면 하나의 평균은 나오지만, 그 평균이 내 상황을 설명한다는 보장은 없습니다.

내가 신입사원인데 전체 임직원 평균 연봉과 비교하면 낙담할 수 있습니다. 반대로 임원 연봉을 제외한 일반 직원 평균을 보면 전혀 다른 그림이 나올 수 있습니다. 평균을 읽을 때는 "누구를 포함한 평균인가?"라는 질문이 필요합니다.

성적 평균도 아이를 설명하지 못할 때가 있다

평균의 함정은 돈에서만 나타나지 않습니다. 성적에서도 자주 나타납니다.

어떤 학생의 다섯 과목 점수가 다음과 같다고 해봅시다.

90점, 90점, 90점, 90점, 40점

평균은 80점입니다. 다른 학생의 점수는 다음과 같습니다.

80점, 80점, 80점, 80점, 80점

이 학생도 평균은 80점입니다. 두 학생은 같은 평균을 받았지만, 상황은 전혀 다릅니다. 첫 번째 학생은 네 과목을 잘하지만 한 과목에 큰 구멍이 있습니다. 두 번째 학생은 모든 과목이 고르게 안정적입니다.

만약 부모가 평균만 보고 "둘 다 80점이네"라고 말하면 중요한 정보를 놓칩니다. 첫 번째 학생에게 필요한 것은 전체 공부 시간을 늘리는 것보다 40점 과목의 원인을 찾는 일일 수 있습니다. 개념이 부족한지, 문제를 푸는 시간이 부족한지, 시험 당일에 실수가 있었는지 살펴봐야 합니다. 두 번째 학생에게는 전 과목을 조금씩 끌어올리는 전략이 맞을 수 있습니다.

평균은 결과를 요약해주지만 원인을 보여주지는 않습니다. 평균 점수 80점은 시작점일 뿐입니다. 그다음 질문은 "어떤 과목이 평균을 만들었는가?"입니다.

회사 보고서에서도 마찬가지입니다. 고객 만족도 평균이 4.0점이라고 해봅시다. 좋아 보입니다. 하지만 실제 응답이 5점, 5점, 5점, 1점이라면 이야기는 달라집니다. 평균은 4.0점이지만, 누군가는 매우 불만족했습니다. 특히 고객 불만은 평균 속에 묻히면 위험합니다. 한 명의 강한 불만이 나중에 큰 문제로 번질 수 있기 때문입니다.

평균은 전체 상태를 빠르게 보여줍니다. 하지만 어디가 아픈지는 평균만으로 알 수 없습니다.

극단값 하나가 평균을 얼마나 흔드는가

평균이 극단값에 약하다는 말을 숫자로 확인해봅시다.

동네 작은 헬스장에 회원 10명이 있습니다. 이들의 한 달 운동 횟수는 다음과 같습니다.

6회, 7회, 7회, 8회, 8회, 8회, 9회, 9회, 10회, 10회

전체 합은 82회이고, 평균은 8.2회입니다. 이 평균은 꽤 자연스럽습니다. 대부분 회원이 7회에서 10회 사이에 있으니 "한 달에 평균 8회 정도 온다"고 말해도 괜찮습니다.

그런데 여기에 매일 운동하는 열혈 회원 한 명이 추가되어 한 달에 30회 방문했다고 해봅시다.

6회, 7회, 7회, 8회, 8회, 8회, 9회, 9회, 10회, 10회, 30회

전체 합은 112회이고, 회원 수는 11명입니다. 평균은 약 10.2회가 됩니다. 단 한 명이 들어왔을 뿐인데 평균이 8.2회에서 10.2회로 올라갔습니다.

하지만 기존 회원 대부분의 생활은 변하지 않았습니다. 여전히 많은 사람은 한 달에 7회에서 10회 정도 방문합니다. 평균만 보면 헬스장 이용이 크게 늘어난 것처럼 보이지만, 실제 변화는 열혈 회원 한 명의 등장일 수 있습니다.

반대로 아주 작은 값도 평균을 끌어내릴 수 있습니다. 한 팀의 프로젝트 처리 시간이 대부분 3일, 4일, 4일, 5일인데 어떤 한 건이 승인 문제로 30일 걸렸다면 평균 처리 시간은 크게 늘어납니다. 이때 "우리 팀은 일이 너무 느리다"고 결론 내리기 전에 30일짜리 특수 사례가 무엇인지 봐야 합니다.

극단값은 무조건 제거해야 하는 나쁜 숫자가 아닙니다. 오히려 중요한 신호일 수 있습니다. 매우 큰 매출을 만든 고객, 매우 늦게 처리된 민원, 매우 낮은 점수를 준 응답자는 따로 살펴볼 가치가 있습니다. 다만 극단값이 섞인 평균을 전체 현실처럼 받아들이면 안 됩니다.

극단값을 만나면 이렇게 생각하면 됩니다. "이 숫자가 평균을 대표하게 둘 것인가, 아니면 따로 떼어 질문할 것인가?"

평균이 유용한 순간도 있다

평균은 위험하지만 쓸모없는 숫자는 아닙니다. 오히려 제대로 쓰면 매우 강력합니다.

가계부를 쓸 때 월평균 지출은 도움이 됩니다. 1월에 210만 원, 2월에 190만 원, 3월에 220만 원을 썼다면 월평균 206만 원 정도입니다. 매달 조금씩 다르더라도 전체적인 생활비 수준을 파악할 수 있습니다.

운동 기록에서도 평균은 유용합니다. 일주일에 어떤 날은 3km를 걷고, 어떤 날은 7km를 걷는다면 하루 평균 이동 거리를 계산해 자신의 활동량을 볼 수 있습니다. 이때 중요한 것은 평균을 장기적인 흐름을 보는 도구로 쓰는 것입니다.

직장에서도 평균 처리 시간, 평균 객단가, 평균 재구매 주기 같은 숫자는 의사결정에 도움이 됩니다. 다만 평균만 보고 끝내지 말고, 평균을 출발점으로 삼아야 합니다. 평균 객단가가 3만 원이라면 그다음에는 "대부분 고객이 3만 원 근처에서 구매하는가, 아니면 소수의 큰 구매가 평균을 올렸는가?"를 봐야 합니다.

평균은 지도와 비슷합니다. 지도는 길을 한눈에 보게 해주지만, 실제 도로의 경사나 공사 상황까지 모두 보여주지는 않습니다. 평균을 믿되, 평균이 생략한 것을 함께 확인해야 합니다.

평균을 볼 때 반드시 던져야 할 질문

평균을 제대로 읽는 사람은 계산을 빨리하는 사람이 아닙니다. 평균 뒤에 숨은 구조를 묻는 사람입니다. 어떤 평균을 보든 다음 질문을 떠올리면 숫자에 속을 가능성이 크게 줄어듭니다.

• 이 평균은 무엇을 모두 더해서 무엇으로 나눈 값인가?

• 숫자들이 평균 근처에 모여 있는가, 아니면 넓게 퍼져 있는가?

• 중앙값은 평균보다 높은가, 낮은가?

• 극단적으로 큰 값이나 작은 값이 평균을 흔들고 있지는 않은가?

• 이 평균에 포함된 사람이나 대상은 누구인가?

• 나와 비교해도 되는 집단의 평균인가?

이 질문들은 어렵지 않습니다. 하지만 효과는 큽니다. "평균 연봉 5,000만 원"이라는 말을 들었을 때, 이제 우리는 바로 부러워하거나 낙담하지 않을 수 있습니다. 먼저 물어볼 수 있습니다. 누구의 평균인가? 임원도 포함했는가? 중앙값은 얼마인가? 연봉 분포는 어떻게 생겼는가? 상위 몇 퍼센트가 평균을 끌어올렸는가?

"고객 평균 만족도 4.5점"이라는 보고서를 봐도 마찬가지입니다. 응답자는 몇 명인가? 낮은 점수를 준 사람은 얼마나 되는가? 특정 지점이나 특정 상품에서만 불만이 몰려 있지는 않은가? 평균이 높아도 문제는 숨어 있을 수 있습니다.

평균을 의심한다는 것은 숫자를 불신한다는 뜻이 아닙니다. 오히려 숫자를 더 정확하게 존중한다는 뜻입니다.

평균 뒤에는 사람들이 있다

평균은 사람을 한 줄로 만듭니다. 평균 연봉, 평균 점수, 평균 자산, 평균 이용 시간. 모두 편리한 표현입니다. 하지만 그 한 줄 뒤에는 서로 다른 사람들이 있습니다.

어떤 사람은 평균보다 훨씬 높고, 어떤 사람은 평균보다 낮습니다. 어떤 사람은 평균 근처에 있고, 어떤 사람은 극단에 있습니다. 어떤 숫자는 반복되는 일상이고, 어떤 숫자는 우연히 생긴 예외입니다. 평균은 이 차이를 지워버립니다.

그래서 어른의 수학 문해력은 평균을 계산하는 능력에서 멈추지 않습니다. 평균을 보고도 멈춰 서서 묻는 능력까지 가야 합니다.

"이 평균은 누구의 현실을 말하고 있는가?"

이 질문 하나만으로도 숫자를 읽는 눈이 달라집니다. 평균은 세상을 간단하게 보여주는 좋은 도구입니다. 그러나 세상은 평균보다 복잡합니다. 평균을 믿기 전에 중앙값을 보고, 분포를 보고, 극단값을 보고, 표본을 확인해야 합니다.

평균은 결론이 아니라 입구입니다. 평균을 본 순간 숫자 읽기는 끝나는 것이 아니라 시작됩니다.